精品解析：2026年湖南省长沙市长郡部分学校中考阶段测试数学试题

2026年中考复习检测 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 长沙奥体中心主体育场以“红色摇篮”为设计理念，彰显着湖南的红色基因；体育馆和游泳馆则以“蝶舞湘江”为设计出发点，用优雅的造型诠释体育运动的力量之美．项目总投资约6800000000元，竣工后将成为承载体育赛事、艺术展览与城市记忆的湖湘新地标，更将作为2029年第十六届全国运动会的主场馆，迎接八方来客．将数据6800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，根据科学记数法的定义确定和的值即可求解，科学记数法要求写成的形式，其中，为整数． 【详解】解：∵科学记数法的标准形式为，满足，为整数， ∴对于数据，可得，小数点向左移动了位，因此， ∴． 2. 地铁作为城市公共交通的核心载体，其图标设计兼具辨识度与几何美感．下列地铁图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意， D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项，，不符合题意； 选项，，符合题意； 选项，，不符合题意； 选项，与不是同类项，不能合并，不符合题意． 4. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 抛掷一枚硬币10次，有5次正面朝上 C. 两个负数的和为负数 D. 买一张彩票，一定会中奖 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，必然事件是一定发生的事件，逐一判断各选项即可得到答案； 【详解】解：A选项，打开电视机，不一定正在播放《开学第一课》，故属于随机事件，不符合要求． B选项，抛掷一枚硬币10次，不一定有5次正面朝上，故属于随机事件，不符合要求． C选项，根据有理数加法法则，两个负数的和一定为负数，是一定会发生的事件，故属于必然事件，符合要求． D选项，买一张彩票，不一定会中奖，故属于随机事件，不符合要求． 5. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集，把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，如下图所示： 故选：B． 7. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．根据根的判别式即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 如图，直线，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 9. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．为直径， ，故选项A不符合题意； B．，，故选项B不符合题意； C．为直径， ． ，，即，故选项C不符合题意； D．由条件可知不一定是直径，所以不一定相等，故选项D符合题意． 10. 如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得轴，即得点和点的纵坐标相同，进而可求出点的坐标，最后利用两点间距离公式解答即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点和点的纵坐标相同， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 将分母因式分解为，然后通分合并分式，最后约分得到最简结果。 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 对甲、乙两名篮球运动员进行10次跑步心率监测，两名运动员的心率平均值均为160次/分，方差分别为，，则心率数据更稳定的运动员是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，数据越稳定，只需比较两名运动员心率方差的大小即可判断． 【详解】解：由题意可知，两名运动员心率平均值相等，方差，， ，即． ∴心率数据更稳定的运动员是甲． 13. 如果一次函数（m为常数）的图象经过第一、四象限，那么m的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】先判断出一次函数与y轴交点的位置，再根据一次函数经过第一、四象限得到一次项系数的取值范围，取符合条件的的值即可． 【详解】解：对于一次函数，其与轴交点的纵坐标为， ， ，即该一次函数与轴交于轴负半轴， 函数图象经过第一、四象限， 一次项系数，解得， 的值可以为1，（答案不唯一，满足即可） 14. 正十边形的每个内角的度数是：________． 【答案】##114度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和计算．熟知多边形的内角和计算公式是正确解题的关键． 先利用多边形的内角和计算公式求出正十边形的内角和，再除以边数即可． 【详解】正十边形的内角和为：， 正十边形的每个内角的度数为： ， 故答案为：． 15. 如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用垂径定理平分弦，算出；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导；依托直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径． 【详解】解：连接，设直径与弦交于垂足． 是直径，， 垂直平分， ． ， ， 在中，， ． ， ， ． 在中，，， ． 设半径，则． 由勾股定理：， 代入得： ， ． 的半径长为4． 16. 如图，中，是的中点，连接，相交于点，过点作，交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可证，根据相似三角形的性质可以求出，根据可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】先根据单项式乘以多项式，完全平方公式以及平方差公式展开，然后合并同类项，最后再代入数值计算即可得出答案. 【详解】解： 当时，原式. 19. 如图，在中，．以点为圆心，的长为半径作弧；再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：由作图可知，，， 垂直平分， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）由尺规作图可知，，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知垂直平分，即； （2）利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式即可求出的长度，根据即可求出的长度． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ∵垂直平分， ， ． 20. 为深入落实“健康第一”教育理念，以健康学校建设为引领，强化五育并举，某中学积极响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、篮球、排球、羽毛球四项球类体育社团，倡导学生全员参与．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为___________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少名？ 【答案】（1）， （2） （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）由条形统计图可知：选择足球的人数为名，由扇形统计图可知：选择足球的人数占总人数的百分比为，用除以它所对应的百分比即可求出总人数；根据选择排球的人数为名即可求出它所占的百分比； （2）利用调查的总人数减去选择足球、排球、羽毛球的人数得到选择篮球的人数，补全条形统计图； （3）根据选择羽毛球的人数和调查的总人数求出选择羽毛球的人占的百分比，根据百分比求出对应的扇形的圆心角度数； （4）根据调查的人数中选择篮球的百分比估计全校喜欢篮球的人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知：选择足球的人数为名，由扇形统计图可知：选择足球的人数占总人数的百分比为， （名）， ， 选择排球的人数为名， ， ； 【小问2详解】 解：选择篮球的人数为（名）， 图略； 【小问3详解】 解：由统计图可知：选择羽毛球的人数为名， “羽毛球”对应扇形的圆心角为； 【小问4详解】 解：由（2）可知：选择篮球的人数为名， （名）， 估计该校最喜爱篮球运动的学生有名． 21. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，点E在上，． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， ，即． 在和中， （SAS）． （2）8 【解析】 【分析】（1）运用等腰三角形的判定定理，得到，结合，可得，再利用三角形全等判定定理，证明全等； （2）先证明，解直角三角形求出与，结合，求出、，再利用，求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 22. 为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． （1）求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ （2）在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 【答案】（1）黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元 （2）2或7 【解析】 【分析】（1）根据“每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元”和“张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元”列方程组求解即可； （2）根据售价及销售量的变化，利用“每天销售这两种水果的总利润为960元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得 解得． 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元； 【小问2详解】 解：由题意，得 ， 解得，． 当或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意． 答：a的值为2或7． 23. 某综合实践活动小组为测量公园湖面上浮标C与湖边点A之间的距离，设计了利用无人机测量的方案．如图，湖边有一座观景台，由斜坡与水平平台组成，斜坡长，与水平面的夹角为；点O处为无人机起降点，操控无人机从点O起飞，悬停于空中的点B处进行观测．已知点A，B，C，D，O都在同一平面上，长，与水平面的夹角为．在点B处测得与的夹角为．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求点O到湖面所在水平面的距离； （2）求浮标C与斜坡端点A的距离的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为E，根据求出结论； （2）作，垂足为F，，交于点G，求出，，证明四边形是矩形，则，，求出及，即可求出结论； 【小问1详解】 解：如图1，作，垂足为E， ∴． 由题意可知：，， ∴， 答：点O到湖面所在水平面的距离为3m； 【小问2详解】 解：如图2，作，垂足为F，，交于点G， 由题意可知：，， 在中，， ， 则四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，． 又∵， ∴， 在中，， ∴． 答：浮标C与斜坡端点A的距离的长约为 24. 我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． （1）已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． （2）已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． （3）在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】（1）点不是二次函数的“对称点”，理由如下： ∵二次函数的顶点坐标为， ∴，， ∴，故点不是二次函数的“对称点”． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“对称点”的定义判断即可． （2）先把二次函数一般式化成顶点式，得出顶点坐标，根据二次函数过原点得出，再根据“对称点”的定义得出，根据“对称距”为4，分别求出对应的a的值，最后将a的值代入，即可求出m的值，最后根据得出m的值即可． （3）根据（2）得出，，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为． ∵函数G的图象经过原点，∴． 由题意可知：，， ∴． ∵函数的“对称距”为4，即， ∴或． 当时，． 将代入，得， 解得或（舍去）； 当时，． 将代入， 得，， ∴无实数解． 综上，； 【小问3详解】 解：由（2）可知：，， ∴． ∵， ∴． ∵对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 当或3时，y有最大值，最大值为， ∴． 25. 如图1，是的直径，点C是圆上一动点（不与A，B重合），点D，E在直径上，满足，，，的延长线分别交于点F，G，连接． （1）若，求证：是的直径； （2）求证：； （3）如图2，连接并延长，交于点H，已知的半径为5，，求点H到的距离． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即是半径， ∴点E与点O重合， ∴是半径， ∵点G是的延长线与的交点， ∴是直径． （2）证明：如图1，连接和， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的直径， ∴， 由勾股定理，得， ∴． （3）12 【解析】 【分析】（1）由是的直径，可得，则，由，可得是的半径，则点E与点O重合，即可证明结论； （2）连接和，由，，，可得是等腰直角三角形，由是的直径，则，再由勾股定理，即可得结论； （3）由的半径为5，则，，证明，则，设，则，，，过点作，可得，在中，可得，则，，可得，由，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵的半径为5， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∵，，，由（2）可知，， ∴ ， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， ∴， 如图2，过点作， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得，（舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点H到AB的距离为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考复习检测 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 长沙奥体中心主体育场以“红色摇篮”为设计理念，彰显着湖南的红色基因；体育馆和游泳馆则以“蝶舞湘江”为设计出发点，用优雅的造型诠释体育运动的力量之美．项目总投资约6800000000元，竣工后将成为承载体育赛事、艺术展览与城市记忆的湖湘新地标，更将作为2029年第十六届全国运动会的主场馆，迎接八方来客．将数据6800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 地铁作为城市公共交通的核心载体，其图标设计兼具辨识度与几何美感．下列地铁图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 抛掷一枚硬币10次，有5次正面朝上 C. 两个负数的和为负数 D. 买一张彩票，一定会中奖 5. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，直线，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________． 12. 对甲、乙两名篮球运动员进行10次跑步心率监测，两名运动员的心率平均值均为160次/分，方差分别为，，则心率数据更稳定的运动员是___________（填“甲”或“乙”）． 13. 如果一次函数（m为常数）的图象经过第一、四象限，那么m的值可以是___________（写出一个即可）． 14. 正十边形的每个内角的度数是：________． 15. 如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 16. 如图，中，是的中点，连接，相交于点，过点作，交于点，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，．以点为圆心，的长为半径作弧；再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 为深入落实“健康第一”教育理念，以健康学校建设为引领，强化五育并举，某中学积极响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、篮球、排球、羽毛球四项球类体育社团，倡导学生全员参与．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取名学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为___________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少名？ 21. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，点E在上，． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的面积． 22. 为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． （1）求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ （2）在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 23. 某综合实践活动小组为测量公园湖面上浮标C与湖边点A之间的距离，设计了利用无人机测量的方案．如图，湖边有一座观景台，由斜坡与水平平台组成，斜坡长，与水平面的夹角为；点O处为无人机起降点，操控无人机从点O起飞，悬停于空中的点B处进行观测．已知点A，B，C，D，O都在同一平面上，长，与水平面的夹角为．在点B处测得与的夹角为．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求点O到湖面所在水平面的距离； （2）求浮标C与斜坡端点A的距离的长． 24. 我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． （1）已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． （2）已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． （3）在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 25. 如图1，是的直径，点C是圆上一动点（不与A，B重合），点D，E在直径上，满足，，，的延长线分别交于点F，G，连接． （1）若，求证：是的直径； （2）求证：； （3）如图2，连接并延长，交于点H，已知的半径为5，，求点H到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $