重庆市第八中学校2025-2026学年九年级下学期第二次模拟考试数学试卷

**基本信息** 本试卷以核心素养为导向，融合绿色环保、农业知识、传统文化等真实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查初中数学核心知识与思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|代数基础（相反数）、几何直观（轴对称）、统计观念（普查）|基础题占比合理，第5题以火柴棒规律考查抽象能力| |填空题|6/24|概率计算（二十四节气邮票）、新定义（双十一数）|第16题新定义问题培养创新意识，第13题渗透文化传承| |解答题|9/86|数据分析（农业竞赛成绩）、实际应用（玩具战车配套）、几何综合（三角形旋转与翻折）、函数综合（二次函数最值与平移）|24题二次函数与几何动态结合考查模型意识，25题旋转翻折问题发展推理能力，21题工程问题体现应用意识|

数学试题 (全卷共四个大题, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3. 作图 (包括作辅助线) 请一律用黑色 铅笔完成; 4. 考试结束, 由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式: 抛物线 的顶点坐标为 ,对称轴为 一、选择题: (本大题 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 在每个小题的下面,都给出了代号为 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.7的相反数是 ( ) A. -7 B. 7 C. D. 2. 下列图案中, 是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. G 3. 下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是 ( ) A. 了解全国中学生的视力情况 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 了解某班同学投掷实心球的水平 D. 了解某批次烟花的燃放效果 4. 如图,点 在 上, ,则 的度数是 ( ) A. B. 100° C. 120° D. 160° 4题图 5题图 5. 下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需 8 根火柴棒，图案②需 15 根火柴棒，图案③需 22 根火柴棒...... 按此规律, 图案⑧需要火柴棒的根数为 ( ) A. 56 B. 57 C. 63 D. 64 6. 点 在反比例函数 的图象上,则下列各点中,在此函数图象上的是 ( ) A. B. C. D. 7. 下列四个数中, 最大的是 ( ) A. B. C. D. 8. 某单位响应绿色环保倡议, 提出要节约用纸, 逐步走向 “无纸化” 办公. 据统计, 该单位 4 月份用纸量为 1000 张, 6 月份用纸量下降至 640 张. 则该单位用纸量的月平均下降率是 ( ) A. 8% B. 10% C. 15% D. 20% 9. 如图,在正方形 中,点 与点 分别为 和 上一点, . 将 沿 翻折到正方形 所在的平面内,得 ,且点 恰好落在边 上,点 为 上一点, ,则 的面积为 ( ) A. B. C. D. 9题图 10. 已知整式 ,其中 为正整数. 为整数, ,且满足 . 下列说法: ① 若 ，则不存在满足条件的整式 ； ② 若 ，则满足条件的所有整式 中有且仅有 2 个单项式； ③若 ， ，则所有满足条件的整式 有且仅有 10 个； ④若 ,则当 取任意实数时,其值一定为负数的整式 有且仅有 5 个. 其中正确的个数是 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二 填空题: (本大题 6 个小题, 每小题 4 分, 共 24 分) 请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 如图， ，若 ，则 的度数是_____. 11题图 12. 已知 为整数，且 ，则 的值为_____. 13. “二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”. 小明购买了 4 张 “二十四节气” 主题邮票，其中“夏至”有 2 张，“雨水”和“惊蛰”各 1 张，将其背面朝上并洗匀， 从中随机抽取一张，记下卡片的文字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的文字都是 “夏至”的概率是_____. 14. 若实数 同时满足 ,则 的值为_____. 15. 如图， 是 的直径，点 在 。 的边 与 相切于点 . 与 相交于点 ， 与 相交于点 ,迎接 交 于点 ,交 于点 ,连接 . 若 ，则 _____， _____ 15题图 16. 我们规定:一个四位数 ，若满足 ，则称这个四位数为“双十一数”. 例如:四位数 7645,因为 ,所以 7645 是 “双十一数”. 按照这个规定，最大的 “双十一数” 是_____；一个“双十一数” ，将其千位数字导个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置， 得到一个新的数 ,记 . 若 与 均为整数，则满足条件的 的值是_____. 三、解答题:(本大题共 2 个小题，每题 8 分，共 16 分)解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. 解不等式组: 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，过顶角为 的等腰三角形底边的中点作两腰的垂线，与等腰三角形两腰相交的两点和上述中点构成的三角形是等边三角形, 可利用全等三角形的证明和等边三角形的判定得到此结论. 根据他们的想法与思路, 完成以下作图和填空: 第一步:构造等边三角形 如图，在等腰 中， ， ，点 是 的中点. 过点 作 的垂线，与 相交于点 . 请你利用尺规作图,过点 作 的垂线,与 相交于点 ,连接 (不写作法,保留作图痕迹). 第二步:利用全等三角形的证明和等边三角形的判定证明上述猜想. 证明: 在 中, , _____①_____. , . 是 的中点, _____②_____. 18题图 , . . _____③_____. 在四边形 中, , 是等边三角形. 四、解答题: (本大题共 7 个小题, 每题 10 分, 共 70 分) 解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤, 请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 今年是 “十五五” 开局之年, 做好 “三农” 工作至关重要. 为让学生深入了解我国农业相关情况, 某校开展了农业知识科普竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数),并对数据进行整理、描述和分析 (竞赛成绩均不低于 80 分,用 表示,共分为四个等级: 85; ,其中 记为优秀),下面给出了部分信息: 七年级 20 名学生的竞赛成绩为: 80, 80, 81, 82, 83, 85, 85, 85, 85, 85, 86, 86, 87, 87, 88, 90, 91, 92, 94 , 96, 97. 八年级 20 名学生的竞赛成绩在 B 组中的数据为:85,86,87,87,87,88,89. 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 八年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 年级 七年级 八年级 平均数 87 87 中位数 86 众数 87 根据以上信息, 解答下列问题: (1) 上述图表中 _____， _____，m= _____ ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生农业知识科普竞赛的成绩更好？请说明理由 (写出一条理由即可); (3)该校七年级有 800 名学生，八年级有 1000 名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生共有多少名? 20. 先化简,再求值: ,其中 . 21. 列方程解下列问题: 为迎接六一儿童节，某工厂安排 90 名工人制作玩具战车，1 个玩具战车由 1 个车身和6个负重轮组成. 1 名工人每天可制作 30 个车身或 20 个负重轮. 已知该工厂每天生产的车身和负重轮刚好配套. (1)该工厂每天安排多少人制作车身，安排多少人制作负重轮？ (2)每天甲、乙两个快递公司对该工厂当天生产的所有玩具战车进行揽收，运往不同城市. 甲公司每天一共揽收 120 个玩具战车, 剩下的玩具战车由乙公司揽收. 甲公司每小时揽收的玩具战车的数量比乙公司每小时揽收的玩具战车的数量多 50%,每天甲公司都比乙公司少用 小时完成揽收工作,求乙公司每小时揽收多少个玩具战车? 22. 如图,矩形 的对角线 与 交于点 分别为 与 上的一点 不与 重合, 不与 重合),且 ,连接 ,过点 作 于点 . 用 表示线段 的长度,点 与点 的距离为 的周长为 的周长为 . (1)请直接写出 关于 的函数表达式,并写出 的取值范围: (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数 的图象，并分别写出函数 的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过 0.2) 22 题图 23. 如图， 是海警舰艇指挥中心， ， ， ， 是 4 处小岛 . 在 的正东方向， 在 的正北方向， 且 在 的西南方向. 在 的正西方向,且在 的北偏东 方向80 海里处. 在 的东北方向,且在 的南偏东 方向. (参考数据: ) (1)求 与 之间的距离 (结果保留根号); (2)海警舰艇甲从 出发沿 方向巡防，海警舰艇乙从 出发沿 方向巡防，他们同时出发，且速度相等. 当他们首次相距 50 海里时, 开始双舰协同巡防, 求此时甲与 的距离 (结果精确到 0.1 海里) 23题图 24. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于点 ,连接 24 题图 24题备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)点 为线段 下方抛物线上的一动点，过点 作 轴交 轴于点 ，交 于点 ，点 与点 为 轴上两动点 (点 在点 左侧), . 当 取最大值时,求点 的坐标及 的最小值; (3) 在 (2) 中 取最大值的条件下，将抛物线 和点 都沿射线 方向平移 个单位长度后得到抛物线 和点 ,点 为点 的对应点. 点 为抛物线 上一动点,若 ，请直接写出所有符合条件的点 坐标，并写出求解点 坐标的其中一种情况的过程. 25. 在等腰 中, ; ,点 为 上一点,点 为 上一点. 25题图 1 25题图 2 25题图 3 (1)如图 1，若 ， ，连接 ， ，求 的度数； (2)如图 2，若 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， . 点 为 延长线上一点,连接 ,求证: ; (3) 如图 3，若 ， ， 为线段 上一点， . 点 从点 移动到点 过程中，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ,连接 交 于点 . 当 取最小值时,连接 ,将 沿着 所在直线翻折到 所在平面内,得到 ,连接 与 ,当 取最小值时, 请直接写出 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $