精品解析：2026年河南平顶山市郏县第三教研区二模数学试题

2026年中考适应性第二次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 3. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2 B. （x﹣2）2＝x2﹣4 C. （﹣2a2）3＝﹣8a8 D. （a＋2b）2＝a2＋4ab＋2b2 4. 如图，分别表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的反射光线为（反射角等于入射角）．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个不等式组的解集为，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 7. 龙年春晚的扑克牌魔术激发了小明的兴趣．他抽取了一副扑克牌中的四张：黑桃3，红桃5，梅花7，方片10（黑桃和梅花是黑色，红桃和方片是红色），他将这四张扑克牌充分洗匀，再随机抽取2张，则他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某市评选优秀班主任，从“事迹材料”“班会设计”“演讲”“答辩”四个方面考核，各项成绩满分均为100分，所占权重为2：2：3：3，某位候选人的各项得分（单位：分）依次为90，85，92，86，则该候选人的综合得分为（ ） A. 92.6 B. 88.4 C. 88.6 D. 84.8 9. 如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于点，．若将绕原点O顺时针旋转，每次旋转，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，直线垂直于，从点出发，沿方向以的速度向点运动，与交于点，与交于点．当直线经过点时停止运动，若运动过程中的面积是，直线的运动时间是，则与之间函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若的小数部分为，整数部分为，则的值为_____________． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，分别为m，n，且，则a的取值范围为______． 13. 如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 14. 传统工艺门环，俗称响器，是安装在房屋大门上的拉手，并供叩门之用，中国门环也常被称为铺首或门钹，但严格说来铺首和门钹只是不同形式的门环底座．如图是一边长为的正六边形门环底座示意图，门环与正六边形的一条对角线相切于点M，同时也分别与边和相切于点B和点C，则图中阴影部分的周长为______． 15. 如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上． （1）若是等腰三角形，则______． （2）若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 2024年11月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《粮食节约和反食品浪费行动方案》，并发出通知，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．某学校为了调查食堂浪费的情况，在全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷如下： 学校食堂浪费情况调查问卷 1．你的午餐剩余情况是（单选）（ ） A．没有剩 B．剩少量 C．剩一半 D．剩大量 2．你认为学校食堂采取的下列措施中，可以有效遏制浪费情况的是（可多选）（ ） E．积极推广小份餐品 F．主动提示剩余食物打包 G．宣传、普及防止食品浪费知识 H．设置惩罚措施 午饭剩余情况扇形统计图 有效遏制浪费情况的措施统计表 措施 百分比 E F G H （1）如果整体评价中将没有剩、剩少量、剩一半、剩大量分别赋分0分、1分、3分、5分，求这次调查中，食堂浪费情况评价分数的平均数； （2）已知该校有1200名学生，若认定没有剩饭为这餐完成“光盘行动”，请你估计午餐完成“光盘行动”的学生有多少人； （3）小明想用扇形统计图反映选择各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出G项措施对应的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交y轴于点A．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）判断点D是否在反比例函数图象上，并说明理由． （3）请直接写出不等式的解集． 19. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30＋30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h． （1）求学校到红色文化基地A的距离？ （2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）． 20. 某中学组织师生共60人，从A市乘高铁前往B市参加学习交流活动，高铁票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买） 运行区间 一等座 二等座 出发站 终点站 成人票价（元/张） 成人票价（元/张） 学生票价（元/张） A市高铁站 B市高铁站 132 80 60 若师生均购买二等座票，则共需3800元． （1）求参加活动的教师和学生各有多少人? （2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元． ①求关于的函数关系式； ②若购买一、二等座票全部费用不多于4000元，则提早前往的教师最多只能多少人? 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值． 22. 如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． （1）求的半径． （2）如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，腾飞小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，永攀小组在矩形纸片的边上取一点，连接，使，将沿线段折叠，使点正好落在边上的点处．连接，，将纸片展平， ①求的面积； ②连接，线段与线段交于点，则______． 深度探究： （3）如图3，探究小组将图1的四边形剪下，在边上取一点，使，将沿线段折叠得到，连接，探究并直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性第二次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是倒数的定义和二次根式的化简，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米纳米； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2 B. （x﹣2）2＝x2﹣4 C. （﹣2a2）3＝﹣8a8 D. （a＋2b）2＝a2＋4ab＋2b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、结果是1﹣x2，故本选项符合题意； B、结果是x2﹣4x＋4，故本选项不符合题意； C、结果是﹣8a6，故本选项不符合题意； D、结果是a2＋4ab＋4b2，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练运用幂的运算法则和乘法公式进行准确计算． 4. 如图，分别表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的反射光线为（反射角等于入射角）．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作于点B，过点C作于点C，根据反射角等于入射角，平行线的性质，角的和，平角的定义解答即可； 【详解】解：过点B作于点B，过点C作于点C， 则， 根据反射角等于入射角，得， ， ， ， ， ， ， ， ； 5. 已知一个不等式组的解集为，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：解不等式得，结合可知不等式组解集为，不符合要求； 选项B：解不等式得，结合可知不等式组解集为，不符合要求； 选项C：解得，解得，可知不等式组解集为，不符合要求； 选项D：解，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得；解得根据“同小取小”，不等式组解集为，符合要求． 6. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握主视图的定义是解题的关键；正面观察该几何体，将看到的图形和选项中的图形进行对照即可解答． 【详解】解：从正面看几何体得到的图形是下面一个长方形，上面是一个圆柱体的侧面也是长方形， 故选：B． 7. 龙年春晚的扑克牌魔术激发了小明的兴趣．他抽取了一副扑克牌中的四张：黑桃3，红桃5，梅花7，方片10（黑桃和梅花是黑色，红桃和方片是红色），他将这四张扑克牌充分洗匀，再随机抽取2张，则他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到抽到的两张扑克牌颜色不同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A，B，C，D表示黑桃3，红桃5，梅花7，方片10，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他抽到的两张扑克牌颜色不同的结果数有8种， ∴他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率为， 故选：A． 8. 某市评选优秀班主任，从“事迹材料”“班会设计”“演讲”“答辩”四个方面考核，各项成绩满分均为100分，所占权重为2：2：3：3，某位候选人的各项得分（单位：分）依次为90，85，92，86，则该候选人的综合得分为（ ） A. 92.6 B. 88.4 C. 88.6 D. 84.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算即可． 【详解】解：该候选人的综合得分为=88.4（分）， 故选：B． 【点睛】本题考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 9. 如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于点，．若将绕原点O顺时针旋转，每次旋转，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，可得点O为对角线的交点，，再根据，可得，再由点，可得，然后根据，可得，从而得到点，进而得到4次为一个周期，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵原点O为的对称中心， ∴点O为对角线的交点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 即， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点 ∴点， ∵每次旋转， ∴4次为一个周期， ∵， ∴第502次旋转结束时，点A的对应点在第四象限， ∴此时点A的坐标为． 10. 如图，在中，，，，直线垂直于，从点出发，沿方向以的速度向点运动，与交于点，与交于点．当直线经过点时停止运动，若运动过程中的面积是，直线的运动时间是，则与之间函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的运动轨迹，分三种情况进行讨论，表示出相关线段的长度，列出关系式即可． 【详解】解：①当直线在点左侧时， ∵，，，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴图象为开口向上的抛物线； ②当直线经点时，此时， ∴， 此时，； ③当直线在点右侧时， ， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向下的抛物线； 综上，函数图象为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若的小数部分为，整数部分为，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方差公式的应用，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，分别为m，n，且，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数关系定理，解不等式求解即可； 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴ 且， 解得且； ∵m，n分别为关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴； ∵， ∴ ， 解得， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 13. 如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出；再分别过点，作轴的垂线，垂足分别为E，F，则，继而可求得的值．解题时要注意：反比例函数的图象在第二象限，这是易错点． 【详解】解：， ． 如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则， ， ， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 14. 传统工艺门环，俗称响器，是安装在房屋大门上的拉手，并供叩门之用，中国门环也常被称为铺首或门钹，但严格说来铺首和门钹只是不同形式的门环底座．如图是一边长为的正六边形门环底座示意图，门环与正六边形的一条对角线相切于点M，同时也分别与边和相切于点B和点C，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正六边形内角和得每个内角为，结合切线性质、，推得；再在中用三角函数求得圆半径，算出弧的圆心角为，弧长为，加上，得阴影周长． 【详解】解：由题意得，正六边形的内角和为， ∴每个内角为， 连接、，过点作于点，如图， ∵与相切于点， ∴，即， 同理可得，，即， ∴，， 在中，， ∵正六边形边长，且， ∴， ∴在中， 解得， ∵， ∴弧对应的圆心角为， ∴， ∴． 15. 如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上． （1）若是等腰三角形，则______． （2）若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则______． 【答案】 ①. 90 ②. 14 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质及角平分线，证得；因为等腰三角形且，判定其为等边三角形，得，进而；结合，在中，由三角形内角和求得； （2）由是三等分点得，过、作垂线构造直角三角形，用三角函数算出、，结合得，在中求得；再在中算出、，由勾股定理得，故，，即． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，； （2）∵，是的三等分点（靠近）， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 2024年11月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《粮食节约和反食品浪费行动方案》，并发出通知，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．某学校为了调查食堂浪费的情况，在全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷如下： 学校食堂浪费情况调查问卷 1．你的午餐剩余情况是（单选）（ ） A．没有剩 B．剩少量 C．剩一半 D．剩大量 2．你认为学校食堂采取的下列措施中，可以有效遏制浪费情况的是（可多选）（ ） E．积极推广小份餐品 F．主动提示剩余食物打包 G．宣传、普及防止食品浪费知识 H．设置惩罚措施 午饭剩余情况扇形统计图 有效遏制浪费情况的措施统计表 措施 百分比 E F G H （1）如果整体评价中将没有剩、剩少量、剩一半、剩大量分别赋分0分、1分、3分、5分，求这次调查中，食堂浪费情况评价分数的平均数； （2）已知该校有1200名学生，若认定没有剩饭为这餐完成“光盘行动”，请你估计午餐完成“光盘行动”的学生有多少人； （3）小明想用扇形统计图反映选择各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求出G项措施对应的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由． 【答案】（1）1.6分 （2）估计完成“光盘行动”的学生有300人 （3）不可行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出剩一半对应的圆心角度数为，再根据加权平均数的公式计算即可； （2）用没有剩饭的学生占比乘以1200即可求解； （3）根据各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人数的百分比之和大于1，即可得出结论． 【小问1详解】 解：剩一半对应的圆心角度数为， （分）， 答：食堂浪费情况评价分数的平均数为1.6分； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计完成“光盘行动”的学生有300人； 【小问3详解】 解：不可行，理由如下： 由统计表可知，， 即选择各项有效遏制浪费情况的措施的人数占被调查总人数的百分比之和大于1， 所以小明的想法不可行． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交y轴于点A．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）判断点D是否在反比例函数图象上，并说明理由． （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）点D在反比例函数的图象上， 理由：过点D作轴于点G．过点B作轴于点F，如图所示． ∴． 在中，当时，． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴点D的坐标为． ∵， ∴点D在反比例函数图象上． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，．进而求得，证明，得，，从而得．进而带入解析式即可判断； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得． ∴反比例函数的解析式为． 把点代入，得． ∴． 把，分别代入， 得 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，不等式的解集为或． 19. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30＋30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h． （1）求学校到红色文化基地A的距离？ （2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）． 【答案】（1）学校到红色文化基地A的距离为60km． （2）第二组先到达目的地，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点B作BD⊥ AC于D，在Rt△BCD中证得BD=CD，设BD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解，进而即可求解； （2）由（1）易知，，进而根据时间=路程÷速度分别求出两组所用时间，进而即可求得结论； 【小问1详解】 过点B作BD⊥ AC于D， 依题意得：∠BAE=45°，∠ABC=105°，∠CAE=15°， ∴∠BAC=30°， ∴∠ACB=45°． 在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠ACB=45°， ∴∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠DCB， ∴BD=CD， 设BD=x，则CD=x， 在Rt△ABD中，∠BAC=30°， ∴，， ∴， ∴， 在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=45°， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即学校到红色文化基地A的距离为60km． 【小问2详解】 第二组先到达目的地， 理由： 由（1）知：，， ∴， 第一组用时： (h)； 第二组用时： (h)， ∵， ∵<1.5， ∴第二组先到达目的地， 答：第二组先到达目的地． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，方位角的计算，勾股定理，一元一次方程，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 20. 某中学组织师生共60人，从A市乘高铁前往B市参加学习交流活动，高铁票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买） 运行区间 一等座 二等座 出发站 终点站 成人票价（元/张） 成人票价（元/张） 学生票价（元/张） A市高铁站 B市高铁站 132 80 60 若师生均购买二等座票，则共需3800元． （1）求参加活动的教师和学生各有多少人? （2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有人，购买一、二等座票全部费用为元． ①求关于的函数关系式； ②若购买一、二等座票全部费用不多于4000元，则提早前往的教师最多只能多少人? 【答案】（1）参加活动的教师人数为10人，学生人数为50人； （2）①；②若购买一、二等座票全部费用不超过4000元，则提早前往的教师最多只能3人． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）①依题意列出关于的函数关系式后，需要考虑自变量的范围； ②利用①中的函数关系式，根据函数的增减性，研究其最值，需要考虑人的个数只能取正整数． 【点睛】（1）设参加活动的教师人数为人，学生人数为人， 根据题意得： 解得 答：参加活动的教师人数为10人，学生人数为50人. （2）①依题意有： 故关于的函数关系式为： ②依题意有： 解得： ∵为正整数 ∴的最大值为3 答：若购买一、二等座票全部费用不超过4000元，则提早前往的教师最多只能3人. 【详解】本题考查了列二元一次方程组、一次函数的实际应用中分配方案问题，解题的关键是：根据题意求出函数的表达式，再确定其增减性、自变量的取值范围． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值． 【答案】（1），直线 （2）8 【解析】 【分析】（1）直接代入点A、B坐标即可； （2）先求出直线AD的解析式，设出P的坐标，过点P作轴交直线AD于H，通过铅锤高表示出即可求出最大面积． 【小问1详解】 将，代入得 解得 ∴， 对称轴为直线 【小问2详解】 过点P作轴交直线AD于H 当时，， ∴点， ∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线， ∴， ∵， ∴直线AD的函数关系式为：， 设，则， ∴ ， ∴， 当时，最大为8． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积的性质，解题的关键是准确求出解析式． 22. 如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． （1）求的半径． （2）如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 【答案】（1）1.5m （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点N，则，得，连接，设的半径为r ，则，根据勾股定理得，解方程即可解答． （2）连接，则，．过点O作于点H，由矩形的判定与性质得到，连接，，则，，再根据圆周角定理得到即可解答． 本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图（1），连接交于点N，则， ∴，， ∴ 连接，设的半径为r ，则． 由勾股定理，得， ∴，解得． 故的半径为． 【小问2详解】 如图（2），连接，则，． 过点O作于点H． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 连接，，则， ∴． 又∵， ∴， ∴． 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，腾飞小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，永攀小组在矩形纸片的边上取一点，连接，使，将沿线段折叠，使点正好落在边上的点处．连接，，将纸片展平， ①求的面积； ②连接，线段与线段交于点，则______． 深度探究： （3）如图3，探究小组将图1的四边形剪下，在边上取一点，使，将沿线段折叠得到，连接，探究并直接写出的长度． 【答案】（1）四边形是正方形；理由见详解；（2）①；②；（3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的判定定理进行证明，即可得到结论成立； （2）①由折叠的性质，则DC=DG，求出∠ADG=30°，利用勾股定理得到，，然后再求出，由面积公式即可求出面积； ②求出，，则△CDG是等边三角形，即可求出CG的长度； （3）作PQ∥AD∥，垂足分别为P、Q，先求出，，设，然后表示出，，再利用勾股定理，求出，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°， 由折叠的性质，则 ，， ∴四边形是正方形； （2）①如图，由折叠的性质，则DC=DG，CF=FG， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理，则， ∴， ∴， ∴， 在直角△BFG中，由勾股定理，则 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：； ②由①可知，，DC=DG， ∴， ∴△CDG是等边三角形， ∴； 故答案为：； （3）作PQ∥AD∥，垂足分别为P、Q，如图所示， ∴PQ⊥，PQ⊥AE， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质，则， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 在直角中，由勾股定理，则 ∴， 整理化简得：， ∴， ∴， 解方程，得，（舍去）； ∴； ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．本题涉及的知识点综合，应用能力强，难度大，学生需要仔细分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $