精品解析：2026年重庆鲁能巴蜀中学2026年九年级 数学二模试卷

2026年重庆鲁能巴蜀中学 初三数学下中考二模试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 2. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用普查的是（ ） A. 调查某种西瓜的甜度情况 B. 调查某批手机的使用寿命情况 C. 调查某班学生的视力情况 D. 调查某品牌新能源汽车电池的衰减情况 4. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A. B. C. D. 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案有1个正六边形，共6条边；第2个图案有2个正六边形，共11条边；第3个图案有3个正六边形，共16条边；…，则第6个图案中正六边形的总边数是（ ） A. 31 B. 35 C. 36 D. 42 6. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 某新能源汽车企业2023年销售汽车302万辆，2025年汽车销量达到了427万辆，设该企业销售量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为6，点是边上的一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作交于点，过点作交于点，延长交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，满足，其中，为正整数，，，，为自然数，且．有以下说法： ①满足条件的所有整式中共有个单项式； ②满足条件的所有整式共有种； ③当是一个二次整式时，满足函数的图象与轴有交点的所有整式的和为． 其中说法正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线平行，点F为焦点．若，则的度数为________． 13. 若为正整数，且满足，则________． 14. 若，，则________． 15. 如图，以矩形的边为直径的与边相切，连接交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，连接，若，则的半径为________；的长度为________． 16. 我们规定：一个四位数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称这个四位数为“九九同心数”．例如：四位数，因为，所以是“九九同心数”．已知某个“九九同心数”，个位数字为，百位数字比十位数字大，则这个“九九同心数”是________；一个“九九同心数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，若与均是整数，则满足条件的为________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组：． 18. 如图，在中，是的角平分线． （1）实践与操作：作的角平分线，交于点（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）应用与证明：求证：． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 学校面向全体学生开展了知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于80分，用表示，共分成四组： A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，89，91，91，94，96，96，96，96，96，99，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94，91，92，90，93，92． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 90 38.7 八年级 90 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生660人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． （1）求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 22. 在中，，，，是边上的中线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，分别写出函数、的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图是同一平面内四座海岛的示意图，海岛在海岛的西北方向8海里处，海岛在海岛的正东方向，且在海岛的北偏东方向．海岛在海岛的东北方向，且在海岛的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求海岛和海岛之间的距离（结果保留根号）； （2）某一时刻，渔船甲从岛出发，沿某方向匀速直线行驶，同时，渔船乙从岛出发，向正西方向匀速直线行驶．渔船甲的速度与渔船乙的速度之比为，一段时间后两船相遇．相遇时渔船乙行驶了多少海里（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接、，，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，点E、F为直线上的动点（点E在F的上方），且，连接、、、，当与的面积之和取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点C，新抛物线的对称轴与x轴交于点H，点M为直线上一动点，过点M作直线的垂线与新抛物线在直线的上方交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点D是边上一点（不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，交于点F． （1）如图1，，点D是的中点，求的度数； （2）如图2，，，点M为的中点，点N为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，点P为边上一动点，连接并延长至点G，连接，，过A作交于点H，请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆鲁能巴蜀中学 初三数学下中考二模试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：-8的相反数是8， 故选A． 【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义． 2. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 3. 下列调查中最适合采用普查的是（ ） A. 调查某种西瓜的甜度情况 B. 调查某批手机的使用寿命情况 C. 调查某班学生的视力情况 D. 调查某品牌新能源汽车电池的衰减情况 【答案】C 【解析】 【分析】当调查范围小、调查不具有破坏性、数据要求准确全面时，宜采用普查；当调查对象涉及面大、范围广，受条件限制或具有破坏性时，宜采用抽样调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．该调查适合采用抽样调查； B．该调查适合采用抽样调查； C．该调查适合采用普查； D．该调查适合采用抽样调查． 4. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案. 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为，即图象上的点满足. 对各选项验证：A选项：，满足条件，在此函数图象上； B选项：，不满足； C选项：，不满足； D选项：，不满足. 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案有1个正六边形，共6条边；第2个图案有2个正六边形，共11条边；第3个图案有3个正六边形，共16条边；…，则第6个图案中正六边形的总边数是（ ） A. 31 B. 35 C. 36 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可知，每增加一个正六边形，因为共用一条边，所以总边数增加5条，据此得出第n个图案边数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：第1个图案有6条边，； 第2个图案有11条边，； 第3个图案有16条边，；  …… 按此规律， 第n个图案有条边． ∴当时，． 6. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先比较10的幂次，幂次更大的数整体更大，幂次相同时再比较乘号前的系数即可得到结果． 【详解】解：∵选项A与B的幂次为5，选项C与D的幂次为6，且， ∴选项A与B的数都小于选项C与D的数， 又∵， ∴， 因此四个数中最大的是． 7. 某新能源汽车企业2023年销售汽车302万辆，2025年汽车销量达到了427万辆，设该企业销售量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设该企业销售量的年平均增长率为，由题意可得 ． 8. 如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，正方形的边长为6，点是边上的一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作交于点，过点作交于点，延长交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点F作于点H，设与交于点O，以B为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到，，，，解直角三角形求出，得到，然后得到，求出所在直线的表达式为，得到，求出所在直线的表达式为，联立得到，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点H，设与交于点O，以B为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 由折叠得，，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴，即点G是的中点 ∴点G的坐标为，即 设所在直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 ∵， ∴ ∴设所在直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 当时， ∴，即 ∵， ∴同理可得，所在直线的表达式为 联立得， 解得 ∴ ∴ ∴． 10. 已知整式：，满足，其中，为正整数，，，，为自然数，且．有以下说法： ①满足条件的所有整式中共有个单项式； ②满足条件的所有整式共有种； ③当是一个二次整式时，满足函数的图象与轴有交点的所有整式的和为． 其中说法正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分类得到所有可能的组合，再逐个验证三个说法，分类计算即可得到结果． 【详解】解：∵，为正整数， ∴所有可能组合为：， ①单项式满足除外所有系数均为，即，满足，共种组合对应个单项式，故①正确； ②按分类计算总个数： 当，，，为自然数，共种； 当，， ，共种； 当，， ，共种； 当，， ，共种； ∴总个数为种，故②正确； ③ 二次整式即，，满足，与轴有交点即判别式， 当，， ，； 当，仅满足，； 当，仅满足，； 当，仅满足，； ∴所有整式的和为：，故③正确； 综上，三个说法均正确，即说法正确的个数是． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：摸到红球的概率为， 故答案为：． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线平行，点F为焦点．若，则的度数为________． 【答案】24° 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由于平行，，已知，可得的度数，再根据两直线平行，内错角相等，可得的度数． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线平行，点为焦点， ， ， ∴， ． 故答案为：． 13. 若为正整数，且满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算无理数的取值范围，再得到的取值范围，结合为正整数和已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴ ， ∴ ， 为正整数，且满足 ， ． 14. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知第一个方程判断的符号，去掉的绝对值符号，再分和两种情况讨论解方程组，得到，的值后计算的值． 【详解】解：由 ， 可得 ， ， ， ， 将代入得， ，即 把代入 得： 整理得 分两种情况讨论： （1）当时，， 方程化为 ，即， 解得， 把代入，解得， ， （2）当时， ， 方程化为 ，即， 等式不成立，此情况无解， 综上所述，． 15. 如图，以矩形的边为直径的与边相切，连接交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，连接，若，则的半径为________；的长度为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，设半径为，则，根据切线的性质和矩形的性质，可得，再根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而，利用对应边成比例，代入计算即可求出半径； 作，，先利用“”，得，可求，根据锐角三角函数和垂径定理，求出，，再根据矩形的判定，得四边形是矩形，可求，，利用勾股定理，得，进而可得，最后根据平行线的性质和等腰三角形的性质以及圆周角定理，可得，，利用正弦值和等腰三角形的性质，代入计算即可求解． 【详解】解：如图，与相切于点，连接，， 设半径为，则， 与相切于点， ， 矩形， ，，即， ， 在中，， 为的直径， ， ， ， ， ，即，则， 的半径为； 如下图，与相交于点，连接，，过点作，交的延长线于，作，垂足为， ， ， 矩形， ，即， ， ，， ， ， ，， ， 在中，，， ， 在中，，， ，，即，， ，为的直径， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，即， ， ，， ，， ， 在中，， 则， ， ． 16. 我们规定：一个四位数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称这个四位数为“九九同心数”．例如：四位数，因为，所以是“九九同心数”．已知某个“九九同心数”，个位数字为，百位数字比十位数字大，则这个“九九同心数”是________；一个“九九同心数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，若与均是整数，则满足条件的为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义得到各数位数字的关系，结合整除条件求解即可． 【详解】解：∵“九九同心数”个位数字为，百位数字比十位数字大， ∴千位数字为， 设十位数字为，则百位数字为， ∴， 解得：， ∴， ∴这个“九九同心数”是； ∵是“九九同心数”，各数位上的数字均不为， ∴，，其中，，为整数， 由题意得，， ∴ ， ， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴或， “∵的值为，的值为 ∴， 与互质，为整数， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴，即， 当时，， 解得：（不是整数，舍去）， 当时，， 解得：，符合条件， ∴，， ∴的值为． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，， 则不等式组的解集是：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 18. 如图，在中，是的角平分线． （1）实践与操作：作的角平分线，交于点（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）应用与证明：求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点和两弧的交点作射线，交于点； （2）由等边对等角，结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图，为的角平分线． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 学校面向全体学生开展了知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于80分，用表示，共分成四组： A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，89，91，91，94，96，96，96，96，96，99，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94，91，92，90，93，92． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 90 38.7 八年级 90 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生660人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级成绩较好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）用1减去A、B、C组的百分比可知a的值，根据众数和中位数的定义可知b、c的值； （2）根据已知数据判断即可； （3）用七、八年级人数乘以各自竞赛成绩不低于90分的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：，即； 可知组人数为（人）， ∵八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94，91，92，90，93，92，从大到小整理得：94，93，92，92，91，90， ∴； 七年级20名学生的成绩中96出现的次数最多， ∴； 【小问2详解】 解：八年级成绩较好，理由：七、八年级平均分相同，八年级中位数更大，整体成绩更高（合理即可）； 【小问3详解】 解：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是（人）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先根据整式的乘法和分式的混合运算法则化简原式，再计算m的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． （1）求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【答案】（1）该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台 （2）每天生产标准机车的增加数量为23台 【解析】 【分析】（1）设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台，根据题意列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台. 【小问2详解】 解：设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：每天生产标准机车的增加数量为23台． 22. 在中，，，，是边上的中线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，分别写出函数、的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）； （2）如图所示： 的性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 的性质：当时，随x的增大而减小； （3）当时的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理得，中线平分面积，当时，点E在上运动，，求出的面积，当时，点E在上运动， ，用表示，由此求得的函数解析式，对于，先求出的斜边上的高，再利用面积比化简即可求得函数解析式； （2）根据分段函数、反比例函数分别描点画图，再结合函数单调性、极值等性质解答即可； （3）直接利用图象法结合函数图象趋势确定x的范围即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 是边上的中线， ， ， 当时，点E在上运动，此时， 如图，连接 ，取中点为G，连接， ，是边上的中线， 是的中位线， ，， ， 当时，点E在上运动，此时 ， ， 取中点为H，连接，， ，是边上的中线， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 点F在上运动，，过点C作于点M， 则， ， ， 综上，的函数关系式为， 的函数关系式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图可知，当时，的图象在图象的上方， 即， 则当时的取值范围为． 23. 如图是同一平面内四座海岛的示意图，海岛在海岛的西北方向8海里处，海岛在海岛的正东方向，且在海岛的北偏东方向．海岛在海岛的东北方向，且在海岛的北偏西方向．（参考数据：，，） （1）求海岛和海岛之间的距离（结果保留根号）； （2）某一时刻，渔船甲从岛出发，沿某方向匀速直线行驶，同时，渔船乙从岛出发，向正西方向匀速直线行驶．渔船甲的速度与渔船乙的速度之比为，一段时间后两船相遇．相遇时渔船乙行驶了多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）海里 （2）6.6海里 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，海里，根据直角三角形的性质得到 （海里），解直角三角形即可得到结论； （2）设两船在上的点处相遇，连接．过点作于点，先求得海里，海里．设海里，则海里．根据勾股定理列方程，再求解可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作于点． ∵海岛在海岛的西北方向，海岛在海岛的正东方向， 在中，海里， （海里）， （海里）， ∵海岛在海岛的北偏东方向，， 在中， 海里， （海里）， 答：海岛和海岛之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：设两船在上的点处相遇，连接．过点作于点． ∵海岛在海岛的东北方向，海岛在海岛的北偏西方向， 设海里，在中，． 在中，． 解得． ∴海里，海里． ∵两船速度之比为，且时间相同， ∴设海里，海里． ∵渔船乙从向正西行驶，相遇点在上，且海里， ∴在中，． 根据勾股定理得：， 即， 整理得：． 解得：（负值舍去） ∴渔船乙行驶的路程（海里）， 答：相遇时渔船乙行驶了约6.6海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接、，，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，点E、F为直线上的动点（点E在F的上方），且，连接、、、，当与的面积之和取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点C，新抛物线的对称轴与x轴交于点H，点M为直线上一动点，过点M作直线的垂线与新抛物线在直线的上方交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）解：点N的坐标为或． ∵抛物线沿射线方向平移， ∴抛物线先向左平移4个单位，再向上平移4个单位， ∴新抛物线解析式为， ∴新抛物线对称轴为， ∵点H为新抛物线对称轴与x轴交点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点H作交于点K，在上取点，，构造等腰直角三角形，连接，，记新抛物线对称轴与的交点为G， ∴， 分别延长，交抛物线于点，， ∵点N在抛物线上，点M在直线上，，， ∴，均为等腰直角三角形， 由（2）知，直线的解析式为， 令，则， ∴，即， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点， ∴， 解得：，， ∴，， 情况1： 设直线的解析式为， 将点H，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与直线， 得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 情况2： 设直线的解析式为， 将点H，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与直线， 得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，点N的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与y轴交点求出，再利用正切的定义，结合已知条件求得点A，B的坐标，通过待定系数法即可得解； （2）连接，过点P作轴交于点H，得到，先求出直线的解析式，设，则，，当时，取得最大值，此时，最后利用轴对称的性质即可求得的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，得到抛物线的对称轴，从而求得点H的坐标，根据已知条件并利用等腰直角三角形的性质分情况讨论点N的情况，设点，利用勾股定理求出n的值，从而得到点Q的坐标，通过待定系数法求出不同情况下直线的解析式，联立新抛物线解析式，即可求得点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵点C为抛物线与y轴的交点， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵抛物线与点，交x轴， 将点A，B代入得：，解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点P作轴交于点H， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，C代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，将点P沿方向平移后得，将关于直线对称得，连接，与交点K，与y轴交点I，过点作轴，交于点J，与y轴交点L， 设直线的解析式为， 将点A，C分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 令，得，解得：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 由轴对称的性质可知，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在中，， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点I，分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式，得：， 解得：， ∴， ∵点K为的中点， ∴, ∴． 【小问3详解】 略 25. 在中，，，点D是边上一点（不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，交于点F． （1）如图1，，点D是的中点，求的度数； （2）如图2，，，点M为的中点，点N为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，点P为边上一动点，连接并延长至点G，连接，，过A作交于点H，请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， 证明：在上取一点,使连接，， ∴， ∴， 由旋转得, ∵，， ∴ ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴长度恒为的一半，即； （3） 【解析】 【分析】（1）先证是等边三角形，是等腰直角三角形，证得 ，再求出的度数即可； （2）在上取一点,使连接，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用中位线定理得到即可求证； （3）根据圆周角定理，点的轨迹是在以为弦，圆心角为的圆弧上运动且过，所以可以确定圆心为，半径为6的圆上运动，根据圆的最值问题计算和特殊位置关系得到，代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：由旋转性质得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，  是等腰直角三角形， ∵是中点， ∴ 在中，， ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 存在最大值，最大值为， 延长交于点，过作交于点，于， ∴ ∵当为的中点时，则， 又∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ∴在中，，到的距离为，  ∵， ∴根据圆周角定理，点的轨迹是在以为弦，圆心角为的圆弧上运动且过， ∵， 圆心在，半径为， ∴点到的最大距离为， ∴四边形的面积最大为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，中位线定理，圆的基本性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $