精品解析：山东省枣庄市第十五中学2025-2026学年七年级下学期6月阶段检测数学试题

2025−2026学年度第二学期第二次单元学习评价 七年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵，∴能构成三角形，符合题意； C．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 2. 不能判定是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，根据三角形内角和定理、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故A不符合题意； 任意一个三角形均满足， ∴不能判定是直角三角形， 故B符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故C不符合题意； ∵，， ∴，，， ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 3. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 4. 下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 5. 如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性． 6. 如图，已知，，且点A，F，C，D在同一直线上，补充下列条件后，仍不能一定使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ， A.当时，为，没有此判定定理，故符合题意； B.当时，可通过证明全等，故不符合题意； C.当时，可通过证明全等，故不符合题意； D.当时，，可通过证明全等，故不符合题意． 7. 剪纸是中国名族文化的传统技艺，某市民将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；因此此题可根据折叠的性质进行求解． 【详解】解：在两次对折中，不难发现是折了一个正方形，第一次剪的是在两次对折的交点处，剪一扇形，会出现半圆，所以A、C错误；第二次剪的是折成的小正方形的上面的一个圆形，会出现4个小圆，所以B选项错误； 故选D． 8. 如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理得到，然后利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，，然后利用等量代换可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键．连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，问题可解． 【详解】解：连接，如图， 依题意， 为边的垂直平分线， 的周长， 故选：C． 10. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 【答案】 ##76度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和计算即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 13. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 14. 如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，延长交于点，可证，得到分别为的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵垂直于的平分线于点P， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∵，， ∴． 16. 如图，，．，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时点在射线上由点向点运动．设它们运动的时间为，点的运动速度为，若刚好使得以点A、C、P为顶点的与以点B、P、Q为顶点的全等．则可以求出_________． 【答案】1或1.5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是判定与全等，要分两种情况讨论． 当，时，，则，，求出，；当，时，，则，，求出，，即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， ， ，， ，； 当，时，， ，， ，． 综上，或，． 故答案为：1或1.5． 三、解答题（共8小题） 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． （1）的面积为_____________； （2）画出关于直线l的轴对称图形； （3）在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）8 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 18. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记两点； （2）若，的周长为19，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ． 19. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 是和的外角， ， ． 20. 如图，已知，，AP平分，BP平分，点P恰好在上． （1）求证：点P为的中点； （2）试探究线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，从而得到，然后根据线段中点的定义即可得证； （2）利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，同理可证，然后根据证明即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点P作于E， ∵，， ∴∠PCB＝180°－∠ADP＝90°， ∵ AP平分，BP平分， ∴，， ∴， ∴点P为DC中点． 【小问2详解】 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造成全等的直角三角形是解题的关键． 21. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（）由，，得，然后通过“”证明即可； （）根据全等三角形的判定方法即可求解． 【小问1详解】 解：乙的方案可行，理由如下， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 【小问2详解】 解：添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． 22. 开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线． 作法： 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论： 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是___________； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据之一是“等腰三角形的三线合一”，这个依据是___________（填写“正确”或“错误”）的；对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）请完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】（1）；正确； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角和三线合一，熟练掌握全等三角形的判定和性质与等腰三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法进行证明即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【小问1详解】 解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据之一是“等腰三角形的三线合一”，这个依据是正确的， 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：； 对乙同学作图的证明： 由作图可知， ， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一） ∴平分； 故答案为：正确； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 23. 在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角． （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 24. 请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是；任务2：见解析；任务3：或 【解析】 【分析】任务1：推出，,从而得出结论; 任务2：可计算得出，得出是等腰三角形，再结合，从而得出结论； 任务3：当是等腰三角形时，分为：三种情形讨论即可； 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论． 【详解】解：任务1：是 ∵ 和是等角三角形； 任务2： 在中，， 则， 为角平分线， ， ， 则， ，， ， 则， ，，，， 为的等角分割线． 任务3： ①当时，如图1， ， 是的等角分割线， ， ②当时，如图2， ， 是的等角分割线， ， 则， ③当时，， 则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期第二次单元学习评价 七年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 不能判定是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 4. 下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ） A.    B.    C.    D. 5. 如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 6. 如图，已知，，且点A，F，C，D在同一直线上，补充下列条件后，仍不能一定使的是（ ） A. B. C. D. 7. 剪纸是中国名族文化的传统技艺，某市民将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点D为直线上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 15 10. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 12. 如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为__________ ． 13. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 14. 如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 15. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 16. 如图，，．，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时点在射线上由点向点运动．设它们运动的时间为，点的运动速度为，若刚好使得以点A、C、P为顶点的与以点B、P、Q为顶点的全等．则可以求出_________． 三、解答题（共8小题） 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． （1）的面积为_____________； （2）画出关于直线l的轴对称图形； （3）在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记两点； （2）若，的周长为19，求的长． 19. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，已知，，AP平分，BP平分，点P恰好在上． （1）求证：点P为的中点； （2）试探究线段、、之间的数量关系． 21. 按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： （1）乙的方案是否可行，请说明理由； （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 22. 开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线． 作法： 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论： 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是___________； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据之一是“等腰三角形的三线合一”，这个依据是___________（填写“正确”或“错误”）的；对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）请完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 23. 在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 24. 请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $