第六章平面向量及其应用章末检测试卷一-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

章末检测试卷一(第六章) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分) 1.若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　) A.(－2,3) B.(0,1) C.(－1,2) D.(2，－3) 2.已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为(　　) A.B(5，－5)，M(0,0) B.B(5，－5)，M C.B(1,1)，M(0,0) D.B(1,1)，M 3.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)·(＋)＝0，则△ABC是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　) A.－13 B.9 C.－9 D.13 5.已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 7.已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　) A.－2 B.1 C.－1 D.0 8.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A.2 B. C.0 D.－ 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于(　　) A. B. C. D. 10.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 11.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　) A.若a∥b且b∥c，则a∥c B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c C.若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c D.(a·b)c＝a(b·c) 12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是(　　) A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形 C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D.若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形 13.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　) A.若＝＋，则点M是边BC的中点 B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C.若＝－－，则点M是△ABC的重心 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是的△ABC面积的 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 14.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________. 15.在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝________. 16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，则A＝________；若m∥n，则A＝________. 17.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共82分) 18.(12分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥. (1)求实数n的值； (2)若⊥，求实数m的值. 19.(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1). (1)求a·b，|a＋b|； (2)求a与b的夹角的余弦值. 20.(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.求tan C的值. 21.(14分)甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 22.(15分)在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围. 23.(15分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P. (1)用和分别表示和； (2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值； (3)确定点P在边BC上的位置. 参考答案 1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B 11.ACD 12.AC 13.ACD 14. 15.105°或15° 16.　 17.2 18.解　(1)因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)， 所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)， 因为∥，所以＝λ， 即解得n＝－3. (2)因为＝＋＝(2,3＋m)， ＝＋＝(4，m－3)， 又⊥，所以·＝0， 即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1. 19.解　(1)因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)， 所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)， b＝4e1＋e2＝(4,1)， 所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10， a＋b＝(7，－1)， 所以|a＋b|＝＝5. (2)设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 20.解　由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C. 由A＝，得B＋C＝π， 则－cos 2B＝－cos＝sin 2C ＝2sin Ccos C， 所以sin2C＝2sin Ccos C，又sin C≠0，解得tan C＝2. 21.解　如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇. 在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9， ∠ABC＝180°－45°－15°＝120°. 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC， 即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×， 128t2－60t－27＝0，∴t＝或t＝－(舍去)， 所以甲船用小时能最快追上乙船. 22.解　∵C＝，∴A＋B＝π， ∴外接圆直径2R＝＝＝2. ∴a－b＝2Rsin A－·2Rsin B ＝2sin A－sin B＝2sin A－sin ＝sin. ∵0<A<π，∴－<A－<， ∴－<sin<1. －1<sin<. 即a－b∈(－1，). 23.解　(1)由＝， 可得＝＋＝－＋. ∵＝，∴＝＋＝－＋. (2)将＝－＋，＝－＋ 代入＝＋λ＝＋μ， 则有＋λ＝＋μ， 即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)， ∵，不共线， ∴解得 (3)设＝m，＝n. 由(2)知＝＋， ∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m， ∴解得 ∴＝，即＝2， ∴点P在BC的三等分点且靠近点C处. 学科网（北京）股份有限公司 $