精品解析：2026年山东省日照市莒县第三中学中考第二次模拟数学试题

2026年初中学业水平阶段素养测试 数学试题（二） （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】根据题意得：米． 故选：D． 2. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知：“斗”的俯视图是 ． 3. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 4. 化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，根据同底数幂的乘法法则和积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 5. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 6. 点是反比例函数上一点，其中m，n分别是一元二次方程的两根之和与两根之积，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出m，n的值，可得点P的坐标，代入，即可得k的值． 【详解】解：对于一元二次方程，这里， ∵m是方程两根之和，n是方程两根之积，根据根与系数的关系可得：，， ∴， 又∵点在反比例函数上， ∴将点代入得， 解得． 7. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得到，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长． 8. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则a与b的和是（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】根据图1可知，斜对角的两个数之和相等，继而即可求解． 【详解】解：根据图1可知，斜对角的两个数之和相等， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了幻方，根据幻方的特点，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等推出空格内的数，结合幻方斜对角的两个数之和相等是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中给出的坐标，计算相应的边长和圆的周长，进而求出点在圆上运动一周使用的时间，分析秒运动的周数，确定点位置，就能求出点的坐标． 【详解】解：已知点，，以点为圆心，半径作圆， ∴,， ∴圆的周长， 根据题意，点运动一周耗时， 当点运动到第秒时，刚好运动了周半，此时点位置在，如图， ， ∵，， ∴, ∴， ∵顺时针旋转得到， ∴,轴， ∴． 10. 如图1，矩形中，点沿从点运动到点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，设点的运动路程为，的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设，，点P的运动路程，则，过Q作交于F，交于E，根据矩形的性质得到，，证明四边形是矩形，得到，根据旋转的性质得到，，进而证明，得到，即，求出的函数解析式，根据函数图象得到、，进而得到，求解即可． 【详解】解：设，，点P的运动路程，则， 过Q作交于F，交于E， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为 ∵二次函数顶点横坐标， ∴， 即， 由函数图象可知，当时，， ∴， 即， 解得（负值舍去）， 即的长为3． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 12. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由平行线的性质得出同旁内角互补，再根据对顶角相等得出，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积； 故答案为：． 14. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 【答案】或 【解析】 【分析】把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线的图象上， 联立， 解得，， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴函数图象如图： 由图可得，当时，x的取值范围是或． 15. 如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 三、解答题：（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1） （2） 化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）先分别计算乘法、乘方、负整数指数幂三类运算，因为实数混合运算需先算乘方、开方、乘除，后算加减，再合并计算最终值． （2）第一步先化简代数式，因为，所以先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，约分后得到最简形式．第二步计算的值，代入特殊角的三角函数值，得到的结果．第三步将的值代入化简后的代数式，计算得到最终结果． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： ， ， 代入化简结果得： ． 17. 为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 【答案】（1）85；20 （2）甲公司服务的满意度更高． （3）600 【解析】 【分析】（1）根据众数确定的取值，根据扇形统计图的百分比确定的取值； （2）根据方差判断满意度； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，乙公司数据出现次数最多的数据为， 则， ∵， ∴， 【小问2详解】 甲公司服务的满意度更高，理由如下： 甲乙公司服务满意度评分的平均数相同， 甲公司服务满意度评分的方差为，小于乙公司服务满意度评分的方差， 所以甲公司服务的评分数据的波动比乙公司服务的评分数据的波动小， 而且中位数和众数，甲公司服务的评分数据比乙公司都要好， 所以甲公司服务的满意度更高． 【小问3详解】 解：乙公司评分数据中，A等级的占比为：， ∴此次调查中服务满意度为A等级的人数为：（人）． 18. 在中，，，，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F点，作射线，交于点M； ③以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点G，H； ④分别以点G，H为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于Р点，连接交射线于点Q． （1）求的面积； （2）求线段的长． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理得到，结合作图得到是角平分线，过点M作于点N，由角平分线的性质定理得到，设，则，在中由勾股定理即可得到，由三角形面积公式即可求解； （2）根据作图得到，再根据等面积法列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 根据作图得到，是的平分线，如图所示，过点M作于点N， ∵，即， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据作图得到，， 在中，， ∵， ∴． 19. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： （1）任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ （2）任务二：请给出最节省费用的购买方案． 【答案】（1）每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元 （2）当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低 【解析】 【分析】（1）设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，列方程组，解方程组即可； （2）设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，得到，由购买男款的数量不超过购买女款数量的得到，求出，计算即可． 【小问1详解】 解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元， ，解得，， 答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元； 【小问2详解】 解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元， ， 购买男款的数量不超过购买女款数量的 ，解得 随的增大而增大， 当时，的值最小 当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低， 此时，购买男款扎染服饰套． 当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低． 20. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点F．点C为圆外一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵直径垂直于弦，垂足为点F， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴为的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到，证明，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得到四边形是平行四边形，结合题意求出，连接，则，设，则，在中由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，连接，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 21. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③． 任务1 （1）求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 （2）当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）遮阳棚前端到墙面的距离约为 （2）线段的长度约为 ． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； （2）延长交于点，则，在中，，，，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； 【小问2详解】 解：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 线段的长度约为 ． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 23. 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． 【实践操作】 （1）尺规作图：如图2，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E、F两点，连接，由此尺规作图得到的结论是：_____，若以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点______． 【问题解决】 （2）如图3，若，，点，，C在同一条直线上， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． 【深入探究】 （3）在【问题情境】的折叠操作中，设，，连接，当a，b满足什么数量关系时，与始终平行，请说明理由． 【答案】（1）是线段的垂直平分线， （2）①证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵折叠，点，，C在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②； （3）如图所示，对角线交于点O， 若，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 整理得，， 当点重合时，如图所示，垂直平分，垂足为点G， ∴， ∴当时，与重合，即， 解得，； 同理，当点重合时，折线变成点，并与点D重合，此时， ∴， 当，即时，， 整理得， ∴当点在线段上，时，与始终平行． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质求解即可； （2）①根据矩形的性质，折叠的性质，角的等量代换得到即可求解； ②过点作于点G，由等面积法得到，再由勾股定理，三线合一即可求解； （3）若，则时，即点在对角线上，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：根据作图得到，垂直平分线段， ∴， ∴以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点D； 【小问2详解】 解：②在中，， 如图所示，过点作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平阶段素养测试 数学试题（二） （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 点是反比例函数上一点，其中m，n分别是一元二次方程的两根之和与两根之积，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则a与b的和是（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，矩形中，点沿从点运动到点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，设点的运动路程为，的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为_____． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 14. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，该函数图象上的另一个“梦之点”为点H，直线为，当时，x的取值范围是____． 15. 如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 三、解答题：（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 17. 为了了解物流公司的服务情况，对甲、乙两家物流公司的服务满意度进行调查．从两家公司各随机抽取20名客户进行服务满意度评分，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：），下面给出了部分信息： 乙公司评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 甲、乙两家公司服务满意度评分统计表 公司 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 96.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________； （2）你认为哪家公司的服务满意度更高？请说明理由； （3）若甲、乙两家公司分别有1200名客户参与评分，估计此次调查中服务满意度为A等级的一共有多少人． 18. 在中，，，，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F点，作射线，交于点M； ③以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点G，H； ④分别以点G，H为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于Р点，连接交射线于点Q． （1）求的面积； （2）求线段的长． 19. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： （1）任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ （2）任务二：请给出最节省费用的购买方案． 20. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点F．点C为圆外一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的半径． 21. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③． 任务1 （1）求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 （2）当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 23. 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在折痕上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． 【实践操作】 （1）尺规作图：如图2，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E、F两点，连接，由此尺规作图得到的结论是：_____，若以为折痕折叠矩形，则点B的对应点为点______． 【问题解决】 （2）如图3，若，，点，，C在同一条直线上， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． 【深入探究】 （3）在【问题情境】的折叠操作中，设，，连接，当a，b满足什么数量关系时，与始终平行，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $