精品解析：山东省聊城市2025-2026学年初中学业水平考试模拟试题 数学

2025-2026学年初中学业水平考试模拟试题 数学 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔把自己的姓名，考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答是卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液，胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 3的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 2016年我国新能源汽车产量达万辆，居世界第一，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为(　　) A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图所示，在中，是上一点，且，连接，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 13. 不等式组的解集是________． 14. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线l的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 17. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是：床铺整理，：衣物清洗，：手工制作、：简单烹饪、：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （2）若该校共有名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数； （3）小兰同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率． 18. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 19. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6． （1）求k的值； （2）若点A的纵坐标为2，求D的坐标． 21. 如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． （1）求证：是的切线． （2）若， ，求的长． 22. 已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． （2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初中学业水平考试模拟试题 数学 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔把自己的姓名，考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答是卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液，胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 3的相反数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：3的相反数是； 故选D． 2. 2016年我国新能源汽车产量达万辆，居世界第一，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵万，将表示为时，，满足，小数点向左移动了位， ∴ ，即． 3. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂乘法运算以及完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、同底数幂乘法运算法则以及完全平方公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故运算不正确，不符合题意； B. ，故运算不正确，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D. ，故运算不正确，不符合题意． 故选：C． 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，证明四边形是正方形，进而得出，，然后根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴图中阴影部分面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形是正方形是解题的关键． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 9. 如图所示，在中，是上一点，且，连接，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上， ，， ， ， ，，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 轴， N的横坐标为x， （1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， ， ， ， 该段图象为开口向上的抛物线； （2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为， ， 该段图象为直线； （3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， 由，可得直线的解析式为， ，， ， ， 该段图象为开口向下的抛物线； 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】式子有意义，则x+1≥0，x-3≠0，解出x的范围即可. 【详解】式子有意义，则x+1≥0，x-3≠0，解得：，，故答案为且. 【点睛】此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，及解不等式是解决本题的关键. 12. 妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长公式求解底面半径． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据弧长公式，可得扇形弧长为：， 由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：， 解得． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 14. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点A作于点Q， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线l的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用、等腰直角三角形的判定与性质以及点的坐标规律问题，确定，……的变化规律是解题关键．过点作轴于点，依次求出的坐标，找出规律即可获得答案． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点， ∴， ∵，……均在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得， 同理可得，， …… ∴，， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 17. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是：床铺整理，：衣物清洗，：手工制作、：简单烹饪、：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （2）若该校共有名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数； （3）小兰同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率． 【答案】（1）补充条形统计图见解析， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（）根据选择“”的人数及比例求出总人数，总人数乘以占的比例求得“”的人数，总人数减去其他类别的人数求得“”的人数，据此即可将条形统计图补充完整，再用乘以“”占的比例即为“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （）利用样本估计总体思想求解； （）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体，利用画树状图或者列表法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：人， ∴“”的人数人， ∴“”的人数人， 补充条形统计图如图： “手工制作”对应的扇形圆心角度数； 【小问2详解】 解：， 答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有种， ∴甲乙两位同学选择相同课程的概率为． 18. 综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1）该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）每架迷你无人机的售价应降低20元． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据2025年11月的销售量2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润每架的利润销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 19. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 【答案】（1）此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为 （2）点距离桌面的高度差约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，从而可得，然后分别求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 图1 ． ， 在中，， ， 此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为； 【小问2详解】 延长交于点， 由题意得：， ， 当时， ， 在中，， ， 当时， ， 在中，， 图2 ， 点距离桌面的高度差， 点距离桌面的高度差约为． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6． （1）求k的值； （2）若点A的纵坐标为2，求D的坐标． 【答案】（1） （2）点D 的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点． （1）得到的面积为3，则可得； （2）求得点坐标，再求、坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可解答． 【小问1详解】 解：正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点， ， 的面积为6， ， 根据反比例函数的几何意义可得， 反比例函数图象为第一、三象限， ∴； 【小问2详解】 解：反比例函数解析式为， 把代入，可得， ∴点A的坐标为， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式， 当时，， ∴点D的坐标为． 21. 如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． （1）求证：是的切线． （2）若， ，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）如图：连接，利用证明 得到即可证明是的切线； （2）如图：连接，先说明，即．再根据圆周角定理可得；设，，由勾股定理可得，即．解答，进而得到、；由全等三角形的性质可得，进而得到；则，然后求得即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， 在与中， ， ∴． ∴， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图：连接． ∵，， ∴． ∴．． ∵为直径， ∴，． 设，，， ∴． ∴，，． ∵， ∴． ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 22. 已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． （2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】（1）①；②当时， （2） 【解析】 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． 【小问2详解】 ∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $