精品解析：2026年广东省广州市白云区中考二模考试数学

2026年初中毕业班综合训练 数学（问卷） 本问卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必在每一张答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的相关信息，再用2B铅笔把第一张答题卡第1页上对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在问卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或2 D. 2或3 9. 如图，，，是正五边形的对角线，与相交于点F．下列结论： ①平分；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 10. 观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103米，该直径用科学记数法表示为______米． 12. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 13. 如图，是的直径，，则的度数是_________． 14. 当分式有意义时，化简：_________． 15. 如图，点和点在同一个反比例函数的图像上，和分别垂直于x轴和y轴．若的面积为4，则k的值为_________． 16. 如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_________．（填写所有结论正确的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 18. 如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且． 求证：． 19. 某校开展校园义卖活动．活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价10元．请认真阅读结账时老板与张明的对话： （1）结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ （2）根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共50个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过450元．其中“喜洋洋”挂件标价每个8元，“乐融融”挂件标价每个6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 20. 如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 21. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（），B（），C（），D（）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下． 学期初调查数据条形图学期末调查数据扇形图 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）在学期末调查中，一周参与劳动时间不低于4小时的学生被认定为“劳动积极分子”．若该校七年级某班“劳动积极分子”中男生有3人，女生有2人，现从这些“劳动积极分子”中随机抽取2名学生分享劳动心得，请用列表或画树状图的方法，求随机抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 22. 如图，在中，为边上一点． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，分别为线段，上的点，且．若线段平分四边形的面积，求的长． 23. 威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度， 如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求： 名称 XX品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角：． 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：mm） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 （3）冷风不得直吹床铺 小丽家房屋室内层高为，房间内的床长，高，空调安装在床头墙面． 根据以上信息，解决下面的问题： （1）求空调安装的最低高度．（结果精确到） （2）为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） 24. 如图，直线与y轴相交于点C，抛物线过点，且与直线交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当自变量x满足时，对应的抛物线函数值y的最大值为，求a的值； （3）点D为抛物线上位于直线上方的一点，点P为对称轴上一动点，当的面积取得最大值时，求的周长最小值． 25. 已知菱形中，．点E在边上，连接． （1）边关于对称的线段为，当平分时，的度数为_________（用含的式子表示）； （2）若，F是边上的动点． ①如图1，点E为边的中点，且，求的值； ②若，G在线段上，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班综合训练 数学（问卷） 本问卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必在每一张答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的相关信息，再用2B铅笔把第一张答题卡第1页上对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在问卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的绝对值等于7， 故选A． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需根据合并同类项、积的乘方、二次根式加减的规则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故A选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，无法合并，故B选项错误，不符合题意； C、积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得，故C选项正确，符合题意； D、与不是同类二次根式，不能直接合并被开方数计算，，故D选项错误，不符合题意． 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数正切的定义求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可． 【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意； 15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意； 把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意； 这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：    ． 故选：A． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 8. 关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或2 D. 2或3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用因式分解法求得方程的两个根，再根据根为整数、m为正整数的条件即可确定m的值． 【详解】解：， ， ，． ∵ 原方程是关于x的一元二次方程，m为正整数， ∴ ． ∵ 两个实数根都是整数，是整数， ∴为整数，m是正整数， ∴或． 9. 如图，，，是正五边形的对角线，与相交于点F．下列结论： ①平分；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正五边形的性质求出各内角度数及各边关系，利用角平分线定义判断①；利用平行四边形及菱形的判定判断③；利用相似三角形的判定与性质判断④；通过证明，利用相似三角形的性质并结合相关已知条件即可判断② ． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ①∵，，即平分，故①正确 ； ③∵，， ∴， ∴，  ∵，，  ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故③正确； ④∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故④正确； ②，， ， ， ，， ，即，故②错误； 综上，正确的结论是①③④． 10. 观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案. 【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋2a＋22a＋…＋250a ＝a＋(2＋22＋…＋250)a， ∵， ， ， …， ∴2＋22＋…＋250＝251－2， ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋(2＋22＋…＋250)a ＝a＋(251－2)a ＝a＋(2 a－2)a ＝2a2－a ， 故选C. 【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103米，该直径用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：0.0000000103米用科学记数法表示为米， 故答案为：． 12. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 13. 如图，是的直径，，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直径所对的圆周角是直角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，然后运用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 当分式有意义时，化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式中的分子因式分解，再约分后，然后利用同分母分式的加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15. 如图，点和点在同一个反比例函数的图像上，和分别垂直于x轴和y轴．若的面积为4，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据和分别垂直于x轴和y轴即可确定点C的坐标，进而表示出线段和的长度，利用三角形面积公式建立关于m、n的方程，再结合反比例函数图像上点的坐标特征将m，n用含k的式子表示，最后代入方程求解即可． 【详解】解：∵点，点，和分别垂直于x轴和y轴，  ∴点C的横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，  ∴，且，  ∴，， ∵的面积为4，  ，整理得：， ∵点和点在同一个反比例函数的图像上，  ∴， ∴，解得：． 16. 如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_________．（填写所有结论正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】直接利用斜边大于直角边对①进行判断；根据角平分线的性质以及等面积法得出，进而得出，即可判断②；利用勾股定理得到，利用得到，从而可对③进行判断；过点作于点，于点，如图，根据角平分线的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，然后利用得到，从而可对④进行判断． 【详解】解：， ， ， ，所以①正确； 过点作于点， ∵平分，， ∴ ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ 即 又∵ ∴ ∴，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ，所以③错误； 过点作于点，于点，如图， 平分， ， ， ， ， ， ，所以④正确． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，正确计算是解题的关键．根据加减消元法求解即可． 【详解】解： ①×②得，③ ②+③得，， ， 将代入②得，， ， 18. 如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用正方形的性质即可得到结论 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 19. 某校开展校园义卖活动．活动前，张明到纪念品商店购买若干个“广州塔”挂件作为义卖奖品，每个挂件标价10元．请认真阅读结账时老板与张明的对话： （1）结合两人的对话内容，求张明原计划购买“广州塔”挂件多少个？ （2）根据活动情况，需要购买“喜洋洋”挂件和“乐融融”挂件共50个作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过450元．其中“喜洋洋”挂件标价每个8元，“乐融融”挂件标价每个6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么张明最多可购买“喜洋洋”挂件多少个？ 【答案】（1）张明原计划购买“广州塔”挂件17个 （2）张明最多可购买“喜洋洋”挂件35个 【解析】 【分析】（1）设张明原计划购买“广州塔”挂件x个，则实际购买了个，再根据题意列方程求解即可； （2）先求出购买“广州塔”挂件的费用，设张明购买“喜洋洋”挂件y个，则购买“乐融融”挂件个，再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设张明原计划购买“广州塔”挂件x个，则实际购买了个， 依题意得：，解得． 答：张明原计划购买“广州塔”挂件17个． 【小问2详解】 解：算出广州塔实际花费，实际买了个，费用：元， 设张明购买“喜洋洋”挂件y个，则购买“乐融融”挂件个， 依题意得： ，解得． ∵y的取值必须为正整数， ∴y的最大值为． 答：张明最多可购买“喜洋洋”挂件35个． 20. 如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由点是的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到即可． （2）先利用同弧或等弧所对的圆周角相等和三角形内角和可得，再结合平行线的性质和三角函数可得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，交于点， ， ∵， ∴， 又∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（），B（），C（），D（）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图，部分信息如下． 学期初调查数据条形图学期末调查数据扇形图 （1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图； （2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数； （3）在学期末调查中，一周参与劳动时间不低于4小时的学生被认定为“劳动积极分子”．若该校七年级某班“劳动积极分子”中男生有3人，女生有2人，现从这些“劳动积极分子”中随机抽取2名学生分享劳动心得，请用列表或画树状图的方法，求随机抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如下： （2）340人 （3） 【解析】 【分析】（1）用调查的50人减去其它三组的人数即可求出B组的人数，进而可补全统计图； （2）利用样本估计总体的思想解答； （3）根据题意列出表格，利用满足要求的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：在学期初调查数据条形图中，B组人数是（人）， 补全条形图略； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的有340人； 【小问3详解】 解：列表如下： 女1 女2 男1 男2 男3 女1 女1，女2 女1，男1 女1，男2 女1，男3 女2 女2，女1 女2，男1 女2，男2 女2，男3 男1 男1，女1 男1，女2 男1，男2 男1，男3 男2 男2，女1 男2，女2 男2，男1 男2，男3 男3 男3，女1 男3，女2 男3，男1 男3，男2 由表格可知，共有20种等可能的情况，其中一男一女共有12种， ∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是． 22. 如图，在中，为边上一点． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，分别为线段，上的点，且．若线段平分四边形的面积，求的长． 【答案】（1）如图所示，为所求作： （2） 【解析】 【分析】（1）用尺规作图作，根据同位角相等，两直线平行，可知； （2）由可知，由可知，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，，根据线段平分四边形的面积，即可求出的长度． 【小问1详解】 解：以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 以点为圆心，为半径画弧，交于点， 以点为圆心，为半径画弧，交前弧于点， 作射线交于点， 则， 根据同位角相等，两直线平行，可得； 【小问2详解】 解：如下图所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段平分四边形的面积， ， 整理得：， ． 23. 威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度， 如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求： 名称 XX品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角：． 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：mm） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 （3）冷风不得直吹床铺 小丽家房屋室内层高为，房间内的床长，高，空调安装在床头墙面． 根据以上信息，解决下面的问题： （1）求空调安装的最低高度．（结果精确到） （2）为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2）该安装方式在小丽房间内不能实现，理由如下： 当机身完全嵌入墙面时，空调顶部 E 与墙顶齐平，此时空调底部 F 到地面的最大高度为：， 如图：当空调安装在此位置恰好符合要求， 由题意可得：，， 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该安装方式在小丽房间内不能实现． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，过点F作于点O，构造出直角三角形和矩形，结合题意推出，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘A之外即可，即点G与点A重合，在中，根据题意得出，利用得到，进而得到的长度，最后根据即可求解； （2）先求出空调底部 F 到地面的最大高度为，如图：当空调安装在此位置恰好符合要求，然后结合已知条件求得的长，再与比较即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接，过点F作于点O，则四边形是矩形， ∴，， ∴ 由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘A之外即可， ∴当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘A处时，空调安装的高度最低，此时， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：空调安装的最低高度约为． 【小问2详解】 解：略． 24. 如图，直线与y轴相交于点C，抛物线过点，且与直线交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当自变量x满足时，对应的抛物线函数值y的最大值为，求a的值； （3）点D为抛物线上位于直线上方的一点，点P为对称轴上一动点，当的面积取得最大值时，求的周长最小值． 【答案】（1） （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再运用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线对称轴为抛物线的对称轴为，再分、、三种情况，分别利用二次函数的性质以及已知条件，列关于a的方程求解即可． （3）先联立抛物线和直线的解析式求得，，如图：设，则，即；进而得到，根据二次函数的性质可得当时，即的面积最大，此时；易得，则要求的周长最小值，需先求得的最小值；如图：连接，点P在对称轴上，进而说明当C、P、G三点共线时，有最小值，即有最小值为，再求得的长，最后求得的周长最小值即可． 【小问1详解】 解：∵直线与y轴相交于点C， ∴， 由题意可得：抛物线过点和， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， ①当，即时，函数在上，y随x的增大而增大， ∴当时，对应的抛物线函数值y最大， ∴ ，解得：或（不合题意舍去）； ②当，即时，当时，抛物线函数值y最大，最大值为，不符合题意； ③当函数在上，y随x的增大而减小， ∴当时，抛物线函数值y最大， ∴ ，解得： （不合题意舍去）或． 综合，a的值为或． 【小问3详解】 解：∵抛物线与直线交于B，C两点． ∴，解得：或， ∴，， 如图：设，则， ∴， ∵， ∴当时，即的面积最大，此时， ∵， ∴， ∴要求的周长最小值，需先求得的最小值， 如图：连接，点P在对称轴上， ∵，， ∴点C和点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、G三点共线时，有最小值，即有最小值为， ∵，， ∴，即有最小值为， ∴的周长最小值． 25. 已知菱形中，．点E在边上，连接． （1）边关于对称的线段为，当平分时，的度数为_________（用含的式子表示）； （2）若，F是边上的动点． ①如图1，点E为边的中点，且，求的值； ②若，G在线段上，，求的最小值． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，结合角平分线的定义和菱形的性质即可得到答案； （2）①以点B为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，添加辅助线如解析图，设菱形的边长，依次求出点，，，利用三角形相似求出，进而求出直线的函数关系式，即可得到点F的坐标，进而求解； ②先证明，进而得到，设，计算可得，进而证明，推出，得到点G在以为弦，所含圆周角为的一段弧上运动，且圆心在线段的垂直平分线上，进一步求出圆的半径，连接，则当三点共线时，最小，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图，∵关于对称的线段为， ∴， 当平分时，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 【小问2详解】 ①解：如图，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 作于点H，设菱形的边长， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵点E为边的中点， ∴， 作，于点N， 则，， 作交的延长线于点， ∵， ∴， 作于点K，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数关系式为， 则， 解得：， ∴直线的函数关系式为， 当时，， 解得：， 即点F的坐标为， ∴，， ∴； ②解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在①的基础上，如图∵， ∴，， 延长到点Q，使得，连接，如图， 设， 则，， 代入得：， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦，所含圆周角为的一段弧上运动， 且圆心在线段的垂直平分线上， 如图，设圆心为点O，以为半径作圆， 则， ∴， ∴， 在直角三角形中，，， ∴， 连接，则当三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $