解三角形期末备考训练06——解三角形中的角平分线-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形中角平分线专项，以教材定理为根基，通过分层题型构建“定理证明-基础应用-综合拓展”的逻辑训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|3道（含证明、计算）|定理推导与基础应用|从角平分线定理证明（概念生成）到长度计算（原理应用）| |跟踪训练|15道（单选7/多选2/填空2/解答4）|含长度计算、比例关系、面积范围等|关联正弦定理、余弦定理，形成“定理→线段比例→边角关系→面积”的推导链条|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考06 测试范围：解三角形中的角平分线 【回归教材】 【人教B版必修四第9.1.1节例6】如图，在△ABC中，已知∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D， 求证：. 【证明】法一：利用正弦定理证明：设，，由题意知，在△ABD和在△ADC中，分别用正弦定理可得，，两式相除可得. 法二：利用等面积法证明：设，BC边上的高为h. 由，又，故. 【人教B版必修四03复习题B组第7题】已知是的角平分线，且，，，求的长。 【答案】 【分析】利用等面积列出方程求解即得. 【详解】依题意，设，，由， 可得，解得. 【人教B版必修四03复习题C组第2题】在△ABC中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若，，求BD和AC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积之间的关系结合正弦定理可得； （2）因为，分别在和中使用余弦定理，结合（1）中的，可解得. 【详解】（1）因为，， 且，，所以，在中，由正弦定理可得． （2） 因为，所以．在和中，由余弦定理得，． 所以．由（1）知，所以． 【跟踪训练】 一、单选题 1．在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等面积法，结合三角形面积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 2．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三边关系可判断出ABC为直角三角形，根据三角形内角平分线定理将、长度计算出来，再根据余弦定理即可求出AD. 【详解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足，∴，故， ∵AD是∠BAC的角平分线，∴，∴， 在ABD中，由余弦定理， 得，解得或者（舍去），故选：D． 3．在中，，是上的一点，若是的角平分线，，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由可得， 化简得，即，当且仅当时取等，则得，解得.故，即面积的取值范围是. 4．已知的周长为，，的平分线交于，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理及余弦定理求解即可. 【详解】由于平分，，所以，由正弦定理可得，则； 因为的周长为6，，所以设，， 由余弦定理得，解得，所以，故选：C. 5．已知中，为的角平分线，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据利用三角形面积公式、倍角公式化简整理可得，再求，代入面积公式运算求解. 【详解】设，∵， 则 即，可得 ∵，则∴， 则故选：B. 6．在中，，，的角平分线交于，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】如下图所示： 在中，，，则， 在中，，所以，， 在中，由正弦定理可得，所以，A错； 在中，，则， 且，由正弦定理可得， 则，B对；，D错； 因为， 所以，，C错.故选：B. 7．锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理，三角形面积公式，逐项分析即可. 【详解】因为，且，，所以，即， 由余弦定理，，由，整理得，解得或，当时，，此时B为钝角，与为锐角三角形矛盾，舍去，故，即D错误；由，，，和余弦定理，可得，因为A为三角形的内角，所以，故A正确；此时，，故C正确；因为AD为角A的平分线，设，由，可得，即得，解得，即，故B正确.故选：D. 二、多选题 8．在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】A选项由正弦定理验证结果；B选项由余弦定理验证结果；C选项由三角形面积公式验证结果；D选项由多个三角形面积的关系得出结果. 【详解】A选项：因为，，，所以，所以A选项正确； B选项：由余弦定理得，，因为，所以，所以B选项错误； C选项：的面积为，所以C选项正确；D选项：因为的平分线交直线于，，所以，所以，即，解得，所以D选项正确．故选：ACD． 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D. 【详解】在中，∵，则，整理得，所以， 由二倍角公式得，解得，在中，则，故选项A正确；在中，则，故选项B错误； 由题意可知：，即，由， 解得，故选项C正确；在中，∵，则， ∴，故选项D正确.故选：ACD. 三、填空题 10．中，角所对的边分别为 ，若角的平分线，则的面积为____________. 【答案】 【分析】由三角形的面积公式及二倍角公式求解即可． 【详解】由题意得，即， ，又 ， ，则，得． 11．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则_____. 【答案】 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理，已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得.又因为，所以.在中，再根据余弦定理，将，，代入可得：，所以.的长度为。 四、解答题 12．已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）首先由正弦定理将条件变为，化简后用余弦定理即可； （2）首先需列出，代入已知条件即可得出. 【详解】（1）在中，由正弦定理及得： ，化简可得：， 由余弦定理得，又，所以. （2）是的角平分线，则，由可得 ， 因为，，即有，故. 13．在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若是边上的点，平分，且，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由正弦定理的边角关系可得，结合三角形内角性质即可求； （2）应用余弦定理，结合已知三边等量关系得，可求，由角平分线的性质知，且，即可求的值. 【详解】（1）由已知及正弦定理得：，则， ∴，又，即，∴，得. （2）由，得，①，由余弦定理可得：，② 由①②得，则，得， ∵，且，∴. 14．在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交于点． (1)若，求； (2)若的面积是面积的2倍，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据同角关系，可得，进而由余弦定理求解，即可由正弦定理求解，（2）根据面积公式可得，由余弦定理可得，即可由面积公式求解. 【详解】（1）因为所以，故． 在中，由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，由于，则， 因为是的平分线，所以． （2）因为的面积是面积的2倍，由面积公式得，所以，由余弦定理得，化简得， 解得或（舍去）．所以． 15．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、倍角公式化简得出即可； （2）根据以及，以及在中利用余弦定理，即可得出关于的方程组，求解即可. 【详解】（1）因为结合正弦定理可得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以，则，得，则； （2）因为是的角平分线，且，，， 所以，得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，，所以， 则在中利用余弦定理得，得， 因为，所以，所以， 解得，解得或，又，解得，于是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考06 测试范围：解三角形中的角平分线 【回归教材】 【人教B版必修四第9.1.1节例6】如图，在△ABC中，已知∠BAC的平分线AD与边BC相交于点D， 求证：. 【人教B版必修四03复习题B组第7题】已知是的角平分线，且，，，求的长。 【人教B版必修四03复习题C组第2题】在△ABC中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若，，求BD和AC的长． 【跟踪训练】 一、单选题 1．在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（    ） A． B． C． D． 3．在中，，是上的一点，若是的角平分线，，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知的周长为，，的平分线交于，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知中，为的角平分线，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，的角平分线交于，，则（   ） A． B． C． D． 7．锐角的内角所对的边分别为，角A的平分线交BC于点D，若，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 三、填空题 10．中，角所对的边分别为 ，若角的平分线，则的面积为____________. 11．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则_____. 四、解答题 12．已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 13．在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若是边上的点，平分，且，，求的值. 14．在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交于点． (1)若，求； (2)若的面积是面积的2倍，求的面积． 15．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求；(2)求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $