精品解析：2026年河南省周口市项城市新华学校模拟预测数学试题

数学（四） 注意事项： 1.本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 在，2，，4这四个数中，比小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用“正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则判断即可． 【详解】解：∵正数都大于负数， ∴ 和都大于，排除B，D选项； 比较剩余负数： ∵ ，，， ∴ ； ∵ ，， ∴ ，排除C选项； 因此比小的数是． 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据0.000000049用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 如图，，点在上，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得，又因为平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 故选：C． 4. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 5. 若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵ 点在第四象限， ∴ ， 解不等式，得． 解不等式，得，即． ∴ 的取值范围是． 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质，可得；再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应运算法则计算各选项即可判断正误． 【详解】解：对于A选项，，∴A错误． 对于B选项，，∴B错误． 对于C选项，，∴C错误． 对于D选项，，∴D正确． 8. 《数学之美》特种邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带，现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，求得所有等可能的结果与两次抽取的邮票图案名称不相同的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设4枚邮票分别为、、、，列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中两次抽取的邮票图案名称相同的结果有种，   两次抽取的邮票图案名称不相同的结果有 种   两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为 9. 如图，的直径长为4，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 阴影部分的面积是 D. 的长是 【答案】C 【解析】 【分析】过点作垂足为点，可以判断，，可得；根据勾股定理可以求出，所以；根据扇形的面积公式可以求出阴影部分的面积是；根据扇形的弧长公式可以求出的长是． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点， 垂直平分圆内的线段， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，故A选项错误； ，，， ， ，故B选项错误； ，， ，故C选项正确； ，， 的长是，故D选项错误． 10. 如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到图形是由和扇形组成的，求出相关线段的长度，根据进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵点为曲线的最低点， ∴此时点运动到点H，且，，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴该图形的面积为． 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 已知与的和是一个单项式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是一个单项式， ∴与是同类项， ∴，， 将，代入得 ． 12. 广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 【答案】 600 【解析】 【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， 米， 米， 解得， （米） ∴小蛮腰的高度为米． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为2，点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置，与相交于点，则点的坐标为__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】连接，由旋转性质知，，，证，得，解直角三角形可得答案． 【详解】解：如图，连接， 将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，点与原点重合， ，， ， 在和中，， ， ， ， 点的坐标为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是线段上的一个动点，将沿翻折，若点的对应点恰好落在或的垂直平分线上，则的长为__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】当点C在线段的垂直平分线上时，可得点C的纵坐标为，设，由折叠的性质可得，，则，解方程得到点C的坐标为或，设，则或，解方程即可得到答案；当点C在线段的垂直平分线上时，则点C的横坐标为，设 由折叠的性质可得，，则，解方程可得点C的坐标为，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：当点C在线段的垂直平分线上时， ∵， ∴点C的纵坐标为，， 设， 由折叠的性质可得，， ∴， 解得或， ∴此时点C的坐标为或， 设， ∴或， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当点C在线段的垂直平分线上时， ∵， ∴点C的横坐标为， 设， 由折叠的性质可得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点C的坐标为， 设， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：_______，_______； （2）_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】（1） （2）乙 （3） 小瑜说的不对，理由如下： 两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法和表示意义，是解题的关键： （1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出的值即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）根据方差作决策即可． 【小问1详解】 解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，故； 故答案为：； 【小问2详解】 由表格可知：甲的方差大于乙的方差， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 18. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）已知轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，连接，．当时，求点的坐标及四边形的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先将点代入直线，求出a的值从而确定点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数，求出k，得到反比例函数解析式． （2）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点C坐标，根据四边形的面积=与面积之和，计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 解得：， ∴点坐标为， 把点代入得，， ． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入，解得． ． 直线中 令，则， 解得， ∴． ∵轴于点， ∴ ∵，． ∴四边形的面积=与面积之和． 中，，， ∴． 中，，点到的距离（即与横坐标之差的绝对值）为， ∴． ∴． 19. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图①中，作线段，点，分别在，上，且； （2）如图②，在的边上找一点，使． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，根据平移性质可得，结合网格特点可得，从而可得作图正确； （2）取格点，连接，与交于点，根据勾股定理与勾股定理的逆定理可得，，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． （1）如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径． （2）如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，） 【答案】（1）半径为5米； （2）弦的长为米． 【解析】 【分析】（1）连接交于点H，证明，得到米，，，设半径为r米，则，在中，由勾股定理，得，代入求解即可． （2）连接，证明为的垂直平分线，为的垂直平分线，推导出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接交于点H，如图 ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴米，米，， 设半径为r米，则． 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得． 答：半径为5米； 【小问2详解】 解：连接，如图 由题意知半径米， ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴，，为的垂直平分线， ∴， ∵，点O为圆心， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）． 答：弦的长为米． 21. 综合与实践 某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购、两种型号的设备共20台．已知购买3台型号设备和4台型号设备共需11万元；购买5台型号和2台型号设备共需9万元． （1）求，两种型号设备的单价． （2）该校现准备采购型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． （3）该校负责人考虑到预算等问题，得出的取值范围为，则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元 （2） （3）当采购型号设备台，型号设备台时，总费用最低，最低为元 【解析】 【分析】（）设型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元，根据题意列出方程组即可求解； （）设采购型号设备台，则采购型号设备台，根据题意列出函数关系式即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：设型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元； 【小问2详解】 解：设采购型号设备台，则采购型号设备台， 由题意得，， 即； 【小问3详解】 解：∵， ∴的值随着的增大而减小， ∵，且为整数， ∴当时，的值最小，， 此时， 答：当采购型号设备台，型号设备台时，总费用最低，最低为万元即元． 22. 已知二次函数的解析式为． （1）若： ①直接写出二次函数的顶点坐标__________； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （2）当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可；②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，得到对称轴为直线，利用二次函数的性质结合，进行分类讨论，即可． 【小问1详解】 解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； ②， ， ，， ， ，即； 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 在中， ①当时，时，最大值为，时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时，时，最大值为，时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时，时，最大值为，时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 23. 如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分． （1）类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，________ ，_________， ，即． （2）如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． （3）如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1），，，； （2）点是边的“三等分点”，理由： 在矩形中，，， 由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是边的“三等分点”； （3）或 【解析】 【分析】（）根据题意补全证明过程即可； （2）由可得，进而由得，即得，即可求证； （3）分和两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当时， 由题意知，，，，， 设，，则，， 在，， ∴， 在和中，， ∴， 由①②联立得，， 解得， ∴， ∴（不符合题意的根舍去）； 如图，当时， 同理可得，， 解得， ∴， ∴（不符合题意的根舍去）； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（四） 注意事项： 1.本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 在，2，，4这四个数中，比小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，点在上，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 8. 《数学之美》特种邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带，现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的直径长为4，垂直平分圆内的线段，，，以点为圆心，为半径画扇形，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 阴影部分的面积是 D. 的长是 10. 如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 已知与的和是一个单项式，则__________． 12. 广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 14. 如图，正方形的边长为2，点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置，与相交于点，则点的坐标为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是线段上的一个动点，将沿翻折，若点的对应点恰好落在或的垂直平分线上，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：_______，_______； （2）_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 18. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式． （2）已知轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，连接，．当时，求点的坐标及四边形的面积． 19. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图①中，作线段，点，分别在，上，且； （2）如图②，在的边上找一点，使． 20. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． （1）如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径． （2）如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，） 21. 综合与实践 某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购、两种型号的设备共20台．已知购买3台型号设备和4台型号设备共需11万元；购买5台型号和2台型号设备共需9万元． （1）求，两种型号设备的单价． （2）该校现准备采购型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． （3）该校负责人考虑到预算等问题，得出的取值范围为，则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 22. 已知二次函数的解析式为． （1）若： ①直接写出二次函数的顶点坐标__________； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （2）当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 23. 如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分． （1）类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，________ ，_________， ，即． （2）如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． （3）如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $