专题01 平面向量的线性运算与坐标运算 期末真题专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以“概念-运算-定理-坐标”为逻辑主线，覆盖6大核心题型，精选多地区期末真题，系统强化平面向量基础与应用，培养抽象能力、推理意识及数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念|4题（多选为主）|考查向量定义、性质及基底条件|概念生成基础，区分易混属性| |线性运算|4题|结合图形的加减运算|运算规则的几何应用| |基本定理应用|7题|基底表示向量，涉及中点、交点|连接几何与代数的桥梁| |坐标运算|5题|坐标计算、旋转及几何图形表示|向量运算的代数化| |共线定理|8题（含解答题）|共线条件应用及三点共线证明|向量关系的核心判定| |共线坐标表示|4题|坐标共线条件及基底判断|共线定理的坐标实现|

专题01 平面向量的线性运算与坐标运算 目录 题型1：平面向量的基本概念 2 题型2：平面向量的线性运算 5 题型3：平面向量基本定理的应用 7 题型4：平面向量的坐标运算 11 题型5：向量共线定理 14 题型6：向量共线的坐标表示 20 题型1：平面向量的基本概念 【例1.1.】 （24-25高一下·四川成都·期末）下列结论正确的是（   ） A． B．若，，则四边形是矩形 C．若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量 D．若平面内两个非零向量，满足，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、平面向量的混合运算、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据平面向量的线性运算判断A；根据向量共线的特征判断B；根据相等向量，相反向量的定义判断C；根据平面向量的数量积的运算律可得，进而结合基底的概念判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，得不到四边形为矩形，如下图，可以为等腰梯形，故B错误； 对于C，若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量或相反向量，故C错误； 对于D，由，则， 即，所以，又，为非零向量，则不共线， 它们可以作为平面内所有向量的一个基底，故D正确. 故选：D. 【例1.2.】 （多选）（24-25高一下·安徽淮北·期末）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【难度】0.86 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 【例1.3.】 （多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）对于任意向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，满足，且，反向，则 B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】向量模的坐标表示、用定义求向量的数量积、向量减法法则的几何应用、平面向量的概念与表示 【分析】向量之间无法比较大小，可判断A；利用数量积的概念与性质可判断B，举反例可判断C；根据向量减法的几何意义可判断D. 【详解】对于A选项，向量之间无法比较大小，A错误， 对于B选项，，B正确， 对于C选项，当，时，，， 则，，此时，C错误， 对于D选项，取平面内三点A，B，C，令，，则， 而由可得，D正确， 故选：BD． 【例1.4.】 （多选）（24-25高一下·陕西汉中·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数使 C．若不相等，则一定不共线 D．若，则 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示、平面向量基本定理的应用、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】当时，即可对A判断；由平面向量基本定理可对B判断；由平面向量的共线知识即可对C判断；由，可化简得到，即可对D判断. 【详解】A：当，可满足，但不一定得到，故A错误； B：由平面向量的基本定理，若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数使，故B正确. C：当时，与不相等，但与共线，故C错误； D：由，两边同时平方得，解得，即，故D正确. 故选：BD. 题型2：平面向量的线性运算 【例2.1.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【详解】解：． 【例2.2.】 （24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 【例2.3.】 （24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 【例2.4.】 （24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 题型3：平面向量基本定理的应用 【例3.1.】 （24-25高一下·福建厦门·期末）平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】以向量为基底，结合向量的线性运算用基底表示向量. 【详解】． 故选：A    【例3.2.】 （24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解. 【详解】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 【例3.3.】 （24-25高一下·天津·期末）在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量 【分析】作，利用平行线分线段成比例可推导得到，结合向量加法和数乘运算可求得结果. 【详解】作，交于点，   ，，， ，， . 故选：C. 【例3.4.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 【例3.5.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【详解】在平行四边形中， ，，， 则，， ， 解得，，，所以，． 【例3.6.】 （24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值． 【详解】由，可得， 所以， ，． 故选：A 【例3.7.】 （24-25高一下·北京顺义·期末）在中，点P，Q满足，.若，则_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由进行求解． 【详解】由，得， 由，得， 则 ， 得， 则， 故答案为： 题型4：平面向量的坐标运算 【例4.1.】 （24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】坐标计算向量的模、用坐标表示平面向量、零向量与单位向量 【分析】利用向量的定义运算，结合相反向量和单位向量的概念即可求解. 【详解】由，，可得向量， 则与向量方向相反的单位向量为， 故选：C. 【例4.2.】 （24-25高一下·安徽·期末）已知向量如图所示，图中小方格的边长为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】坐标计算向量的模、用坐标表示平面向量 【分析】建立平面直角坐标系，求出各向量坐标，再逐项判断即得. 【详解】建立平面直角坐标系，如图，    则， 对于A，，A错误； 对于B，不共线，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 【例4.3.】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量减法的法则 【分析】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 【例4.4.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题干中的定义即可求得结果. 【详解】因为B绕点A沿顺时针方向旋转即B绕点A沿逆时针方向旋转， 因为点，，所以， 根据题干定义， 得点P的坐标为， 故选：D 【例4.5.】 （24-25高一上·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由向量线性运算结果求参数、用坐标表示平面向量 【分析】建立直角坐标系，则，根据，求出，即可得解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： ，分别为的中点，， 以为圆心，为半径的圆交于，点在劣弧上，且， 所以即， 由，得， 所以，所以，所以. 故答案为： 题型5：向量共线定理 【例5.1.】 （24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 【例5.2.】 如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理证明线平行问题、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【例5.3.】 （24-25高一下·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合向量共线的判定，逐项判定，即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，且对角， 对于A中，由，所以与共线，所以A符合题意； 对于B中，由，向量与不共线，所以B不符合题意； 对于C中，由，向量与不共线，所以C不符合题意； 对于D中，由向量与不共线，所以D不符合题意. 故选：A. 【例5.4.】 （24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 【例5.5.】 （24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 【例5.6.】 （24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则______．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算和共线定理求解即可. 【详解】根据题意可知，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 所以，解得， 所以， 所以，，， 故答案为： 【例5.7.】 （24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、平面向量基本定理的应用 【分析】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值. 【详解】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【例5.8.】 （24-25高一下·湖南永州·期末）已知中，，，，，则的最小值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论、用基底表示向量 【分析】令则三点共线，进而可得当垂直时，最小，计算即可. 【详解】令， 所以为等边三角形， ， 记三点共线， 当垂直时，最小，则的最小值为. 故答案为： 题型6：向量共线的坐标表示 【例6.1.】 （多选）（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【分析】根据给定条件，利用向量基底的定义，共线向量的坐标表示逐项判断即得. 【详解】对于A，，不共线，可作基底，A是； 对于B，，，不能作基底，B不是； 对于C，，不共线，可作基底，C是； 对于D，不能作基底，D不是. 故选：AC 【例6.2.】 （24-25高一下·安徽宣城·期末）向量，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例6.3.】 （24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】首先根据三点共线可求得，可求.再根据向量共线定理与向量加法运算即可求解. 【详解】，， ，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 故答案为：. 【例6.4.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的线性运算与坐标运算 目录 题型1：平面向量的基本概念 2 题型2：平面向量的线性运算 3 题型3：平面向量基本定理的应用 3 题型4：平面向量的坐标运算 5 题型5：向量共线定理 6 题型6：向量共线的坐标表示 7 题型1：平面向量的基本概念 【例1.1.】 （24-25高一下·四川成都·期末）下列结论正确的是（   ） A． B．若，，则四边形是矩形 C．若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量 D．若平面内两个非零向量，满足，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底 【例1.2.】 （多选）（24-25高一下·安徽淮北·期末）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【例1.3.】 （多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）对于任意向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，满足，且，反向，则 B． C． D． 【例1.4.】 （多选）（24-25高一下·陕西汉中·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数使 C．若不相等，则一定不共线 D．若，则 题型2：平面向量的线性运算 【例2.1.】 （24-25高一下·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 （24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 题型3：平面向量基本定理的应用 【例3.1.】 （24-25高一下·福建厦门·期末）平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 （24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 （24-25高一下·天津·期末）在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 （24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【例3.5.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【例3.6.】 （24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 （24-25高一下·北京顺义·期末）在中，点P，Q满足，.若，则_________. 题型4：平面向量的坐标运算 【例4.1.】 （24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则与向量方向相反的单位向量为（    ）． A． B． C． D． 【例4.2.】 （24-25高一下·安徽·期末）已知向量如图所示，图中小方格的边长为1，则（    ）    A． B． C． D． 【例4.3.】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【例4.5.】 （24-25高一上·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则______． 题型5：向量共线定理 【例5.1.】 （24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【例5.3.】 （24-25高一下·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 （24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例5.5.】 （24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 （24-25高一下·天津和平·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，记（），则______．    【例5.7.】 （24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为________. 【例5.8.】 （24-25高一下·湖南永州·期末）已知中，，，，，则的最小值为_______. 题型6：向量共线的坐标表示 【例6.1.】 （多选）（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 （24-25高一下·安徽宣城·期末）向量，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6.3.】 （24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 【例6.4.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $