精品解析：2026年河南省平顶山市宝丰县第二教研区二模数学试题

2026年中招学科适应性第二次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 有理数4的相反数是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2025年1月29日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．数据142亿用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3. 爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（ ） A. 数 B. 学 C. 很 D. 好 4. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 6. 如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　 A. 130° B. 135° C. 140° D. 145° 7. 已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 8. 某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边三角形的顶点B在x轴正半轴上，点D是y轴正半轴上一点，，以为斜边在y轴左侧作等腰直角三角形，若将沿着x轴向右平移，则当点C恰好落在线段上时，点D的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是_________．(写出一个符合题意的答案即可) 13. 大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 15. 如图，在等边三角形中，，点D在上，且，为上一动点，以为一边，在下方作等边三角形，连接，．当是等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算，解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 某校为增强学生秋季流疾防控意识，开展了预防流疾知识竞赛．现从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，93 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 a 100 方差 35.4 35 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次预防流疾知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，反比例函数的图象过线段的中点E，交边于点F． （1）求反比例函数k的值和点F的坐标； （2）若P为线段上一动点，当与相似时，求点P的坐标． 19. 洛阳周王城广场中央的何尊雕塑，是按照西周初年的青铜祭祀礼器——何尊（现收藏于宝鸡青铜器博物院，其底部铭文“宅兹中国”，是“中国”一词最早的文字记载）原型十倍比例放大建造而成的．某数学兴趣小组测量何尊雕塑的高度．如图，，在D处用测角仪测得何尊雕塑底座上沿G处的仰角为，把测角仪沿方向向前移动到达C处，又测得何尊雕塑上沿A处的仰角为．何尊雕塑上沿点A、底座上沿点G和下沿点B在同一铅垂线上，点B，C，D在同一水平线上，求何尊雕塑的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 20. 如图，在中，，以为直径的与交于点D，过点B作，过点C作的切线与相交于点E． （1）求证：． （2）若，求的半径． 21. 春节期间，某服装店计划购进某种品牌西服、西裤进行销售，相关信息如下： 进价（元/件或元/条） 零售价（元/件或元/条） 成套售价（元/套） 西服 m 360 450 西裤 140 已知购进26条西裤和购进10件西服所需费用一样． （1）求西服和西裤的进价． （2）该服装店计划购进西裤的数量比西服数量的3倍多10条，且西服和西裤的总数量不超过310，若有一半数量的西服成套销售（一件西服配一条西裤），其余西服和西裤以零售方式销售，请问该服装店应如何进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图，直线l：x＝3，抛物线G：y＝－x2+2mx－m2+m+3的顶点为P，抛物线G与直线l交于点Q. （1）写出抛物线G的顶点P的坐标　 　（用m表示），点P的坐标所满足的函数关系式为　 　； （2）求点Q的纵坐标（用含m的代数式表示），并求的最大值； （3）随m的变化，G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长. (提示：平面直角坐标系中两点A，B之间的距离为AB=) 23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师以正方形为背景设计的问题，请你解答． （1）观察发现 如图1，将正方形折叠，使点A的对应点．落在边上，折痕分别与，交于点E，F，则折痕和的数量和位置关系分别是_______． （2）类比探究 在（1）的条件下，设与交于点O，连接交于点G，如图2，求证：． （3）拓展应用 如图3，正方形的边长为，点M是边上的一动点，点N是边上的一点，且，连接，将正方形沿折叠，使点A，D分别落在点P，Q处，当点Q落在直线上时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招学科适应性第二次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 有理数4的相反数是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：由题意得，4的相反数是， 故选A． 2. 中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2025年1月29日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．数据142亿用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 亿． 3. 爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（ ） A. 数 B. 学 C. 很 D. 好 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据相对面必定隔一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：数和玩是相对面，很和好是相对面， 故没有相对面的字为学； 故选B． 4. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的除运算法则、积的乘方、乘法公式分别化简得出答案． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：a的值为； 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 6. 如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　 A. 130° B. 135° C. 140° D. 145° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论． 【详解】解：，且， ， ，， ， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 7. 已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：，是关于的方程的两个实数根， ，， ＞0， ∴不论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，即， 故A选项符合题意； ∵不论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，且， ∴不一定大于0， 故B选项不符合题意； ∵＜0， ∴，， 故C，D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟练记住根与系数的关系是解题的关键. 8. 某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设 ， 把代入得： ， ， 当h时，， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到， 故选B． 9. 如图，等边三角形的顶点B在x轴正半轴上，点D是y轴正半轴上一点，，以为斜边在y轴左侧作等腰直角三角形，若将沿着x轴向右平移，则当点C恰好落在线段上时，点D的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于，延长交于点E，则，从而即可得出点，求出，解直角三角形得出，进而可得，即向右平移的距离为，由此即可得出结果． 【详解】解：如图，作于，延长交于点E， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴点． ∵是等边三角形， ． ， ， ，即向右平移的距离为． ， 点D的对应点坐标为． 10. 如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象．熟练掌握勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 当时，根据，得出；当时，过点P作于点H，证，得出，根据，即可得出． 【详解】∵在中，，，， ∴， 当时， ， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线； 当时， 过点P作于点H，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向下的抛物线． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可． 【详解】解： = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 12. 已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是_________．(写出一个符合题意的答案即可) 【答案】y=（x＞0） 【解析】 【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大． 【详解】解：只要使反比例系数大于0即可．如y=（x＞0），答案不唯一． 故答案为：y=（x＞0）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大． 13. 大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】属于求简单事件的概率，所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】解：背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，共有5种情况，“中”只有一种情况， 随机抽取一张，背面恰好写着“中”字的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求简单事件的概率，掌握求简单事件的概率方法，从中随机抽取一张确定出出现总的可能情况，找出符合条件的情况是解答此类问题的关键． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 15. 如图，在等边三角形中，，点D在上，且，为上一动点，以为一边，在下方作等边三角形，连接，．当是等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先证明，可得，，然后分、、三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵等边三角形，等边三角形， ∴，，， ∵ ，，， ∴， ∴，； ①当，即时， ∵， ∴， ∴与矛盾， ∴，即； ②如图1，当时， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③如图2，当时， ∵， ∴点B，E，C在以点F为圆心，FC为半径的圆上， ∴． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 过点D作于点G，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴，，， 即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上， 的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算，解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值、负整数次幂、绝对值、算术平方根化简，然后再计算即可； （2）先求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 不等式组的解集为． 17. 某校为增强学生秋季流疾防控意识，开展了预防流疾知识竞赛．现从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，93 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 b 众数 a 100 方差 35.4 35 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次预防流疾知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1）96，，40 （2）见解析 （3）590名 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格在的数据、扇形统计图种的数据，可以计算出a、b、m的值即可； （2）根据平均数、众数、中位数、方差进行分析即可解答； （3）根据样本估计整体的知识列式计算即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是96，即众数：； 由题意可得：八年级获得A等级的有2人，B等级的有1人，则八年级竞赛成绩从小到高排列处于第5、6位的是93，94，则中位数；，即． 故答案为：96，，40． 【小问2详解】 解：八年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好，理由如下：八年级的中位数高于七年级的中位数，故八年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解： （名）． 答：估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀的学生共有590名． 【点睛】本题主要考查频数分布表、扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差、样本估计整体等知识点，审清题意、从图表中获取所需信息是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，反比例函数的图象过线段的中点E，交边于点F． （1）求反比例函数k的值和点F的坐标； （2）若P为线段上一动点，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法计算即可得出反比例函数的解析式为，再结合点F和点B的横坐标相同都是，且点F在反比例函数上，计算即可得出点F的坐标； （2）分两种情况：①当时，，②当时，，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，， ， E是的中点， ， 反比例函数过点E， ， 反比例函数的解析式为， 点F和点B的横坐标相同都是，且点F在反比例函数上， ∴当时，， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， 当与相似时，分以下两种情况： ①当时，， 即， ， ， 此时点； ②当时，， 即， ， ， 此时点， 综上，符合条件的点P坐标为或． 19. 洛阳周王城广场中央的何尊雕塑，是按照西周初年的青铜祭祀礼器——何尊（现收藏于宝鸡青铜器博物院，其底部铭文“宅兹中国”，是“中国”一词最早的文字记载）原型十倍比例放大建造而成的．某数学兴趣小组测量何尊雕塑的高度．如图，，在D处用测角仪测得何尊雕塑底座上沿G处的仰角为，把测角仪沿方向向前移动到达C处，又测得何尊雕塑上沿A处的仰角为．何尊雕塑上沿点A、底座上沿点G和下沿点B在同一铅垂线上，点B，C，D在同一水平线上，求何尊雕塑的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点H，如图所示，则，．求出，再解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点H，如图所示，则，． ，， ． 在中，， ． ． 故何尊雕塑的高度约为． 20. 如图，在中，，以为直径的与交于点D，过点B作，过点C作的切线与相交于点E． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：如图：连接， AC是的直径， ， ． CE是的切线， ． ． ， ． ， ． ， ． ， ． ． 又， ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理、切线的性质、平行线的性质可得，再利用等边对等角、平行线的性质以及等量代换可得，利用可证明，最后运用全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，．设的半径为r，则， ．在中利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：由（1），可知， ，． 设的半径为r，则， ． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 的半径为． 21. 春节期间，某服装店计划购进某种品牌西服、西裤进行销售，相关信息如下： 进价（元/件或元/条） 零售价（元/件或元/条） 成套售价（元/套） 西服 m 360 450 西裤 140 已知购进26条西裤和购进10件西服所需费用一样． （1）求西服和西裤的进价． （2）该服装店计划购进西裤的数量比西服数量的3倍多10条，且西服和西裤的总数量不超过310，若有一半数量的西服成套销售（一件西服配一条西裤），其余西服和西裤以零售方式销售，请问该服装店应如何进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）西服的进价为260元/件，西裤的进价为100元/条 （2）该服装店购进西服74件，西裤232条时利润最大，最大利润是14830元 【解析】 【分析】（1）根据“购进26条西裤和购进10件西服所需费用一样”列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设服装店购进西服x件，则购进西裤条，根据“西服和西裤的总数量不超过310”列出关于的一元一次不等式，并结合一半数量的西服成套销售，求出的取值范围，设服装店销售西服和西裤的利润为y元，求出关于的函数，结合一次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，可得， 解得， 则， 答：西服的进价为260元/件，西裤的进价为100元/条． 【小问2详解】 解：设服装店购进西服x件，则购进西裤条， 由题意，可得， 解得． ∵由一半数量的西服成套销售， ∴为偶数，即的最大值为74； 设服装店销售西服和西裤的利润为y元， 则 整理得， ， y随x的增大而增大． 当时，y有最大值，最大值为． 此时， 答：该服装店购进西服74件，西裤232条时利润最大，最大利润是14830元． 22. 如图，直线l：x＝3，抛物线G：y＝－x2+2mx－m2+m+3的顶点为P，抛物线G与直线l交于点Q. （1）写出抛物线G的顶点P的坐标　 　（用m表示），点P的坐标所满足的函数关系式为　 　； （2）求点Q的纵坐标（用含m的代数式表示），并求的最大值； （3）随m的变化，G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长. (提示：平面直角坐标系中两点A，B之间的距离为AB=) 【答案】（1）（m，m+3），y＝x+3；（2）当m＝时，yQ的最大值为；（3）3. 【解析】 【分析】（1）由配方法可得出答案； （2）求出yQ=m2+7m6，由二次函数的性质得出答案； （3）设直线y=x+3与y轴和直线l分别交于点B和点P1，线段BP1的长即为P点路径长．求出B和P1的坐标，由两点间的距离公式可得出答案． 【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x﹣m）2+m+3， ∴抛物线G的顶点P的坐标为（m，m+3）， ∴点P的坐标所满足的函数关系式为y＝x+3， 故答案为：（m，m+3），y＝x+3． （2）∵抛物线G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3与直线l：x＝3交于点Q. ∴把x＝3代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3， 得yQ＝﹣m2+7m﹣6， ∵yQ＝﹣m2+7m﹣6＝﹣， ∴当m＝时，yQ的最大值为； （3）如图，设直线y＝x+3与y轴和直线l分别交于点B和点P1， ∵点P在y轴与l之间沿y＝x+3运动， ∴线段BP1的长即为P点路径长． 把xB＝0，＝3代入y＝x+3得点B（0，3），点P1（3，6）， ∴BP1＝， ∴点P在y轴与l之间移动的路径长为3． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到求两函数的交点坐标，二次函数的性质，两点间的距离公式，函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师以正方形为背景设计的问题，请你解答． （1）观察发现 如图1，将正方形折叠，使点A的对应点．落在边上，折痕分别与，交于点E，F，则折痕和的数量和位置关系分别是_______． （2）类比探究 在（1）的条件下，设与交于点O，连接交于点G，如图2，求证：． （3）拓展应用 如图3，正方形的边长为，点M是边上的一动点，点N是边上的一点，且，连接，将正方形沿折叠，使点A，D分别落在点P，Q处，当点Q落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）1或4 【解析】 【分析】（1）过点F作于点H，设与交于点K．则四边形是矩形，由矩形的性质可得，再结合正方形的性质得出，由线段垂直平分线的性质可得，再证明，即可得出结果； （2）连接，，．先证明，得出，，结合线段垂直平分线的性质得出，求出，再结合得出，从而得出，即可得证； （3）连接，设，求出，，，分两种情况讨论：①当点Q在线段上时；②当点Q在的延长线上时，分别结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图1，过点F作于点H，设与交于点K． ， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ， ． EF垂直平分， ， ． 又， ． 又， ， ． 【小问2详解】 证明：如图2，连接，，． ，，， ， ，． ∵垂直平分， ， ， ， ． 又， ， 在四边形中，． ， ． 又∵， ， ． 又， ． 【小问3详解】 解：连接，设． ，， ，， ． 分两种情况讨论． ①当点Q在线段上时，如图3． 在中，， ， 在中，， 又在中，， ， ． ②当点Q在的延长线上时，如图4． 在中，， ， 在中，． 又在中，， ， ． 综上所述，线段的长为1或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $