北京市东直门中学2025-2026学年高一第二学期6月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2025-2026学年度第二学期阶段考试 高一数学 2026.06 考试时间：120分钟 总分150分 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 第一部分 一、选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1．若，则 A． B．1 C． D．2 2．在中，，，，则 A． B． C． D． 3．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线．下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 4．已知角、，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．充分必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知向量，，则下列说法正确的是 A．若，则的值为2 B．若与夹角为钝角，则的取值范围是 C．若在方向上的投影向量的模为，则 D．若，则与夹角为 6．函数是 A．奇函数，且最小值为0 B．奇函数，且最大值为2 C．偶函数，且最小值为0 D．偶函数，且最大值为2 7．在锐角中，，则 A． B． C． D． 8．在所在平面内一点满足：，则点是的 A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 9．如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且．则的最小值为 A．8 B．16 C． D． 10．如图，正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列结论正确的个数是 ①平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形 ②存在点，使得直线与平面垂直 ③平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等 ④点到平面的距离不超过 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分 二、填空题：（本题有6道小题，第11-15每小题4分，第16题5分，共25分） 11．某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为__________． 12．已知，则__________． 13．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是__________． 14．已知函数的部分图象如图所示．则__________，__________． 15．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________，点到平面的距离为__________． 16．在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论： ①的最大值为1； ②的最小值为； ③的最小值为； ④的最大值为14． 其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：（本题有6小题，共85分） 17．（本小题13分） 在平面直角坐标系中，已知点，，，点满足． （Ⅰ）当，时，求点的坐标； （Ⅱ）若，求的值． 18．（本小题14分） 在中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，从下列三个条件中选一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 19．（本小题14分） 已知函数的一个零点为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，若的值域为，求的取值范围． 20．（本小题14分） 小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）求图中的值； （Ⅱ）估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； （Ⅲ）根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 21．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，平面，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值． 22．（本小题15分） 已知行列（，）的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，，，…，中有个，1个1； ②存在，使得，，…，都是正整数． （Ⅰ）分别判断数表，是否为规范表（直接写出结论）； （Ⅱ）当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $