精品解析：2025年山东省聊城文轩初级中学中考数学三模

二0二五年中考数学模拟试题 亲爱的同学们伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束后只交回答题卡． 5．不允许使用计算器． 愿你放松心情、认真审题、缜密思考、细心演算，交一份满意的答卷． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列实数中，绝对值最大的数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的绝对值，先求出各个数的绝对值，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的数是， 故选：C． 2. 下列图形是各地图书馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 3. 人工智能给人民的生活带来了很大的便利，体现在生活、工作、医疗等各个方面，手机上人工智能APP品类繁多，其中AIPPT制作软件下载安装763万次，将763万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：763万． 故选：D． 4. 如图是正三棱柱，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是几何体三视图．根据左视图的定义：从物体左面所看到的平面图形，即可得出结论． 【详解】解：根据左视图的定义，它的左视图是． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，根据有关的知识点逐个计算后判断即可． 【详解】A、，计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（ ） A. 60米 B. 72米 C. 80米 D. 96米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出原计划每天改造管网的长度，再将其代入中，即可求出实际每天改造管网的长度． 【详解】解：设原计划每天改造管网米，则实际每天改造管网米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴实际每天改造管网（米）． 故选：D． 7. 如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ， 该正多边形的边数为， 故选C． 8. 某校艺术节演讲比赛的决赛共有8名学生入围，将8名同学分为A、B两组，A组有3名男生和1名女生，B组有2名男生和2名女生，现在分别从A，B两组中随机抽取1名学生进行，则抽取的两名同学都是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先列表，然后根据概率公式列式计算即可得出答案． 【详解】列表： A组 B组 男 男 男 女 男 男男 男男 男男 女男 男 男男 男男 男男 女男 女 男女 男女 男女 女女 女 男女 男女 男女 女女 共16种等可能结果，抽取的两名同学都是男生的结果是6种， ∴抽取的两名同学都是男生的概率是． 故选：A． 9. 如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．连接交于，先证明，得到，再证明，得到，则四边形是菱形，得到，，在中， ，，，求出，，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B． 10. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A. B. C. D. 为等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图中的作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，等边对等角，根据作图步骤得到，，据此求解即可． 【详解】解：由作图步骤得到，， ∴，为等腰三角形， ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果．） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提公因式和平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；先提公因式，再由平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-2≥0且x+1≠0， 解得：x≥2且x≠-1． 所以：x≥2 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大. 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴, 解得, 又∵;是关于的一元二次方程， ∴, ∴且, 故答案为：且. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 14. 如图，内接于，是的直径，点E是圆上一点，连接，，，且，已知，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由圆周角定理可得，求出，再由平行线的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】观察点的坐标，寻找循环规律，确定周期，通过计算除以周期的余数，判断在循环中的位置，进而求解坐标． 本题主要考查坐标规律探索，熟练掌握“找循环周期、算余数定位置”的解题思路，是解决此类规律题的关键． 【详解】解：即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 观察坐标序列，发现每个点为一组循环，每组对应规律： ， ， ， ， ， ， ， ，说明 是第 组的第 3 个点． 对于第 组第 个点，横坐标为，纵坐标为． 的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式方程的求解，特殊三角函数的求解，算术平方根的求解等知识的求解，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先根据乘方，算术平方根，特殊三角函数值，化简绝对值计算各项，再合并同类项即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】解： ； （2）， 两边乘以去分母得： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验，当时，， 是原分式方程的根． 17. 四边形为矩形，，，点为对角线上的一动点，连接，过点作交于点． （1）若点为对角线中点，如图，求线段的长． （2）若点为对角线延长线上的一点，，如图，则线段的长为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线构建直角三角形，利用角的关系证明三角形相似，结合相似三角形性质求出相关线段长度，再用勾股定理计算． （2）过点作，过点作交延长线于点，利用角的关系找相似，结合已知条件求出相关线段，最后用勾股定理算出长度． 【小问1详解】 解：过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，为对角线中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ，， ，， ， 又， ， 即， ∴， ； 【小问2详解】 解：过点作，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ， ，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ， ∴， 即， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，灵活运用勾股定理计算线段长度是解题的关键． 18. 2025年月是第个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”，某社区医院的眼科大夫进行入校园检查七、八年级的学生视力活动，检查结束后，随机抽取部分八年级的学生的视力情况进行查看，将视力情况（用表示）分为四组：组（），组（），组（），组（） 其中组的视力情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，， 绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数直方图，抽取的学生总数为_______； （2）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为_______； （3）视力在以下（包括）的学生通常认为是低于正常水平的，需要及时复查治疗，如果该校初二年级有名学生，请估计该年级视力低于正常水平的有多少学生？ 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 4.6 4.8 4.7 2.03 八年级 4.5 a 46 3.06 （4）求出表中的a值，并根据表中的数据评价一下七八年级学生的视力情况，并对视力较差的学生提出合理化的建议． 【答案】（1）补全统计图见解析， （2） （3）该年级视力低于正常水平的有名学生 （4），建议见解析 【解析】 【分析】（1）通过B组数据数出B组频数，结合扇形统计图中C组占比求出总数，再算出C组频数补全直方图． （2）用A组频数除以总数再乘得到A组圆心角度数． （3）先算出样本中视力低于正常水平（A、B组）的频率，再用总人数乘该频率估计总体． （4）先根据总数确定八年级数据个数，排序找中位数得，再对比七、八年级统计量评价视力情况并提建议． 【小问1详解】 解：设抽取学生总数为，则 ， ∴ ， 解得． 故抽取的学生总数为． 组频数组频数，补全直方图如下： ， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：∵ A组频数是，总数是， ∴ A组所对应圆心角的度数． 故答案为 ． 【小问3详解】 解： 估计视力低于正常水平的学生数（名）． 故估计该年级视力低于正常水平的有名学生 ． 【小问4详解】 解：八年级抽取名学生，中位数是按顺序排列后第、个数据的平均数．将八年级视力数据排序后，第、个数据都是， ∴ 中位数． 对比七、八年级数据，七年级平均数、中位数、众数都大于八年级，七年级方差小于八年级方差 ．说明七年级学生视力整体较好，数据更集中；八年级视力稍差，数据离散程度大 ． 建议：视力较差学生应减少电子产品使用时间，保证充足睡眠，坚持做眼保健操，多参加户外活动，定期检查视力． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数等知识点，熟练掌握各统计量的计算方法和统计图的运用是解题的关键． 19. 某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某山丘的高度，在D点测得山顶A的仰角为，沿着DC方向前进14米，在点E处测得点A的仰角为，测量报告如下表： 课题 测量某山丘的高度 成员 组长：╳╳╳ 组员：╳╳╳，╳╳╳，╳╳╳ 测量工 具 测角仪，米尺 测 量 示 意 图 测量数据 米，， 参考数据 ，≈，， 请根据图中测量数据，求出山丘的高度．（结果保留一位小数） 【答案】山丘的高度为米 【解析】 【分析】过点作于点，设，利用三角函数分别在和中表示出和的长度，再根据米这一关系列出方程，进而求解出，即山丘的高度．本题主要考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟练掌握三角函数的定义（在直角三角形中，正切函数）并通过设未知数，利用线段间的关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，设， 在中， ∴， ∵， ∴中，-， ∵， ∴， 米， 答：山丘的高度为米． 20. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连． ①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由． 【答案】（1）④ （2）①四边形是“神奇四边形”，理由见解析；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； 【小问1详解】 解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④； 【小问2详解】 解：①四边形是“神奇四边形”， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由①可得，， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． 【点睛】本题考查新定义、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 如图，是的直径，点C、D是圆上的两点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点E，垂足为点E，若为圆的切线． （1）求证：点C为弧的中点． （2）若，求圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质结合已知易证，推出，进而得到，即可得出结论； （2）连接交于点G，证明四边形为矩形，求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：证明：连接， ∵是圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点C是弧的中点； 【小问2详解】 解：连接交于点G， ∵为半径，点C是弧的中点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴圆的半径为， 【点睛】本题考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，圆的切线判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 22. 大约两千四百多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”（意即：光线照射物体通过小孔形成倒立的影像，物体投影的大小取决于小孔的位置）“爱研究”兴趣小组对此进行了实验探究．探究证明： （1）猜想：兴趣小组同学们在实验室架设仪器做小孔成像的实验，如图（）所示．发现蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量，蜡烛的火焰是厘米，小孔与成像板之间的距离是厘米．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，前后水平移动蜡烛，发现成像板上倒立的影像大小也随之改变，同学们马上把实验数据记录如下： 实验 第一次 第二次 第三次 第四次 （） （） 请根据上面实验数据猜想火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）有怎样的比例关系，写出相应的表达式．估计如果蜡烛距离小孔厘米，那么火焰的像高是多少？ （2）证明：为验证您的猜想，请利用图（）用严谨的几何证明方法来证明像高（）、像距（）、物高（）、物距（）之间的关系；并验证当，时，问题（）中所得像高与物距的关系式是否正确． （3）阳光灿烂的正午，校园树荫下的圆形光斑是太阳光经过树叶间的细小缝隙而形成的像，形成原理和小孔成像的原理是一样的．兴趣小组测得树高为米，地面上形成大小不一的光斑，其中最大的光斑直径是厘米．查阅资料知道，太阳的直径是米，光的速度为米／秒． 请根据所得的数据和前面的发现，利用针孔成像的原理，直接写出光斑直径（单位：米）与日地距离（太阳到地球的距离）（单位：米）函数关系式． 【答案】（1），火焰像高是 （2）见解析 （3）D= 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的性质以及相似三角形的判定和性质，准确分析实际问题中的数量关系是解题的关键． （1）观察实验数据，发现与的乘积为定值，从而确定反比例函数关系，再代入求出对应的值． （2）通过作辅助线，利用相似三角形的判定（两角分别相等）证明，根据相似三角形对应边成比例得到，结合已知、，验证（）中函数关系的正确性． （3）依据相似三角形性质得出（为小孔到地面的高），将代入，再结合太阳实际直径太千米，推导出与的函数关系式． 【小问1详解】 解：根据题意可知，前次实验的与的乘积都是，因此猜想与之间是反比例函数关系：， 第次试验，当时， 所以，火焰的像高是 【小问2详解】 证明：由题意可知，是垂直于地面的线段， ∴， ∴ ∴， 把，代入上式得 ∴ ∴（）中猜想是正确的． 【小问3详解】 解：根据（）可得， ∴ ∵米，米， ∴ 23. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； （3）如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为8 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的表达式为：，过点作轴的垂线交于点，设点，则点，求出，进而得到，利用二次函数的性质即可解答； （3）过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M，易证，推出，再求出，设点，则点，进而得到，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； 【小问3详解】 解：过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 设点，则点， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二0二五年中考数学模拟试题 亲爱的同学们伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束后只交回答题卡． 5．不允许使用计算器． 愿你放松心情、认真审题、缜密思考、细心演算，交一份满意的答卷． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列实数中，绝对值最大的数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列图形是各地图书馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 人工智能给人民的生活带来了很大的便利，体现在生活、工作、医疗等各个方面，手机上人工智能APP品类繁多，其中AIPPT制作软件下载安装763万次，将763万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是正三棱柱，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解决雨季时城市内涝难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造，在改造一段长4800米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．实际施工时每天改造管网长度为（ ） A. 60米 B. 72米 C. 80米 D. 96米 7. 如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 8. 某校艺术节演讲比赛的决赛共有8名学生入围，将8名同学分为A、B两组，A组有3名男生和1名女生，B组有2名男生和2名女生，现在分别从A，B两组中随机抽取1名学生进行，则抽取的两名同学都是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 10. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A. B. C. D. 为等腰三角形 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果．） 11. 因式分解：_______． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 13. 关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 14. 如图，内接于，是的直径，点E是圆上一点，连接，，，且，已知，则的度数为_______． 15. 如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 16 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 四边形为矩形，，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点． （1）若点为对角线中点，如图，求线段的长． （2）若点为对角线延长线上的一点，，如图，则线段的长为多少？ 18. 2025年月是第个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”，某社区医院的眼科大夫进行入校园检查七、八年级的学生视力活动，检查结束后，随机抽取部分八年级的学生的视力情况进行查看，将视力情况（用表示）分为四组：组（），组（），组（），组（） 其中组的视力情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，， 绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数直方图，抽取的学生总数为_______； （2）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为_______； （3）视力在以下（包括）的学生通常认为是低于正常水平的，需要及时复查治疗，如果该校初二年级有名学生，请估计该年级视力低于正常水平的有多少学生？ 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 4.6 4.8 4.7 2.03 八年级 4.5 a 4.6 3.06 （4）求出表中的a值，并根据表中的数据评价一下七八年级学生的视力情况，并对视力较差的学生提出合理化的建议． 19. 某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某山丘的高度，在D点测得山顶A的仰角为，沿着DC方向前进14米，在点E处测得点A的仰角为，测量报告如下表： 课题 测量某山丘的高度 成员 组长：╳╳╳ 组员：╳╳╳，╳╳╳，╳╳╳ 测量工 具 测角仪，米尺 测 量 示 意 图 测量数据 米，， 参考数据 ，≈，， 请根据图中测量数据，求出山丘的高度．（结果保留一位小数） 20. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连． ①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由． 21. 如图，是的直径，点C、D是圆上的两点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点E，垂足为点E，若为圆的切线． （1）求证：点C为弧的中点． （2）若，求圆的半径． 22. 大约两千四百多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”（意即：光线照射物体通过小孔形成倒立的影像，物体投影的大小取决于小孔的位置）“爱研究”兴趣小组对此进行了实验探究．探究证明： （1）猜想：兴趣小组同学们在实验室架设仪器做小孔成像的实验，如图（）所示．发现蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量，蜡烛的火焰是厘米，小孔与成像板之间的距离是厘米．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，前后水平移动蜡烛，发现成像板上倒立的影像大小也随之改变，同学们马上把实验数据记录如下： 实验 第一次 第二次 第三次 第四次 （） （） 请根据上面实验数据猜想火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）有怎样的比例关系，写出相应的表达式．估计如果蜡烛距离小孔厘米，那么火焰的像高是多少？ （2）证明：为验证您的猜想，请利用图（）用严谨的几何证明方法来证明像高（）、像距（）、物高（）、物距（）之间的关系；并验证当，时，问题（）中所得像高与物距的关系式是否正确． （3）阳光灿烂的正午，校园树荫下的圆形光斑是太阳光经过树叶间的细小缝隙而形成的像，形成原理和小孔成像的原理是一样的．兴趣小组测得树高为米，地面上形成大小不一的光斑，其中最大的光斑直径是厘米．查阅资料知道，太阳的直径是米，光的速度为米／秒． 请根据所得的数据和前面的发现，利用针孔成像的原理，直接写出光斑直径（单位：米）与日地距离（太阳到地球的距离）（单位：米）函数关系式． 23. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； （3）如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $