高中数学同步导学（2017新课标）（函数及其性质1）：专题三 函数的奇偶性及周期性

函数奇偶性的判断及应用 【知识简介】 函数的奇偶性常与函数单调性相结合，解决求值、求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于中低档题． 【典例】 1(1)(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 (2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (3)(2015·课标Ⅰ，13)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝______． 【答案】　(1)A　(2)C　(3)1 (2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5 的解集是________． 【答案】　(－7，3), 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f(x)与f(－x)的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)图象法 观察f(x)的图象，若关于原点对称，则f(x)为奇函数，若关于y轴对称，则f(x)为偶函数． 应用奇偶性可解决的问题及方法 (1)求函数值：利用奇偶性转化到已知区间上求解． (2)求解析式：步骤：①求谁设谁；②转化到已知解析式的区间；③利用已知区间解析式求出f(－x)；④利用奇偶性求出f(x)． (3)求解析式中参数的值：利用待定系数法求解，由f(x)±f(－x)＝0得出关于参数的恒等式，进而求解． 函数的周期性 【知识简介】 函数的周期性常与函数的奇偶性、图象的对称性结合，考查函数求值等问题，难度中等，一般以选择题、填空题的形式出现． 【典例】 2(1)(2012·山东，8)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　) A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 (2)(2014·四川，12)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f