平面向量知识测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量核心知识，通过基础概念辨析（如向量相等条件）、几何情境应用（矩形分点、等腰梯形动点）及综合运算（与三角函数结合），分层考查数学抽象、几何直观与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量基本性质、投影、数量积|基础巩固，辨析易混概念（如向量模与方向关系）| |多选题|3/18|向量命题判断、共线条件|能力提升，考查逻辑严谨性（如相等向量与共线向量关系）| |填空题|3/15|夹角计算、最值问题|情境创新，结合几何图形（等腰梯形动点数量积）| |解答题|5/77|坐标运算、几何应用、函数结合|综合应用，体现数学思维（如重心性质与基本不等式求最值）|

2025--2026学年第二学期高一数学平面向量知识测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影数量为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．在边长为1的正方形中，P为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，且与交于点，设，则（   ） A．-1 B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 10．下列选项中，正确的是（   ） A．若向量，满足，则或 B．若非零向量与相等，则B，C重合 C．在平行四边形ABCD中， D．若与是共线向量，且，则 11．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，向量与向量的夹角为锐角 C．存在，使得 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知向量满足，则与的夹角大小为_______. 13．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 14．如图，在等腰梯形中，，，，，点是梯形的腰上的一动点，则的最大值是______．    四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题13分已知向量满足，． (1)求； (2)若与同向，求的坐标； (3)若，求与的夹角的余弦值． 16．本小题15分（1）已知平面向量，，，. （i）若，求和的值； （ii）在（i）的条件下，若，求实数的值； （2）已知，若，求的最小值. 17．本小题15分记直线与的边交于两点，且． (1)若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； (2)若直线恒过的重心，试求的最小值． 18．本小题17分已知向量，，设函数． (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围． 19．本小题17分已知向量，满足，且，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B A D B B BD BC 题号 11 答案 CD 1．D 【详解】选项A，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，A错误； 选项B，若，则与任意向量共线，而与的方向不确定，B错误； 选项C，两个向量不能比较大小，C错误； 选项D，若，两个向量方向相反、共线，故，D正确． 2．B 【分析】由一个向量在另一个向量上的投影数量公式求解即可. 【详解】因为，且， 由向量投影的定义，向量在向量上的投影数量为：. 3．A 【详解】，，， 所以. 4．B 【详解】由题可得，，代入数据得，则夹角为 5．A 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 6．D 【分析】根据向量三角形法则转化到、为基底上计算即可. 【详解】 . 7．B 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，联立方程即可求解. 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 8．B 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为，，三点共线，且，所以 又因为，，三点共线，且， 所以， 可得，解得，， 所以. 9．BD 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 10．BC 【详解】对于A，向量满足，只说明向量的长度相等，而它们的方向是任意的， 因此向量不一定相等，也不一定互为相反向量，A错误； 对于B，非零向量与相等，则向量与的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点重合，B正确； 对于C，在中，向量与的长度相等，方向相同，因此，C正确； 对于D，当与同向时，，当与反向时，，D错误. 11．CD 【详解】选项A，∵ 当时，， ∴ ， ∴ ，故A错误. 选项B，若向量与的夹角为锐角，需满足且两向量不共线同向. ∵ ，令，解得. 当与共线时，，解得，此时，两向量同向，夹角为，不满足锐角条件，故且时夹角为锐角，B错误. 选项C，由上述共线条件可知，当时，且，故存在使得，C正确. 选项D，若，则，即，解得，D正确. 12．/60° 【详解】设与的夹角为，向量夹角范围为 将两边平方得： 即 ， 所以， 又，所以. 13． 【分析】建立平面直角坐标系，先求出点坐标，再利用向量的数量积的坐标运算，以及基本不等式的计算可得. 【详解】由， 则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设，，则，，，， 又， 其中是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， ，即， ， ， ， 当且仅当时取“”， 故的最大值为. 14．6 【分析】过点作，以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】如图，过点作，垂足为， 因为等腰梯形，，所以，， 以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为6.    15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量模长公式计算求解； （2）先求出与同向的单位向量，再由同向向量与单位向量方向一致结合求出的坐标； （3）利用模长公式求出，进而求出，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）已知，则． （2）与同向的单位向量为， 已知， ． （3），解得， ， ． 16．（1）（i），  ；（ii）；（2）最小值为 【分析】（1）（i）依托向量线性运算的坐标相等构建方程组求解参数； （ii）利用向量平行的坐标判定公式建立方程求实数； （2）将向量模长表达式转化为二次函数，借助二次函数性质求解最小值. 【详解】（1）（i）由，代入向量坐标得， 可得方程组，解得，. （ii）由（i）得，故，则，， 由两向量平行的坐标关系得， 化简得，解得. （2）由，，得， 则， 令，其对称轴为， 当时，， 因此，的最小值为. 17．(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出，第二小问先将用表示，再根据三点共线得到； （2）利用为重心得到，再根据三点共线得到，运用基本不等式知识即可得到的最小值． 【详解】（1）（i）因为，所以， 则． （ii）因为，所以，由（i）知， 所以， 因为三点共线，所以，所以． （2）因直线恒过的重心，连接并延长交于点， 则为的中点，所以， 因为，所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3． 18．(1)最小正周期为，单调递减区间为， (2) 【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式及辅助角公式求出，结合正弦型三角函数的性质进一步求解即可. （2）根据伸缩变换求出，求出在区间的值域，结合题意即可求出的范围. 【详解】（1） . 所以，的最小正周期为. 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. （2）由函数图象的伸缩变换可知，. 当时，，此时，所以. 若方程在区间上有实数解，即在区间上有解， 所以实数的取值范围为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的数量积运算来求向量的模； （2）利用向量的数量积运算来求夹角即可； （3）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可． 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以； （2）因为，所以，即， 所以， 所以； （3）， 由题意知且向量与不同向共线， 所以， 当向量与同向共线时，， 即得， 解得（负值舍去）. 所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $