期末复习专题05 向量的数量积【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 以数量积概念为核心，系统覆盖投影、模长、夹角等六大考点，题型多样，逻辑递进，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积的概念|6题|选择/填空|从概念辨析到几何应用，构建基础认知| |投影向量问题|6题|选择/填空|聚焦几何意义，强化数量积几何表征| |模长问题|6题|选择/填空|通过数量积公式转化，提升代数运算能力| |夹角问题|6题|选择/解答|直接应用数量积公式，培养推理意识| |平行与垂直问题|6题|选择/解答|特殊数量积应用，建立位置关系判定逻辑| |最值与取值范围问题|8题|选择/解答/多选|综合应用前序知识，发展数学思维与创新意识|

专题05 向量的数量积 考点一 数量积的概念 考点二 数量积中投影向量的问题 考点三 数量积中模长问题 考点四 数量积中夹角问题 考点五 向量中平行与垂直的问题 考点六 向量中最值与取值范围的问题 考点一 数量积的概念 1．已知，，则“”是“向量与共线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______． 3．已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．已知向量的夹角为，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 6．已知菱形的边长为是的中点，则（    ） A． B． C． D． 考点二 数量积中投影向量的问题 7．设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 10．若向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 11．已知向量，，若向量在向量上的数量投影为，则_______． 12．已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 考点三 数量积中模长问题 13．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 14．已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 15．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 16．已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 17．已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（    ） A． B．4 C． D． 18．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 考点四 数量积中夹角问题 19．已知向量、、均为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 20．已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________． 21．已知平面向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 22．已知向量，若. (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值. 23．已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 24．已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 考点五 向量中平行与垂直的问题 25．已知向量，，若，则实数m的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 26．已知，若，则______. 27．已知向量，，若，则_________. 28．已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 29．（多选）已知平面向量，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则x的取值范围为 D．若，则在上的投影向量的坐标为 30．已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 考点六 向量中最值与取值范围的问题 31．已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 32．蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 33．半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 35．如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． (1)若，证明：； (2)若，，求a的值； (3)若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. 36．已知点 在单位圆的内接正方形 的边 上运动，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．在边长为2的菱形中， (1)以，为基底，分别表示和； (2)证明：； (3)点在线段上运动，求的最值. 38．（多选）四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（    ） A． B．当时，为CD中点 C．的最小值为 D．的最大值为 1．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则与的夹角为锐角 2．已知向量 ，，若 ，则实数 （ 　　） A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D． 4．已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 6．已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为，则（   ） A． B． C．5 D．13 7．（多选）已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 8．（多选）已知向量，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 9．（多选）已知向量都是非零向量，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选）如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 11．已知平面向量，若向量与夹角为，则______，若，写出一个的坐标______． 12．已知向量满足，，夹角为，则在上的投影向量为_______. 13．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为_______. 14．已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 15．已知向量满足，且，则_______________. 16．已知，． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角θ． 17．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量和； (2)设和的夹角为，若，且，求证：； (3)若，，求点的坐标. 18．如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 向量的数量积 考点一 数量积的概念 考点二 数量积中投影向量的问题 考点三 数量积中模长问题 考点四 数量积中夹角问题 考点五 向量中平行与垂直的问题 考点六 向量中最值与取值范围的问题 考点一 数量积的概念 1．已知，，则“”是“向量与共线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由或. 若，则；若，则. 所以或. 所以“”是“向量与共线”的充分而不必要条件． 2．已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______． 【答案】6 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】向量，且与的夹角为， 则， . 故答案为：6 3．已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 4．已知向量的夹角为，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】由题意可知：向量的夹角为，， 则， 所以. 5．在边长为2的菱形中，，E为中点，则的值为______． 【答案】1 【详解】如图所示,在边长为2的菱形中，，E为中点， 所以 ， ， ， ， . 6．已知菱形的边长为是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 考点二 数量积中投影向量的问题 7．设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    8．已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是单位向量，所以， 由，得，所以， 所以在上的投影向量为. 9．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知向量，满足，，则， 则向量在向量方向上的投影向量为. 10．若向量，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若向量， 则在上的投影向量为. 11．已知向量，，若向量在向量上的数量投影为，则_______． 【答案】 【分析】根据投影的计算公式，以及向量的坐标运算，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】因为，，故，； 由题可知：，则，解得. 故答案为：. 12．已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 则， ， 则在向量上的投影向量为. 考点三 数量积中模长问题 13．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 14．已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】由题知，，， 则. 设，即，，即，解得或. 当时，，则，此时共线，不合题意； 当时，，符合题意. 15．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求出及模长即可． 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故， 所以. 16．已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及模的坐标计算公式即可求解． 【详解】由得，， 所以． 17．已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由投影向量的性质得向量在向量方向上的投影向量是， 设，则，，得到投影向量是， 而向量在向量方向上的投影向量恰好是，可得， 则，由模长公式得， 因为，所以， 解得或，则或， 当时，，由模长公式得， 当时，，由模长公式得， 综上可得，，故A正确. 18．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 考点四 数量积中夹角问题 19．已知向量、、均为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，根据平面向量数量积的运算性质可求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量、、均为单位向量，若，则， 所以，所以， 则， 又因为，所以，即与的夹角为. 20．已知平面向量满足，且，则向量夹角的余弦值为___________． 【答案】 【分析】由向量垂直的数量积表示计算. 【详解】因为，所以， 所以. 21．已知平面向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据向量数量积的运算，根据模求，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，所以， 则，且，所以， 所以向量的夹角为. 22．已知向量，若. (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合数量积的坐标运算求解； （2）由题意可得，利用向量的坐标运算求向量夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得. （2）因为，则， 由（1）可得，则， 所以. 23．已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 24．已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据坐标运算得，再根据向量夹角公式列方程求解即可. 【详解】，， ， ，的夹角与，的夹角相等， ，即，解得， 考点五 向量中平行与垂直的问题 25．已知向量，，若，则实数m的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法及数量积的坐标运算法则即可求解． 【详解】由题可知，， 由得，． 26．已知，若，则______. 【答案】 【详解】由，且，得，解得； 则，又，得，解得. 所以. 27．已知向量，，若，则_________. 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，再利用两向量垂直时数量积为0的性质列方程求解的值. 【详解】，，可得， 因为，所以，解得. 28．已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，， 由有 ，解得． （2）由已知，， 由有，解得， 于是． 29．（多选）已知平面向量，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则x的取值范围为 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】CD 【详解】A，若，则，解得，错误； B，若，则，解得，错误； C，若与的夹角为锐角，则，解得， 结合B分析，所以与的夹角为锐角的充要条件是，正确； D，若，则，而， 所以， 所以在上的投影向量的坐标为，正确． 30．已知向量，若满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为， 所以，， 因为且， 所以且，解得. 考点六 向量中最值与取值范围的问题 31．已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】通过建立直角坐标系使用三角换元，利用参数表示动点坐标，最终将求的范围转化为求两个相互独立变量的最值问题. 【详解】以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设， ，，，解得， 所以在边上，不妨设，，点， 因为，所以有，设，则， 故，，即，， 因为，所以， 即， 结合，当时，取最大值， 当时，取最小值， 故． 32．蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系,将向量点积转化为点P横坐标的线性表达式，结合正六边形内部点的坐标范围求解取值范围. 【详解】如图，以正六边形的顶点为坐标原点， 所在直线为轴， 所以直线为轴，建立平面直角坐标系： 则，， 设，则， 则， 所以. 33．半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积，结合点的位置求解即可. 【详解】如图，设圆的圆心为点，，则为等边三角形. 过点作，交于点， 当点在点右侧时， 当点在点左侧时，； 当点在点正上方时，，. 当点在点右侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，即； 当点在点左侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，则， 综上，的取值范围为. 34．如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】如图：过作于点，以为原点，以所在直线分别为轴建立直角坐标系，则，直线的方程为. 设,,，，即， 当或时取得最大值； 当时取得最小值.所以的取值范围是. 35．如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． (1)若，证明：； (2)若，，求a的值； (3)若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）用中点公式表示 ，结合 ，再通过向量减法得到 ； （2）引入未知的比例系数，将相关向量都用两个不共线的基底表示，利用向量相等的条件，将各分向量表达式代入，得到关于两个未知数的方程组，解方程组求得目标系数. （3）设 ，将数量积表示为 的二次函数，由 求值域. 【详解】（1）证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以. （2）设， 由， 得， 即， 即， 因为，不共线，所以，解得. （3）因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，，， 设， 则， 因为，所以， 所以的取值范围是. 36．已知点 在单位圆的内接正方形 的边 上运动，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式，再利用二次函数求出值域即可. 【详解】由单位圆的内接正方形，得，设，则， 由，得 ，同理， 因此 . 37．在边长为2的菱形中， (1)以，为基底，分别表示和； (2)证明：； (3)点在线段上运动，求的最值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用平行四边形加法法则和三角形减法法则即可； （2）利用向量积为零来证明两直线垂直； （3）利用共线向量和向量的数量积运算，即可得到二次函数求最值. 【详解】（1）根据平行四边形向量加法法则，可得： 根据三角形向量减法法则，可得： （2）由， 由边长为2的菱形，可得， 所以，即，故AC⊥BD得证； （3） 设，其中，则： ，， 所以， 因为， 所以， 这是开口向上的二次函数，对称轴为 ​， 所以在区间上单调递增： 则当时，取得最小值，当时，取得最大值. 38．（多选）四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（    ） A． B．当时，为CD中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过建立平面直角坐标系分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】以为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如下图所示   ， 因为四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D）， 所以，设， 选项A：，所以； 选项B：， 当时，可得，解得，即为CD中点； 选项C：，则， 所以，当时，的最小值为2； 选项D：当或1时，的最大值为. 1．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则与的夹角为锐角 【答案】B 【详解】对于A，如，，，而，故A错误； 对于B，因为，所以与方向相同，故，故B正确； 对于C，若，满足，，但与不一定平行，故C错误； 对于D，当为非零向量，且共线同向时，满足，此时与的夹角为0，故D错误. 2．已知向量 ，，若 ，则实数 （ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知向量 ，，则 ，， ∴ ，解得 ． 3．已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 ． 4．已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的向量表示及向量共线求解即可. 【详解】由题意可知且向量，不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 5．已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】A 【详解】由题设，又，， 所以， 由，所以 6．已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为，则（   ） A． B． C．5 D．13 【答案】A 【分析】先根据投影向量的定义求出的值，再展开所求数量积代入计算即可 【详解】因为，所以，由向量模的计算公式得， 因为向量在上的投影向量为，向量在向量上的投影向量的坐标为， 所以 ，对比等式左右两边的横坐标，可得，解得， 所以. 7．（多选）已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 【答案】AD 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【详解】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 8．（多选）已知向量，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，则， 所以，解得，故，B错误； C选项，，故， 所以，C正确； D选项，，D正确. 9．（多选）已知向量都是非零向量，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】因为，且都是非零向量，所以，A正确； 因为，所以，B正确； 因为，所以， 则，所以，C正确； 当时，， 但不一定相等，D错误. 10．（多选）如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【分析】先建立直角坐标系，对于A，需要将用、表示出来，进而求出的值；对于B，可取中点，通过极化恒等式判断；对于C，根据向量数量积的坐标运算求的最大值；对于D，利用坐标进行化简，再根据模的坐标计算公式求出其最小值. 【详解】我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标：    ， ， ， ， ， ， . 选项A： 由  得 ，   解得 ，故A正确； 选项B：取的中点，，故B错误； 选项C：， 当点在上时，，故C正确； 选项D：则，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确. 11．已知平面向量，若向量与夹角为，则______，若，写出一个的坐标______． 【答案】 【分析】根据向量的模以及向量数量积的计算求解即可. 【详解】已知平面向量，若向量与夹角为， 则. 设，因为，且，所以. 因为，则，化简得，解得. 取，则，因此. 12．已知向量满足，，夹角为，则在上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 所以在上的投影向量为. 13．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为_______. 【答案】 【详解】由，，得， 因此，， 而，所以. 14．已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 【答案】 /0.5 【分析】根据向量数量积的运算方法，直接求出结果即可，再根据向量数量积的运算律，列出方程组，求出参数值，求出结果即可. 【详解】由题意可知； 所以 因为，所以， 得，解得， 则. 15．已知向量满足，且，则_______________. 【答案】 【详解】∵ ，对等式两边同时平方得. 展开得①， ∵， ∴， 展开得， 整理得②， 将①中的代入②，得， 即，解得， ∴ 16．已知，． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角θ． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据向量平行的性质求解即可； （2）根据模长公式，及数量积的定义即可求解； （3）根据向量垂直的性质，及数量积的定义即可求解． 【详解】（1）若，则与的夹角为0或π， 所以或． （2）若，的夹角为， 则， 所以． （3）若，则，即， 所以，即，解得， 又，所以． 17．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量和； (2)设和的夹角为，若，且，求证：； (3)若，，求点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） （2）， ， （3）设，由已知可得 ，即 所以点的坐标是 18．如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， ∴ ∵，则， ∴ ∴. （2）由，，得：，， ∴ 则， ∵与的夹角为， ∴ 解得. （3）依题意设、，且，， ∵为的中点， ∴ ∵为中点，同理可得： ∴ 由题意可知，，， ∴ 在中依据余弦定理得： 代入上式得： 在中，由正弦定理： 设，则，且， ∴， ，其中为锐角，且， ∵，则， 故当时，取最大值， ∴ 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义； （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的运算律. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $