精品解析：2025年广东省广州市白云区九年级数学中考二模试题

2025年初中毕业班综合练习 数学问卷 本问卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．问卷时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，问卷结束后，将本问卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异，热点和冷点之间的温差约为．0.0002用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若的整数部分为a，小数部分为b，则（） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 7. 如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为菱形，垂直平分，若，则长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 9. 已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（ ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A 1，45 B. 45，1 C. 44，2 D. 2，44 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则____________． 12. 如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝_________； 13. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是______天． 14. 在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，那么的值为______． 15. 在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其函数图像如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 16. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是________（填序号即可）． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： 18. 如图，点E，F在直线上，，，．求证：． 19. 如图，为的直径，垂直平分线段，交于点D，交于点C，连接、、． （1）求证：等边三角形； （2）点E在线段的延长线上，且，试判断与的位置关系，并说明理由． 20. 我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 10 光学 30 电学 15 （1）直接写出频数分布表中、的值：______，______； （2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数______°； （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前五，登顶全球动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边也在市场上热销起来，某书店计划同时购进哪吒磁性书签和金属书签．已哪吒磁性书签的单价比金属书签的单价多20元，用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同． （1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价； （2）为满足顾客需求，书店老板从厂家一次性购进哪吒磁性书签和金属书签共200个，且购买的费用不超过3600元，求最多可以购进哪吒磁性书签多少个？ 22. 某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①）的设计原理和优化设计．图②是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面EF上，图中，和分别代表3个轮子，3个轮子的半径均为，点O为支点，，且，拉杆． （1）求的长； （2）在使用爬梯车时，拉杆倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知，求把手D到地面的距离的长． 条件①：与的夹角； 条件②：点O到的距离为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．（参考数据：，，．） 23. 如图，已知，， （1）尺规作图：在边求作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求与的面积比． 24. 在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． （1）如图1若，时，求及的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由． 25. 已知一次函数与二次函数（是常数）相交于两点，点是轴上点，点是轴上的点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为． （1）求该二次函数解析式及顶点的坐标； （2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求的取值范围； （3）点是直线上的点，且轴，把点往右平移两个单位，再往下平移个单位得到点．是否存在不与点重合的点，使得？若存在，请求出面积相等时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业班综合练习 数学问卷 本问卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分．问卷时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，问卷结束后，将本问卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判定，即将一个图形绕某点旋转后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以A不符合题意； B、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以B不符合题意； C、因为图形绕某点旋转后能与本身重合，所以C符合题意； D、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以D不符合题意． 故选：C． 2. 科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异，热点和冷点之间的温差约为．0.0002用科学记数法记为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：∵共有5个出口，其中北面有B，C两个出口， ∴恰好从北面出口离开的概率为， 故选：D． 4. 下列各式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据相关运算法则逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 若的整数部分为a，小数部分为b，则（） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，解题关键是利用平方数大小关系确定的范围，从而得到其整数部分与小数部分． 1．利用，，，确定的范围为，得出整数部分，小数部分．将、的值代入，利用平方差公式计算出结果． 【详解】，，， ， 的整数部分，小数部分， 原式 ， 故选：B． 6. 如图，内接于是的一条弦，，连接，若，则的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等． 利用同弧所对的圆周角相等和等边对等角即可解答此题． 【详解】解：，且， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，先由等腰三角形得到，再解即可表示，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，四边形为菱形，垂直平分，若，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质得到，设，则，得到，求出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ， 设，则， ∵垂直平分， ， 在中，， 中，， ， ， ， ， 故选：A． 9. 已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可． 【详解】解：函数和大致位置如图： 根据图形可得函数和交点的横坐标， ∴的解， ∵a是方程的实数根， ∴， 故选：A ． 10. 观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（ ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A. 1，45 B. 45，1 C. 44，2 D. 2，44 【答案】B 【解析】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键． 由表格得：第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为，根据此规律即可得到，，即可得到答案． 【详解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止， ， 数字2025出现在第行第列位置， ， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：； 故答案为：． 12. 如果a－b＝2，ab＝3，那么a2b－ab2＝_________； 【答案】6 【解析】 【分析】首先将a2b－ab2提取公因式，在代入计算即可. 【详解】解： 代入a－b＝2，ab＝3 则原式= 故答案为6. 【点睛】本题主要考查因式分解的计算，关键在于提取公因式，这是基本知识点，应当熟练掌握. 13. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是______天． 【答案】123 【解析】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 14. 在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，轴对称图形的性质，勾股定理，连接交于E，由轴对称的性质可得，，则，再证明得到，则可求出，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于E， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压，测得汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其函数图像如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数关系式，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，比较得出答案． 【详解】解：设反比例函数关系式为， ∵反比例函数图像经过点， ∴， 解得， 所以反比例函数关系为． 当时，； 当时，， ∴． 所以气体体积压缩了90． 故答案：90． 16. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是________（填序号即可）． 【答案】①③④． 【解析】 【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； ②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S四边形CDQH ； ③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立； ④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，利用勾股定理可得 EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明④成立． 【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知: ∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90 ∴∠BEP+∠AEG=90°， ∵∠A=90° ∴∠AEG+∠AGE=90°， ∴∠BEP=∠AGE， ∵∠FGQ=∠AGE， ∴∠BEP=∠FGQ， ∵∠B=∠F=90， ∴△PBE~△QFG， 故①说法正确，符合题意； ②过点C作CM⊥EG于M， 由折叠可得:∠GEC=∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC， △BEC和△MEC中， ∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC， CE= CE ∴△BEC≌△MEC(AAS) ∴CB=CM，S△BEC=S△MEC ， ∵CG=CG， ∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)， ∴S△CMG=S△CDG ， ∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC +S四边形CDQH ∴②说法不正确，不符合题意； ③由折叠可得:∠GEC=∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BEC=∠DCE， ∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG ∴③说法正确，符合题意； ④连接DH，MH，HE，如图： ∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG， ∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG， ∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=∠BCD=45°， ∵EC⊥HP， ∴∠CHP=45°， ∴GHQ=∠CHP=45°， 由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°， ∴EH⊥CG ∴EG2 -EH2=GH2 由折叠可知:EH=CH ∴EG2 -CH2= GH2， ∵CM⊥EG，EH⊥CG， ∴∠EMC=∠EHC=90°， ∴E，M，H，C四点共圆， ∴∠HMC=∠HEC=45°， 在△CMH和△CDH中， ∵CM=CD，∠MCG=∠DCG， CH= CH ∴△CMH≌△CDH(SAS) ∴∠CDH=∠CMH=45 °， ∵∠CDA=90°， ∴∠GDH=45° ∵∠GHQ=∠CHP=45°， ∴∠GHQ=∠GDH=45°， ∵∠HGQ=∠DGH， ∴△GHQ∽△GDH ， ∴， ∴GH2=GQ·GD ∴GE2-CH2=GQ·GD 故④说法正确，符合题意； 综上可得，正确的结论有:①③④ 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似的判定与性质．翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 ∴或． 18. 如图，点E，F在直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先证明，得到，即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，为的直径，垂直平分线段，交于点D，交于点C，连接、、． （1）求证：是等边三角形； （2）点E在线段的延长线上，且，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，然后结合即可得到是等边三角形； （2）首先得出，然后由求出，然后求出，即可证明出与相切． 【小问1详解】 解：∵垂直平分线段， ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角，三角形外角的性质，切线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 热学 10 光学 30 电学 15 （1）直接写出频数分布表中、的值：______，______； （2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数______°； （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）45， （2）108 （3） 【解析】 【分析】此题考查了频数与频率，画树状图或列表的方法求概率，求扇形统计图中扇形的圆心角等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据光学的人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以即可求出a的值，然后用参与“热学”实验的人数除以总人数即可求出频率，进而完成频数分布表即可； （2）用乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出答案； （3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【小问1详解】 解：（人）， ， ∴参与“热学”实验的频率为， 故答案为：45；； 【小问2详解】 解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是：； 故答案为：108； 【小问3详解】 解：画树状图，如图 共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则 ． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前五，登顶全球动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边也在市场上热销起来，某书店计划同时购进哪吒磁性书签和金属书签．已哪吒磁性书签的单价比金属书签的单价多20元，用2400元购买哪吒磁性书签的数量与用800购买金属书签的数量相同． （1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价； （2）为满足顾客需求，书店老板从厂家一次性购进哪吒磁性书签和金属书签共200个，且购买的费用不超过3600元，求最多可以购进哪吒磁性书签多少个？ 【答案】（1）金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元； （2）最多可以购进哪吒磁性书签80个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 设金属书签的单价为x元，则哪吒磁性书签的单价为元 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解 ∴ ∴金属书签的单价为10元，则哪吒磁性书签的单价为30元； 【小问2详解】 设最多可以购进哪吒磁性书签m个，则购进金属书签个 根据题意得， 解得 ∴最多可以购进哪吒磁性书签80个． 22. 某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①）的设计原理和优化设计．图②是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面EF上，图中，和分别代表3个轮子，3个轮子的半径均为，点O为支点，，且，拉杆． （1）求的长； （2）在使用爬梯车时，拉杆倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知，求把手D到地面的距离的长． 条件①：与的夹角； 条件②：点O到的距离为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．（参考数据：，，．） 【答案】（1） （2）选择条件①．条件②： 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，连接交于，根据题意可得平行地面，则，，再由，，可得，，，根据直角三角形和勾股定理可以求出，则； （2）过作于，则四边形是矩形，得到，再分别选择两个条件，求出的长，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：过作于，连接交于， ∵和轮子的半径均为， ∴点和点到地面距离都是， ∴平行地面， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作于，则四边形是矩形， ∴， 选择条件①：与的夹角， ∴， ∵拉杆， ∴， ∴把手D到地面的距离． 选择条件②：点O到的距离为，即 ∵， ∴， ∴把手D到地面的距离． 23. 如图，已知，， （1）尺规作图：在边求作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求与的面积比． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，尺规作一个角等于已知角，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）按照尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先根据正切求得，设，由勾股定理得，证明，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 小问2详解】 解：∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴ ∴． 24. 在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． （1）如图1若，时，求及的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）不存在（2）中的等量关系，存在的关系 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，是等腰直角三角形，易得，因此、、、四点共圆，推出，得，，在中，，可得，，即可求出，根据及，即可求及的长； （2）由旋转的性质得，是等腰直角三角形，易得，因此、、、四点共圆，得，易得，是等腰直角三角形，过点作交于点，易证，得，通过即可证明结论； （3）根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，过点作交的延长线于点，由四边形内角和为，易得 ，得，易证，得，，在中，，可证． 【小问1详解】 解：边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， 如图所示，、、、四点共圆， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 在中，， ，； 【小问2详解】 证明： 边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， 如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ； 【小问3详解】 不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下： 根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点， 边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 四边形内角和为， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质、四点共圆、对角互补模型、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等，灵活运用以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 已知一次函数与二次函数（是常数）相交于两点，点是轴上的点，点是轴上的点，点为抛物线的顶点．点在抛物线上，其横坐标为． （1）求该二次函数解析式及顶点的坐标； （2）若抛物线在之间的部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标差为时，求的取值范围； （3）点是直线上的点，且轴，把点往右平移两个单位，再往下平移个单位得到点．是否存在不与点重合的点，使得？若存在，请求出面积相等时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数解析式为；顶点C的坐标为 （2）的取值范围是或； （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用、待定系数法求函数解析式，解题的关键是由点在直线上，找出的坐标；将抛物线解析式变为顶点式，找出顶点的坐标． （1）根据直线求出A、B两点坐标，代入，求出函数解析式，配方后可得顶点的坐标； （2）分、和三种情况结合图象的最高点和最低点讨论得解即可； （3）先确定，使得，求出，，然后根据，当时，列方程求出的值并检验即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与二次函数（b、c是常数）相交于两点，点A是x轴上的点，点B是y轴上的点， ∴对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入，得： ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，如图， 根据对称性质得，点关于对称轴对称的点的坐标为， 设， 当时，点是最高点，是最低点， ∴， 解得，（不合题意，舍去）或； 当时，最高点是抛物线的顶点，最低点是, ∴，满足条件； 当时，点是最高点，是最低点， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）； 综上，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：设， ∵点是直线上的点，且轴， ∴， ∴，， 当时，∵ ∴ ∵， ∴ 设把点往右平移两个单位得到，再往下平移个单位得到点． 如图， ∴ ∴当时，重合，此时三点共线，不存在三角形， ∴ 当时，如图，过作交延长线于点，过作于点，连接， ∴ ， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $