专题01整式的乘除 期末复习讲义（19大核心题型精讲+重点知识归纳）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题01整式的乘除 期末复习讲义 期末复习◆重点 1.熟练掌握幂的四类运算，会考法则辨析与混合计算；牢记零指数、负指数运算规则，重点攻克底数互为相反数时的符号判定。 2.单项式乘除分开运算，多项式运算依托乘法分配律，解题核心：规范去括号、准确合并同类项。 3.平方差公式：大数简便运算、凑结构变形计算； 4.完全平方公式：正向展开、逆向配方，利用两数和、差灵活求平方和。 5.整式化简求值：先化简整式，再代入数字计算，期末必考解答题。 核心题型◆归纳 题型1.幂的基础运算 题型2.幂的混合运算 题型3.科学记数法表示数 题型4.单项式乘单项式的计算 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 题型7.多项式乘法与图形面积计算 题型8.单项式除以单项式 题型9.多项式除以单项式 题型10.整式四则混合运算 题型11.整式综合运算题 题型12.幂的公式逆用求值题 题型13.平方差公式运算及几何应用 题型14.完全平方公式运算及几何应用 题型15.整式乘法综合化简求值 题型16.整式乘法综合求代数式的值 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 题型18.多项式乘法规律探究 题型19.整式乘除的新定义运算 重点知识◆梳理 【知识点一、幂的乘除、乘方及逆运算】 同底数幂相乘：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即（其中都是正整数）； 同底数幂相乘逆运算：公式：（都是正整数）． 幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即（其中都是正整数）． 幂的乘方逆运算：公式： 积的乘方运算：   （其中是正整数）．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 积的乘方逆运算： 同底数幂相除：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 同底数幂相除逆运算： 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1．即（≠0） 【知识点二、整式乘除法】 单项式 × 单项式（1）法则：系数相乘，确定符号； 同底数幂分别相乘； 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的因式。 （2）步骤：① 定符号（同号得正，异号得负）；② 系数相乘； ③ 字母部分按同底数幂运算；④ 写成最简单项式 . 单项式 × 多项式（1）法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：a(b+c+d)=ab+ac+ad （2）步骤：① 单项式逐项乘多项式每一项；② 注意符号：单项式为负时，每一项都变号；③ 合并同类项，化为最简. 多项式 × 多项式（1）法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加，最后合并同类项。 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （2）步骤：① 逐项相乘，不重不漏;② 标出每一项符号; ③ 合并同类项;④ 按降幂排列整理结果. 单项式 ÷ 单项式（1）法则：系数相除，确定符号；同底数幂分别相除；只在被除式里含有的字母，连同指数作为商的因式。 （2）步骤：① 定符号；② 系数相除； ③ 同底数幂指数相减；④ 保留被除式独有字母. 多项式 ÷ 单项式（1）法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 公式：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0) （2）步骤：① 拆成多个单项式除法;② 逐项计算，注意符号 ③ 合并结果，化为最简. 整式混合运算：（1）运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内。 （2）符号规则：负号乘或除多项式，每一项都变号。 （3）结果要求：必须合并同类项，按降幂排列，化为最简。 （4）化简求值：一律先化简，再代入数值计算。 【知识点三、乘法公式】 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=- 文字:两数和与两数差的积，等于这两数的平方差. 核心提示：左边为两项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数；右边为两项式，仅含平方项。 完全平方公式 和的完全平方:=+2ab+ 差的完全平方：(a-b)2=-2ab+ 核心提示：左边为二项式的平方，右边为二次三项式，切勿漏写中间2ab项！ 题型解析◆精准备考 题型1.幂的基础运算 1．下列式子，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：__． 3．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 题型2.幂的混合运算 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是________． 3．计算： (1) (2) 题型3.科学记数法表示数 1．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 2．我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 3．家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（为比热容，为质量，为温度降低量）．已知：猪肉的比热容，某块牛肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． (1)的猪肉从冷冻至，求放出的热量； (2)①求牛肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻牛肉，放出热量，求温度降低量： (3)冷冻相同质量的猪肉和牛肉，猪肉放出的热量比牛肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的猪肉的质量． 题型4.单项式乘单项式的计算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知单项式与的积为，则的值为__________． 3．计算： 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则____________． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知多项式与的乘积中不含项和常数项，则___________． 3．计算： (1)； (2)． 题型7.多项式乘法与图形面积计算 1．如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方形的面积是86，为上一点，，为上一点，，则的面积是____________． 3．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示）； (2)若，，种植草坪的价格为每平方米40元，那么种植草坪需要多少元？ 题型8.单项式除以单项式 1．计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型9.多项式除以单项式 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若等式成立，则________． 3．已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)求整式； (2)求的正确结果． 题型10.整式四则混合运算 1．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错B．嘉嘉错，琪琪对C．两人都对 D．两人都错 2．已知，则的值为______． 3．计算： (1)； (2)． 题型11.整式综合运算题 1．代数式的值（    ） A．只与x、y有关 B．只与y、z有关 C．与x、y、z都无关 D．与x、y、z都有关 2．若，代数式的值是____________． 3．先化简，再求值：，其中，． 题型12.幂的公式逆用求值题 1．若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 2．计算：_____． 3．完成以下问题 (1)若，，求的值． (2)如果，求x的值． 题型13.平方差公式运算及几何应用 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若 ，则 __________ 3．某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． (1)分别计算花坛和装饰区域的面积； (2)若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 题型14.完全平方公式运算及几何应用 1．已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若有理数m使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则__________． 3．解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 题型15.整式乘法综合化简求值 1．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 2．若，则______． 3．先化简，再求值：，其中． 题型16.整式乘法综合求代数式的值 1．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 2．若计算的结果中不含项，则a的值为________． 3．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 1．已知实数、满足，且，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 3．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 题型18.多项式乘法规律探究 1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为自然数）展开式的项数及各项系数的规律．例如：，系数为1；，系数分别为1，1；，系数分别为1，2，1；…则展开后的常数项是（     ） A．50 B．40 C．36 D．35 2．观察下列等式规律： … 请用你找到的规律计算： _______． 3．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______； (2)猜想：______； (3)利用（2）中的结论，求的值． 题型19.整式乘除的新定义运算 1．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 3．定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01整式的乘除 期末复习讲义 期末复习◆重点 1.熟练掌握幂的四类运算，会考法则辨析与混合计算；牢记零指数、负指数运算规则，重点攻克底数互为相反数时的符号判定。 2.单项式乘除分开运算，多项式运算依托乘法分配律，解题核心：规范去括号、准确合并同类项。 3.平方差公式：大数简便运算、凑结构变形计算； 4.完全平方公式：正向展开、逆向配方，利用两数和、差灵活求平方和。 5.整式化简求值：先化简整式，再代入数字计算，期末必考解答题。 核心题型◆归纳 题型1.幂的基础运算 题型2.幂的混合运算 题型3.科学记数法表示数 题型4.单项式乘单项式的计算 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 题型7.多项式乘法与图形面积计算 题型8.单项式除以单项式 题型9.多项式除以单项式 题型10.整式四则混合运算 题型11.整式综合运算题 题型12.幂的公式逆用求值题 题型13.平方差公式运算及几何应用 题型14.完全平方公式运算及几何应用 题型15.整式乘法综合化简求值 题型16.整式乘法综合求代数式的值 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 题型18.多项式乘法规律探究 题型19.整式乘除的新定义运算 重点知识◆梳理 【知识点一、幂的乘除、乘方及逆运算】 同底数幂相乘：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即（其中都是正整数）； 同底数幂相乘逆运算：公式：（都是正整数）． 幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即（其中都是正整数）． 幂的乘方逆运算：公式： 积的乘方运算：   （其中是正整数）．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 积的乘方逆运算： 同底数幂相除：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 同底数幂相除逆运算： 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1．即（≠0） 【知识点二、整式乘除法】 单项式 × 单项式（1）法则：系数相乘，确定符号； 同底数幂分别相乘； 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的因式。 （2）步骤：① 定符号（同号得正，异号得负）；② 系数相乘； ③ 字母部分按同底数幂运算；④ 写成最简单项式 . 单项式 × 多项式（1）法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式：a(b+c+d)=ab+ac+ad （2） 步骤：① 单项式逐项乘多项式每一项；② 注意符号：单项式为负时，每一项都变号；③ 合并同类项，化为最简. 多项式 × 多项式（1）法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加，最后合并同类项。 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （2）步骤：① 逐项相乘，不重不漏;② 标出每一项符号; ③ 合并同类项;④ 按降幂排列整理结果. 单项式 ÷ 单项式（1）法则：系数相除，确定符号；同底数幂分别相除；只在被除式里含有的字母，连同指数作为商的因式。 （2）步骤：① 定符号；② 系数相除； ③ 同底数幂指数相减；④ 保留被除式独有字母. 多项式 ÷ 单项式（1）法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 公式：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0) （2）步骤：① 拆成多个单项式除法;② 逐项计算，注意符号 ③ 合并结果，化为最简. 整式混合运算：（1）运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内。 （2）符号规则：负号乘或除多项式，每一项都变号。 （3）结果要求：必须合并同类项，按降幂排列，化为最简。 （4）化简求值：一律先化简，再代入数值计算。 【知识点三、乘法公式】 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=- 文字:两数和与两数差的积，等于这两数的平方差. 核心提示：左边为两项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数；右边为两项式，仅含平方项。 完全平方公式 和的完全平方:=+2ab+ 差的完全平方：(a-b)2=-2ab+ 核心提示：左边为二项式的平方，右边为二次三项式，切勿漏写中间2ab项！ 题型解析◆精准备考 题型1.幂的基础运算 1．下列式子，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则计算每个选项的结果，即可得到答案． 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意． 2．计算：__． 【答案】 【详解】解：原式. 3．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2.幂的混合运算 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用负整数指数幂，以及幂的运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：． 2．计算的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是关键．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的混合运算，准确应用运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再乘除，最后进行加减运算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型3.科学记数法表示数 1．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（   ）倍．（用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．我国神舟二十号飞船在轨道运行速度约为，则按该速度飞行100天路程用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】先计算100天的总飞行小时数，再根据路程等于速度乘时间计算总路程，最后根据科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，将结果表示出来即可． 【详解】解：100天的总飞行时间， 飞行总路程． 3．家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（为比热容，为质量，为温度降低量）．已知：猪肉的比热容，某块牛肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． (1)的猪肉从冷冻至，求放出的热量； (2)①求牛肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻牛肉，放出热量，求温度降低量： (3)冷冻相同质量的猪肉和牛肉，猪肉放出的热量比牛肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的猪肉的质量． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据求解即可； （2）①根据得到方程，再解方程即可； ②根据得到方程，再解方程即可； （3）设冷冻的猪肉的质量为，根据得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：①由题意得，， 解得； ②由题意得，， 解得； （3）解：设冷冻的猪肉和牛肉的质量为， 由题意得，， 解得． 题型4.单项式乘单项式的计算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算，涉及合并同类项，去括号法则，积的乘方，多项式乘法，按照运算法则逐一计算即可判断正确选项． 【详解】解：选项A，∵， ∴A错误； 选项B，∵， ∴B错误； 选项C，∵， ∴C错误； 选项D，∵， ∴D正确． 2．已知单项式与的积为，则的值为__________． 【答案】 【分析】先计算与的积，再跟比较得到m、n的值，进而可知的值． 【详解】解：， ∵单项式与的积为， ∴， ∴． 3．计算： 【答案】 【详解】解：原式 题型5.单项式乘多项式计算、化简求值 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则逐一进行计算，进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 2．若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 题型6.多项式乘多项式与(x+p)(x+q)型运算题 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当时，等式右侧即为，再将代入等式左侧计算即可得到结果，也可展开多项式整理后对比系数求解． 【详解】解：解法一： 对于等式， 当时，等式右侧为， 将代入等式左侧，得， ． 解法二： 对于等式， 等式左侧为， ，，， ． 2．已知多项式与的乘积中不含项和常数项，则___________． 【答案】 【分析】先计算出两个多项式的乘积，由题意可知项的系数和常数项都是，从而得到和的值，最后计算出即可． 【详解】解：， ∵乘积中不含项和常数项， ∴，， ∴，， ∴． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算有理数的乘法，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减计算； （2）先计算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型7.多项式乘法与图形面积计算 1．如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出空白部分的面积，可以把四块空白部分矩形拼成一个长为，宽为的较大矩形，然后用最大的矩形面积减去空白部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，最大的矩形面积为，空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 2．如图，长方形的面积是86，为上一点，，为上一点，，则的面积是____________． 【答案】40 【分析】设，，由题意可得，，，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：设，， 由题意可得：，，， ∴ ． 3．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示）； (2)若，，种植草坪的价格为每平方米40元，那么种植草坪需要多少元？ 【答案】(1) (2)10920元 【分析】（1）根据长方形的面积公式并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）将，代入（1）中所求的代数值，再结合种植草坪的价格为每平方米40元，计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ． 答：该长方形草坪的面积为． （2）解：当，时，， （元）， 答：种植草坪需要10920元． 题型8.单项式除以单项式 1．计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用积的乘方、幂的乘方和同底数幂除法法则，先算乘方再算除法即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算：______． 【答案】 【分析】先算积的乘方，再算单项式的乘法，最后计算单项式除以单项式即可． 【详解】解：． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型9.多项式除以单项式 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，计算单项式乘单项式，多项式除以单项式，解题关键是掌握上述知识点．根据同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘单项式，多项式除以单项式的法则，分别计算各选项，再判断正误即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 2．若等式成立，则________． 【答案】 【分析】先分别化简等式左右两边，整理得到一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，除式，即，且 分别化简等式左右两边，得 移项，合并同类项得 系数化为得． 3．已知，均为整式，，小马在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可； （2）根据题意列出式子进行计算即可． 【详解】（1） ， 小马误算为， 故：； （2） 解： 题型10.整式四则混合运算 1．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错B．嘉嘉错，琪琪对C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可． 【详解】解：∵， ∴ ，则嘉嘉的说法正确． ∵的结果与x的取值无关， ∴， ∴，则琪琪的说法错误． 2．已知，则的值为______． 【答案】48或 【分析】先利用等式的性质求出m的值，再利用整式的四则混合运算法则化简，最后代入求值． 【详解】解：，， ∴ 当时，原式； 当时，原式， 综上，的值为48或． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型11.整式综合运算题 1．代数式的值（    ） A．只与x、y有关 B．只与y、z有关 C．与x、y、z都无关 D．与x、y、z都有关 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简，通过展开和合并同类项得到最简形式，从而确定变量依赖关系． 通过展开并合并同类项，简化代数式，判断其值依赖的变量即可． 【详解】解：原式 因此，代数式的值只与x和y有关， 故选：A． 2．若，代数式的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键． 由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值． 【详解】解：由 ，得 ． 代入代数式 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开括号，合并同类项后计算整式除法，再代入已知数值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型12.幂的公式逆用求值题 1．若 ，则 的值是（     ） A．6 B．72 C．1 D． 【答案】D 【分析】将所求式子利用幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．计算：_____． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法逆运算将原式变形为，再由积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 3．完成以下问题 (1)若，，求的值． (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用幂的乘方运算法则化简为，再由同底数幂的乘法和除法逆运算法则计算； （2）先将各幂的底数统一为2，再根据同底数幂的运算法则从左至右进行计算． 【详解】（1）解：∵，， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13.平方差公式运算及几何应用 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，A计算错误； B、，B计算错误； C、，C计算正确； D、，D计算错误． 2．若 ，则 __________ 【答案】 【分析】设，则，方法，利用平方差公式展开并整体代入计算即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ． 3．某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． (1)分别计算花坛和装饰区域的面积； (2)若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 【答案】(1)花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米 (2)铺设走道的总费用为6030元 【分析】（1）直接套用长方形的面积公式“长方形面积长宽”求出花坛的面积和花坛与装饰区域的总面积，再用花坛与装饰区域的总面积减去花坛面积求出装饰区域的面积； （2）用正方形的面积减去长方形的面积，求得走道的面积，用走道的面积乘以每平方米走道铺设的费用算出总花费． 【详解】（1）解：花坛的面积：平方米， 装饰区域和花坛的面积： =平方米， 装饰区域的面积： 平方米． 答：花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米． （2）解：走道的面积： （平方米）， 当，时，（平方米）， （元）， 答：铺设走道的总费用为6030元． 题型14.完全平方公式运算及几何应用 1．已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项的系数，即可得到与的关系． 【详解】解：∵ 利用完全平方公式展开等式左边，得 ， 又∵ ， ∴对比等式两边一次项系数，可得，即． 2．若有理数m使得二次三项式能用完全平方公式因式分解，则__________． 【答案】9或/或9 【分析】根据完全平方公式的结构特征，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：二次三项式能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式，可得 一次项系数满足， 即， 当时，解得， 当时，解得． 综上可知，或． 3．解答： 【知识技能】 已知：；； (1)填空： _____； _____． 【数学理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 (2)若满足，求的值； 【灵活运用】 (3)如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)1 (3)33 【分析】（1）根据已知的两个等式变形即可解答； （2）设，，则，，再由，求出，即可解答； （3）由四边形的面积为6得到，设，，则，，，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵；； ； ． （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵四边形的面积为6， ∴，即， 设，，则，， 由题意可得， ∴， ∴ ． 题型15.整式乘法综合化简求值 1．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 2．若，则______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 题型16.整式乘法综合求代数式的值 1．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 2．若计算的结果中不含项，则a的值为________． 【答案】 【分析】先计算多项式乘以多项式，得到，再根据的结果中不含项，得到，求出a的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果中不含项， ∴， 解得． 3．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 题型17.完全平方公式变形求值、求系数 1．已知实数、满足，且，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，将用表示，代入得到关于的二次代数式，结合的限制得到的范围，再验证选项得到结果． 【详解】解：， ， ， 又， ， ∴， ， ∴， A、，不符合； B、，不符合； C、，不符合； D、，符合条件． 2．若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 【答案】25或 【分析】根据完全平方式的结构特征作答，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 【详解】解：由于多项式是完全平方式，且常数项， 因此该多项式可以写成的形式， 因为， 通过比较与的一次项系数， 可得， 解得或． 3．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 题型18.多项式乘法规律探究 1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为自然数）展开式的项数及各项系数的规律．例如：，系数为1；，系数分别为1，1；，系数分别为1，2，1；…则展开后的常数项是（     ） A．50 B．40 C．36 D．35 【答案】A 【分析】根据杨辉三角规律得出展开式的各项系数，确定展开式中含的项和常数项，分别与中的和相乘后求和即可． 【详解】解：由杨辉三角可知，展开式的系数依次为， 展开式的通项形式为， 即， 展开后出现常数项，分两种情况： 即展开式中与中的相乘，对应系数为，展开式中与中的相乘，对应系数为，该项乘积为， 展开后的常数项是． 2．观察下列等式规律： … 请用你找到的规律计算： _______． 【答案】 【分析】先观察已知等式归纳出一般性规律，再将所求式子变形，利用得到的规律进行计算． 【详解】解：根据给出的等式可得规律． 令， ， 代入规律得 ， 等式两边同除以3，得 ． 3．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． (1)根据上述规律，请写出第5个等式：______； (2)猜想：______； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，等式的左边第一个因式是相同的，都是，第二个因式是从开始加到a的序号次幂；等式的右边是a的序号加1次幂减去1，解答即可； （2）根据前面的规律，直接解答即可； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第5个等式为； （2）解：根据规律，得； （3）解：根据， 得． 题型19.整式乘除的新定义运算 1．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出，根据同底数幂的除法得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 解得： 2．我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据同底数幂的乘法的逆用，即可求解． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）根据规定，因为，所以，同理， 因为，所以，所以， 所以． 3．定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义，分别化简、,再结合方程求解； （2）利用多项式不含一次项则一次项系数为0求解． 【详解】（1）解：根据定义，化简 ， ， ， 解得：． （2）解：根据定义，化简： ， 的代数式中不含的一次项， ， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $