精品解析：2025年山东省青岛市黄岛区2025年中考二模数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性学业水平检测题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数种，比小的数是（ ） A B. C. 0 D. 3 2. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 国家统计局数据显示，年第一季度国内生产总值为亿元，按不变价格计算，同比增长．将数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 5. 如图，把图①中经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是青岛市某地区月日至日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是月号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 7. 如图，内接于是的切线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. 关于的方程一定有两个不相等的实数根 C. D. 若点在该抛物线上，则 第II卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 10. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，交于点，已知，则的周长为___________． 11. 五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵元；用元购进甲纪念品的数量是用元购进乙纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为元，则可列方程为______． 12. 如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为___________． 13. 如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点，则的长为______．（结果保留） 14. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G，垂直平分，分别交，，于点H，M，N．若，则的长为___________． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知：如图，点是内部一点．求作：矩形，使得点在边上，点，在边上． 四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16. （1）解不等式组：， （2）先化简，再从，0，3，9中选择一个适当的数作为的值代入求值． 17. 北京时间2024年12月4日，在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某社区在2025年春节期间举行了“非遗迎新春”活动，活动当天安排了两类非遗项目供居民体验，传统戏剧类有两项：“茂腔”、“柳腔”；曲艺类有一项：“胶东大鼓”．活动要求每位参与者不能重复体验同一个项目． （1）从这三个项目中随机选1个，选中传统戏剧类项目的概率是___________； （2）从这三个项目中随机选2个，用画树状图或列表的方法求选到不同类非遗项目的概率． 18. 振华中学数学活动社团的同学周末分组实地测量某座山的高度，实践报告如下： 课题 测量山（）的高度 工具 测量角度的仪器，皮尺，无人机等 组别 第一组 第二组 测量方案示意图 说明 无人机在点正上方． 在同一条直线上． 测量数据 ，米； 米． 根据上述报告，从两组中任意选择其中一个，求出山的高度． 参考数据： （注：如果选择第一组、第二组分别进行解答，按第一个解答计分） 19. “青春力量，健康同行”．为了解某市初中生每天进行体育活动的时间情况，随机抽样调查了部分初中生，根据调查结果得到如图所示的不完整的统计图表． 时间（小时） 人数（频数） 频率 合计 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）补全条形统计图； （3）据了解，该市有万名初中生，请估计该市初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）一次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，与反比例函数图象交于点，连接，求的面积． 21. 如图，是的中线，过点作的平行线交于点是的中点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 22. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________．（填写序号） （2）如图⑤，已知矩形，延长至点，使，过点作交延长线于点．请你判断四边形否为邻等对补四边形，并说明理由． （3）如图⑥，在中，，，，，为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为___________． 23. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题： （1）求销售利润与销售单价的关系式； （2）为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在四边形中，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接交于点．当一个点停止运动时，另两个点也随之停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设的面积为，求与的函数关系式，并求出的最小值； （3）连接，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期阶段性学业水平检测题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数种，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，即可得出结论． 【详解】解：先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D， ∵=4，=3，，而4＞3＞2 ∴＜＜ ∴各选项中，比小的数是 故选A． 【点睛】此题考查的是有理数的比较大小，掌握正数都大于0；负数都小于0；两个负数，绝对值大的反而小，是解题关键． 2. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可，掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：它的俯视图为， ， 故选：． 4. 国家统计局数据显示，年第一季度国内生产总值为亿元，按不变价格计算，同比增长．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 5. 如图，把图①中的经过一定变换得到图②中的，如果图①中上点的坐标为，那么这个点在图②中的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知图形的平移，求点的坐标，解题关键是确定平移的方向与距离． 根据平移的方向与距离，结合点的坐标求出的坐标． 【详解】解：∵把图①中的经过一定变换得到图②中的， ∴点对应点为，先向右平移4个单位，再向上平移3个单位， ∵图①中上点的坐标为， ∴这个点在图②中的对应点的坐标为，   故选： C． 6. 如图是青岛市某地区月日至日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是月号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了极差、平均数、中位数、众数，根据极差、平均数、中位数、众数逐一排除即可，解题的关键是熟记极差、平均数、中位数、众数相关概念． 【详解】解：、∵月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为， 月日最低气温为，月日最低气温为，月日最低气温为，月日最低气温为，月日最低气温为， ∴月日温差为，月日温差为，月日温差为，月日温差为，月日温差为， ∴温差最大的是月号，原说法正确，不符合题意； 、∵月日最低气温为，月日最低气温为，月日最低气温为，月日最低气温为，月日最低气温为， ∴这五天中，每日最低气温的众数是，原说法正确，不符合题意； 、∵月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为， ∴从小打到排序为，，，，， ∴这五天中，每日最高气温的中位数是，原说法错误，符合题意； 、∵月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为，月日最高气温为， ∴这五天中，每日最高气温的平均数为，原说法正确，不符合题意； 故选：． 7. 如图，内接于是的切线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线定理是解题的关键．根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再求出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：， 是的切线， ， ， ， ， 故选：B． 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. 关于的方程一定有两个不相等的实数根 C. D. 若点在该抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图形与性质，根据二次函数图像来判断各项系数的正负，可判断选项A，再由图像的交点问题来判断B选项，当时，，结合对称轴来判断选项C，由函数的增减性判断选项D即可． 【详解】解：二次函数的图形开口向上， ， ， ， 当时，， ， ，故A错误，不符合题意； 根据图象可知，当时，抛物线与的图象不能确定有几个交点， 一定有两个不相等的实数根，说法错误，故B错误，不符合题意； 由图可知，当时，， ， 对称轴为直线， ， ， ，即，故C错误，不符合题意； ， ， 点位于抛物线对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 第II卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则先对二次根式进行化简，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，交于点，已知，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理和它的逆定理、中位线定理，首先根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，根据平行四边形的性质可知，因为可证，可证是的中位线，根据中位线的性质可得，，根据勾股定理可求出，根据三角形的周长公式可求结果． 【详解】解：， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ，， ， 的周长是． 故答案为：． 11. 五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵元；用元购进甲纪念品的数量是用元购进乙纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为元，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品的进价为元，则可列方程，明确题意，准确得到数量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲种纪念品的进价为元， 根据题意得，， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，再根据平行线性质得到的度数，最后利用折叠性质求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 沿折叠得到， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点，则的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，三角形内角和定理等知识，由，，则，，根据三角形内角和定理可得，最后由弧长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，记中点为，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G，垂直平分，分别交，，于点H，M，N．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和解直角三角形，根据题意求得，结合垂直平分可得，进一步证明，有，可求得、和，利用，解得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形，点F在边的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 中，， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 已知：如图，点是内部一点．求作：矩形，使得点在边上，点，在边上． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】过点作于点，过点作交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且点在边上，点，在边上， 则矩形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了过一点作已知直线的垂线，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定，矩形的判定等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16. （1）解不等式组：， （2）先化简，再从，0，3，9中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2），18 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案； （2）先计算括号内的分式加法，再根据分式除法法则计算除法，得出最简结果，最后根据分式有意义的条件选择数据，代入计算即可得答案． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； （2） ∵且且， ∴x不能取0，3，， ∴当时，原式． 17. 北京时间2024年12月4日，在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某社区在2025年春节期间举行了“非遗迎新春”活动，活动当天安排了两类非遗项目供居民体验，传统戏剧类有两项：“茂腔”、“柳腔”；曲艺类有一项：“胶东大鼓”．活动要求每位参与者不能重复体验同一个项目． （1）从这三个项目中随机选1个，选中传统戏剧类项目的概率是___________； （2）从这三个项目中随机选2个，用画树状图或列表的方法求选到不同类非遗项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表的方法求某事件的概率，理解题意，得到所有的结果总数是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果总数，再找出符合题意的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从这三个项目中随机选1个，有3种等可能的结果，选中传统戏剧类项目的可能结果有2种，则选中传统戏剧类项目的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“茂腔”、“柳腔”、“胶东大鼓”分别记为A，B，C， 第二个 第一个 A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中不同类的有4种， ∴P（选到不同类非遗项目）， 答：选到不同类非遗项目的概率为． 18. 振华中学数学活动社团的同学周末分组实地测量某座山的高度，实践报告如下： 课题 测量山（）的高度 工具 测量角度的仪器，皮尺，无人机等 组别 第一组 第二组 测量方案示意图 说明 无人机在点的正上方． 在同一条直线上． 测量数据 ，米； 米． 根据上述报告，从两组中任意选择其中一个，求出山的高度． 参考数据： （注：如果选择第一组、第二组分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．第一组：过点作交于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，过点作，设，故，得到，再代入数据，根据三角函数值进行计算即可．第二组：过点作交延长线于点，设，得到，再代入数据，根据三角函数值进行计算即可得到答案． 【详解】解：选择第一组： 过点作交于点，过点作水平线垂线，垂足为点，过点作，则， ∴四边形是矩形， ∴， 设，故， ∵， ， ， ， ， 解得：， 故山的高度为米； 选第二组：过点作交延长线于点， 设， ， ∴， ∵ ∴ ∴， 解得：， 故山的高度为米； 19. “青春力量，健康同行”．为了解某市初中生每天进行体育活动的时间情况，随机抽样调查了部分初中生，根据调查结果得到如图所示的不完整的统计图表． 时间（小时） 人数（频数） 频率 合计 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）补全条形统计图； （3）据了解，该市有万名初中生，请估计该市初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数． 【答案】（1），； （2）补全条形统计图见解析； （3）估计该市初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数为万名． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，条形统计图，利用样本估计总体的知识，解题的关键是读懂统计图表，在不同的统计图表中获得必要的信息． （）根据抽样调查中的频率和频数，可计算样本容量，即合计人数，用公式“频率频数总数”计算的值； （）根据样本容量减去，，和的频数，得到的频数，然后补全条形统计图即可； （）利用万乘以样本中初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数所占比计算即可． 【小问1详解】 解：（人），， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：的频数为（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：（万名）， 答：估计该市初中生每天进行体育活动时间超过小时的人数为万名． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）一次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，与反比例函数图象交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）由一次函数的解析式求得点的坐标，进而求出点的坐标，得到，然后利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，是的中线，过点作的平行线交于点是的中点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析； 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明即可得到结论； （2）先证明四边形为平行四边形，证明平分，即，证明，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ， 是的中点， 在和中 ， ， ． 【小问2详解】 解：满足，理由如下： ， 四边形为平行四边形， ，是的中线， 平分， 即， 又， ， ， 又四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键． 22. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________．（填写序号） （2）如图⑤，已知矩形，延长至点，使，过点作交延长线于点．请你判断四边形是否为邻等对补四边形，并说明理由． （3）如图⑥，在中，，，，，为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为___________． 【答案】（1）②④ （2）四边形是邻等对补四边形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线是解题的关键． （1）根据三角板的特征和邻等对补四边形的定义判断即可； （2）先根据矩形性质得到，，再根据垂直定义和同角的余角相等得到，进而证明得到，根据题中定义可得结论； （3）如图⑥，过点N作，分别根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：四边形是邻等对补四边形，理由如下： ∵四边形是矩形， ，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，又， ∴四边形是邻等对补四边形； 【小问3详解】 解：如图⑥，∵在中，，，， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵四边形是邻等对补四边形，则, ∴，则， ， 过点N作， ， ，， ， ． 23. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题： （1）求销售利润与销售单价的关系式； （2）为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当售价为元时，线上和线下的利润之和最大，最大利润为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键． （1）根据利润数量每件的利润建立与的关系式即可； （2）先用待定系数法求出解析式，再建立与的函数解析式，由函数的性质和的最大值确定取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 故销售利润与销售单价的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得到：， 解得， ， 设线上线下利润之和为元， 则， ， 故当时，最大，最大值为． 故当售价为元时，线上和线下的利润之和最大，最大利润为． 24. 如图，在四边形中，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接交于点．当一个点停止运动时，另两个点也随之停止运动．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设的面积为，求与的函数关系式，并求出的最小值； （3）连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）；的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，列出方程，解方程即可； （2）延长，过点D作于点G，过点E作于点N，交的延长线于点M，证明四边形为矩形，得出，，根据，求出，证明四边形为矩形，得出，根据求出，再求出最小值即可； （3）过点F作于点G，连接，证明，得出，说明为定值，即点F为定点，根据垂线段最短，得出当点E在点G处时，最小，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵当四边形为平行四边形时，， ∴， 解得：， 即时，四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：延长，过点D作于点G，过点E作于点N，交的延长线于点M，如图所示： 根据题意可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ， 即， ∵， ∴当时，有最小值，即的面积有最小值，且最小值为． 【小问3详解】 解：过点F作于点G，连接， 根据解析（2）可知：， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，即点F为定点， ∵垂线段最短， ∴当点E在点G处时，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$