2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册全册期末复习卷

**基本信息** 2025-2026学年人教A版必修第二册期末复习卷，融入PM2.5数据、垃圾分类竞赛等现实情境及《九章算术》“鳖臑”文化素材，通过立体几何、统计概率等知识考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直观图面积、互斥事件概率、向量投影|结合PM2.5统计图表考查百分位数，多空题分层设疑| |填空题|3题/15分|零件尺寸统计量、向量垂直、鳖臑外接球|融入《九章算术》文化，考查统计量应用与空间想象| |解答题|5题/77分|线面平行垂直证明、竞赛成绩统计分析、概率方案比较|垃圾分类情境下统计应用，立体几何综合证明与体积计算，体现知识整合与实际问题解决|

2025-2026学年人教A版必修第二册全册期末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在四边形中，，， 根据是平行四边形可得，四边形是矩形，且， 所以四边形的面积. 2．若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据已知条件推导的范围，逐一分析三个结论进行判断. 【详解】对于数据，中位数为：三个数排序后中间项为中位数，可得， 对于数据，平均数为：，得，因此，结合得， ①平均数一定是：五个数的总和为：， 平均数，①正确； ②中位数可能是：五个数从小到大排序，结合和， 可知这五个数从小到大排序为， 中位数是第三个数，当时，，排序为，中位数为， 符合条件，因此中位数可能是，②正确； ③方差一定不是，方差公式：， 代入化简得：，，令，函数对称轴为， 又该函数开口向上，故该函数在区间单调递减， 得，而，不在方差取值范围内，因此方差一定不是，③正确. 3．设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 4．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，和，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】，两边平方得 ，即，，， ， ，两边平方得， 即，故，， ，两边平方得， 即，故，， 故. 5．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（     ） A．这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D．从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 【答案】C 【分析】根据折线图读取10天的数据，分别利用百分位数的定义、数据的变化趋势、平均数公式以及古典概型概率公式对各个选项进行验证即可. 【详解】由图可知，这10天的PM2.5日均值数据依次为：. 将这组数据从小到大排序为：. A选项，因为，不是整数，所以第25百分位数为排序后的第3个数，即，A正确； B选项，从5日到9日的PM2.5日均值依次为，数据逐渐降低，B正确； C选项，这10天中PM2.5日均值的平均数为，C错误； D选项，空气质量为一级即PM2.5日均值在以下，满足条件的数据有，共4天， 所以从这10天的数据中随机抽出一天，空气质量为一级的概率，D正确. 6．已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 所以在方向上的投影向量为. 7．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 8．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误． 【详解】由三角形内角和 ，得 ， 因此原方程等价于 ，即 ， ， 则或，则是等腰或直角三角形． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则（   ） A． B．的虚部为 C．复数是纯虚数 D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【详解】对于A，因为，则，所以A错误， 对于B，复数的虚部为，所以B正确， 对于C，因为，则为纯虚数，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误. 10．某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 【答案】ACD 【分析】A选项，由频率之和为1列方程计算a；B选项，根据众数为频率最高组的组中值进行计算；C选项，求出抽取的体育爱好者中每周锻炼时长不少于15小时的频率，再乘以总人数即可；D选项，先确定累计频率，再在对应区间内按比例计算. 【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确； 众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误； 因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确； 设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确． 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】AD 【详解】选项A，由图可知，将线条延伸即可得到梯形. 选项B，三棱锥如下图所示，，. 选项C，因为 平面，所以与面所成角的正弦值即为的正弦值.不难得出正弦值最大时点处于点的位置，. 选项D，将平面与平面沿展开得到下图，可以看到最短的距离便是两点之间的连线，. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________． 【答案】 【详解】由题意知11个零件的平均数为， 第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50， 由题可知众数为45， 所以当从11中取出3个零件共种情况， 则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45，共有种情况， 所以其概率为． 13．已知向量，，若，则______. 【答案】/ 【详解】因为，所以 ， 因，，则，解得，则， 设，， 而，所以. 14．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，，分别为，，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出直线的方向向量和平面的法向量，证方向向量与法向量垂直； （2）利用向量证明，，再利用线面垂直判定定理证明. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，，，，， ，平面的法向量为， ，平面， 平面． （2），， ， ，，， ，． 平面， 平面． 16．2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【答案】(1) (2) (3)中位数为，平均数为 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. （2）由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. （3）由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为， 则. 17．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 18．已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 19．在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）取的中点为，连接，可得就是直线与底面所成角，利用几何关系求解即可； （2）过作，垂足为，连接，可得就是二面角的平面角，利用几何关系求解即可； （3）把多面体补成为长方体，利用求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教A版必修第二册全册期末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 2．若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 5．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（     ） A．这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C．这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D．从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 6．已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则（   ） A． B．的虚部为 C．复数是纯虚数 D．在复平面内对应的点在第二象限 10．某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________． 13．已知向量，，若，则______. 14．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，，分别为，，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 16．2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 17．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 18．已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 19．在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $