高中数学同步导学（2017新课标）（函数及其性质1）：专题四 二次函数与幂函数

二次函数 【知识简介】 在高考中，二次函数图象常与其他函数结合考查，多以选择题形式出现，难度偏大，属于中高档题． 二次函数性质中单调性及最值在高考中出现频率较高，在解答题中常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、零点与不等式问题，难度较大． 【典例】 1(1)(2015·四川，9)如果函数f(x)＝上单调递减，那么mn的最大值为(　　) (m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间 A．16 B．18 C．25 D. (2)(2013·辽宁，12)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝ max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　) A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16 C．－16 D．16 ③当m－2<0，即0≤m<2时，f(x)开口向下，对称轴x＝－，整理得m＋2n≤18.≤＝ ∴mn＝，≤××2mn≤ 当且仅当m＝2n，m＋2n＝18，即n＝，m＝9时，等号成立，而m＝9与0≤m<2矛盾；故不合题意． 综上可知，mn的最大值为18，故选B. (2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图． 由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16. 【答案】　(1)B　(2)C, 【名师点睛】 (1)首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式求最值．注意需对二次项系数进行分类讨论． (2)比较两个函数的大小可以转化成两图象的上下位置关系，故可用图象法求解，在画图时要抓好轴与顶点． 二次函数图象的主要考查方向 (1)二次函数的图象的识别问题，主要有以下三个要点： 一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置； 三是看函