精品解析：北京市东直门中学2025-2026学年高一第二学期6月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段考试 高一数学 2026.06 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以. 故选：A. 3. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①面面垂直则面面的法向量也垂直可得；对于②由条件可得或，再结合可判断；对于③由线线平行及面面平行的关系可判断；对于④：由和两种情况判断可得. 【详解】对于①：因为，，，所以直线的方向向量是平面的法向量，由两个平面垂直， 所以这两个平面的法向量也垂直，即这两条直线也垂直，故①正确； 对于②：由，，则或，而，则不能判断，所以②不正确； 对于③：若，，，则或，所以结论不一定成立，故③不正确； 对于④：，，若，则；若，则，所以④正确； 故选：D. 4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，分析充分性与必要性，即可得解. 【详解】若，又，故，即， 则或，故甲无法推出乙，充分性不成立； 若，则，两边平方得， 所以，故乙可以推出甲，必要性成立. 综上，甲是乙的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 C. 若在方向上的投影向量的模为，则 D. 若，则与夹角为 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标判定、夹角公式、投影向量模的计算规则，逐项验证各选项的正确性即可. 【详解】A选项：若，由平面向量共线的坐标充要条件得，解得，故A错误； B选项：计算得 ； 当两向量反向共线时，此时夹角为，不属于钝角，故的取值范围是且，B错误； C选项：在方向上的投影向量的模为，其中，代入得，即，解得或，C错误； D选项：当时，，计算得，， 故，又两向量夹角的取值范围为，故夹角为，D正确. 6. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果. 【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称， 且， 而，即函数为偶函数； 所以，又， 即，可得函数最小值为0，无最大值. 故选：C 7. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 8. 在所在平面内一点P满足：，则点P是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 9. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列结论正确的个数是（ ） ①平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形 ②存在点，使得直线与平面垂直 ③平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等 ④点到平面的距离不超过 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】当为中点时，作出截面图形，可判断①的真假；求异面直线与所成的角，可判断B的真假；利用中心对称的性质，可判断C的真假；当为中点时，作出截面图形，可判断D的真假. 【详解】如图： 当为中点时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形为正方形，故①正确； 此时，，所以为异面直线与所成的角，所以直线不可能与经过直线的平面垂直，故②错误； 因为正方体是中心对称图形，对称中心为的中点，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的平面将正方体分成体积相等的两部分，故③正确； 如图： 当为中点时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形为正六边形，此时平面， 设，则为中点， 因为，所以. 若点不是中点，则平面不成立，则到平面的距离就小于， 所以点到平面的距离不超过，故④正确. 所以正确命题的个数为3个. 第二部分 二、填空题：（本题有6道小题，第11-15每小题4分，第16题5分，共25分） 11. 某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为______． 【答案】 【解析】 【详解】高三男生人数为：. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出的关系，然后求解. 【详解】由得， 即， 由题意，所以. 13. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出母线长； 再分别计算圆锥的底面积和侧面积，即可求解. 【详解】设圆锥体的母线为，则，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示.则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用周期计算可得，利用图象最高点结合值计算可得. 【详解】由图可得，即，即； 由图可得，即， 又，故. 15. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由及底面几何性质证得平面，利用中位线平移异面直线求解线线角，通过证明面面垂直找到点到平面的垂线段，进而求得点到平面的距离. 【详解】 在三棱锥中，因为，， 所以为等腰直角三角形，且. 因为为的中点，所以. 又， 所以点在平面上的射影为的外心，即点， 所以平面. 在中，. 对于异面直线与所成角： 因为分别为的中点， 所以，且. 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 因为平面，平面， 所以. 在中，. 所以. 即异面直线与所成角的正弦值为. 对于点到平面的距离： 取的中点，连接. 因为分别为的中点，所以. 又，所以. 因为，为中点， 所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面，且交线为. 在平面内，过点作于点，则平面. 线段的长度即为点到平面的距离. 在中，，， . 由等面积法可得， 即. 因为为的中点，点在平面上， 所以点到平面的距离为点到平面距离的倍， 即. 16. 在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论： ①的最大值为； ②的最小值为； ③的最小值为； ④的最大值为． 其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】建立以为原点，所在的直线分别为轴的平面直角坐标系，设，然后表示出，，的坐标，得出，再逐个分析即可. 【详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 因，则点在以点为原点，半径为2的圆上，可设，， 则，，， 可得，则，即， 则，其中，， 因，所以的最小值为，最大值为，故①错误，③正确； 因为，， 则 ，其中，， 又因为，所以，故②④正确； 综上所述，正确命题的序号是②③④. 三、解答题：（本题有6小题，共85分） 17. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）当时，求点的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标运算得出点的坐标； （2）由向量垂直的坐标表示得出的值． 【小问1详解】 因为点，所以． 又因为点满足，所以． 当时，，所以， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由点，可得， 因为，且， 所以， 所以． 18. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将边的关系转化为角的余弦值，结合同角三角函数关系求正弦值． （2）选择条件①：由余弦定理可知，此方程无解，即可判断三角形是否存在；选择条件②：由正弦定理可知，，再结合余弦定理即可判断求解；选择条件③：先求出，再结合正余弦定理即可判断求解. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理可知，， 所以，即， 又，所以． 【小问2详解】 若选择条件①：由余弦定理可知，， 所以，即， 此时，该方程无实数根， 故条件①使得不存在． 若选择条件②：由正弦定理可知，， 所以， 又，解得，， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件②使得存在且唯一，符合题意， 所以的面积为． 若选择条件③：因为，且， 所以， 由正弦定理可知，，所以，解得， 代入，得，即， 解得或（舍， 此时条件③使得存在且唯一，符合题意， 所以的面积为． 19. 已知函数的一个零点为． （1）求c； （2）当时，若的值域为，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，运算得解； （2）由（1）化简，根据的值域，利用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由题，， 所以. 【小问2详解】 由（1）， ， 因为，所以， 若的值域为，则，解得， 所以的取值范围为. 20. 小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中的值； （2）估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数. 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积为1计算可得； （2）利用百分位数定义计算可得结果； （3）求出红灯等待时间低于85秒的频率即可估计出所求次数. 【小问1详解】 易知组距为10，依题意可得， 解得； 【小问2详解】 易知和两区间的频率之和为； 前三组，，的频率之和为； 因此第60百分位数位于区间内， 设第60百分位数为，所以， 解得 【小问3详解】 由频率分布直方图可知红灯等待时间低于85秒的频率为， 所以估计10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数为次. 21. 如图，在四棱锥中，平面，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 【答案】（1）面，平面， ， ，，、平面， 平面． （2），， ． 又面，面， ， ，平面， 平面， 平面， 平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由条件确定平面，即可证明； （3）通过平面，得到，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 平面，平面平面，平面， ， 在中，点为中点， 点为中点， ． 22. 已知行列的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，，，…，中有个，1个1； ②存在，使得，，…，都是正整数． （1）分别判断数表，是否为规范表；（直接写出结论） （2）当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B 是规范表；C 不是规范表． （2）不存在，理由见解析； （3） 的最小值是 2025 ． 【解析】 【分析】（1）直接根据规范表的定义判断即可； （2）利用反证法假设存在规范表 满足 ，分析得到矛盾的结论即可； （3）先构造再估计，再证明出，则得到最小值. 【小问1详解】 数表，， 当时，，，中有个，1个1； 当时，，，中有个，1个1； 满足条件①； ，当时，，，均为正整数，满足条件②， 综上B是规范表； 数表，， 当时，，，中有个，2个1；不满足条件①， 则C不是规范表． 【小问2详解】 不存在．用反证法． 假设存在规范表满足， 令，则； 另一方面，根据性质（1）：， 即对任意； 另一方面，由条件②，存在，使，矛盾． 所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表． 【小问3详解】 存在符合题意的规范表． ①构造：考虑满足如下条件的数表， 其中， 并且当时，相邻两列与， 满足对成立， 则数表为符合题意的规范表； ②估值：以下证明，当为偶数且时， 规范表满足. 事实上，用表示规范表第行中的个数， 其中为偶数，令，则， 从而，据此可知为偶数，为奇数． 设为规范表，则为奇数． 另一方面，由条件（1）知相邻两行有个分量符号相反， 据此可知第行与第行至多有2个分量符号相反，即， 所以，， ， 这表明．综合①②所述，的最小值是． 因为，所以的最小值是2025． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用反证法证明出不存在这样的规范表. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段考试 高一数学 2026.06 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若与夹角为钝角，则的取值范围是 C. 若在方向上的投影向量的模为，则 D. 若，则与夹角为 6. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 7. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在所在平面内一点P满足：，则点P是的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 9. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列结论正确的个数是（ ） ①平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形 ②存在点，使得直线与平面垂直 ③平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等 ④点到平面的距离不超过 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 二、填空题：（本题有6道小题，第11-15每小题4分，第16题5分，共25分） 11. 某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为______． 12. 已知，则__________. 13. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 14. 已知函数的部分图象如图所示.则__________，__________. 15. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______． 16. 在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论： ①的最大值为； ②的最小值为； ③的最小值为； ④的最大值为． 其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：（本题有6小题，共85分） 17. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）当时，求点的坐标； （2）若，求的值． 18. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 19. 已知函数的一个零点为． （1）求c； （2）当时，若的值域为，求t的取值范围． 20. 小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中的值； （2）估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数. 21. 如图，在四棱锥中，平面，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 22. 已知行列的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，，，…，中有个，1个1； ②存在，使得，，…，都是正整数． （1）分别判断数表，是否为规范表；（直接写出结论） （2）当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $