期末培优：递推法求概率、概率中的最值问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦概率计算两大难点，通过真实情境问题构建"递推建模-动态分析-最值优化"的完整思维链，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |递推法求概率|3例3变式|多状态转换/多轮操作/动态概率|从具体情境抽象状态转移模型→建立递推关系→数学归纳证明→实际应用| |概率中的最值问题|3例3变式|分布列优化/概率函数极值/决策模型|概率分布构建→目标函数转化→导数或不等式求最值→实际意义解读|

期末培优：递推法求概率、概率中的最值问题专项训练 期末培优：递推法求概率、概率中的最值问题专项训练 考点目录 递推法求概率 概率中的最值问题 考点一 递推法求概率 例1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 (1)证明：X为奇数． (2)求 (3)试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是定值，定值为3. 【分析】（1）初始诱变强度等级，每轮筛选变化或，即每轮的奇偶性改变一次，实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始，设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，，则或，从而得到 或，得到证明. （2）列出或，解得的值，求出． （3）列出方程组，通过计算得到，由得到，从而得到，从而得到结论. 【详解】（1）初始诱变强度等级，每轮筛选变化或， 即每轮的奇偶性改变一次， 实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始， 设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，， 则或， 则或，所以或， 因为为整数，所以为奇数． （2）由或，解得或， 所以 ． （3）当为奇数时，是定值，定值为3. 理由如下： 依题意可得， 即， 所以， 因为，所以， 所以，即，所以当为奇数时，是定值，定值为3. 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 【答案】(1) (2)分布列 1 2 3 (3)， 【分析】（1）计算从1号盒取出1红1白的组合数与总取法组合数的比值，即为所求事件概率. （2）先确定的所有可能取值，对每个取值分情况计算两步取球的概率乘积之和，整理得到分布列. （3）对于一般情形的，引入变量分别表示第号盒为3红1白、2红2白的概率，根据取放球规则建立概率递推关系，构造等比数列求解2红2白的概率，再结合期望定义与递推恒等式简化计算期望. 【详解】（1）设事件号盒子里有2个红球， 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取1，2，3， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数的分布列为 1 2 3 （3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且，化简得① 得， 而，则数列为等比数列，首项为，公比为，所以， 所以第号盒子有两个红球和两个白球的概率为． 又由② 由①②得 所以 又因为，所以 因此． 例3．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）一袋子中装有大小相同的2个黑球和1个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入1个异色的球．记第n次这样的操作后，袋中黑球的个数为2的概率为，黑球的个数为3的概率为，事件为“第n次取出的是黑球”． (1)求，； (2)已知当时，，证明：，并求； (3)求，． 【答案】(1)， (2)证明： ； (3)， 【分析】第1小问：第1次操作仅存在两种互斥的结果：取黑球后黑球数保持2，取红球后黑球数变为3，直接用古典概型计算对应概率即可. 第2小问：证明乘法公式使用数学归纳法，利用题目给出的两事件条件概率公式，从   的基础情况逐步推广到任意正整数   . 计算 时，先枚举前两次操作后所有可能的黑球数状态，再用全概率公式对不同状态下第三次取黑的概率加权求和，避免枚举所有8种取球序列的多余计算. 第3小问：黑球数始终为2的充要条件是前 次没有任何一次取到红球，直接累乘每次取黑的概率即可得到 的通项。 黑球数最终为3的充要条件是前 次恰好仅取到1次红球，对红球出现的所有位置分别计算路径概率，再利用等差乘等比数列的求和公式化简，即可得到  的闭式通项. 【详解】（1）第一次取出黑球的概率为，第一次操作后袋中黑球个数仍为2，故； 第一次取出红球的概率为，第一次操作后袋中黑球个数变为3，故； （2）证明略． 记为“第次取出的是红球”，则事件“第三次取出的是黑球”分为四类： 第一类“三次全部取出黑球”， 第二类“第一次取红球，第二次取黑球，第三次取黑球”， 第三类“第一次取黑球，第二次取红球，第三次取黑球”， 第四类“前两次全部取出红球，第三次取出黑球”， 即， 第一类“三次全部取出黑球”； 第二类“第一次取红球，第二次取黑球，第三次取黑球”； 第三类“第一次取黑球，第二次取红球，第三次取黑球”； 第四类“前两次全部取出红球，第三次取出黑球”； 所以 ； （3）由题意得，当时，，即， 累乘可得， 即，也符合， 所以． 由题意得，当时， 即， 令，则，， 两边同时除以，得， 即， 累加可得 ，即 也符合，所以． 变式1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下： ①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打； ②第一轮甲乙对打，丙丁对打； ③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打； ④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为. (1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望； (2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率； (3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据游戏规则分析的所有可能取值，结合第2轮游戏两种分组概率，算出每个概率值，即可求出数学期望； （2）构造递推，得出为等比数列，利用等比数列通项公式即可求得概率； （3）先推导出，再结合甲对阵不同对手的获胜概率，代入化简即可. 【详解】（1）第1轮甲乙对打，故第2轮甲乙不可能对打，则第2轮甲只能和丙或丁对打. 若第3轮甲乙对打，则甲乙在第2轮都胜或都负；故的所有可能取值为1，2， 第2轮甲丙对打，则甲和丙在第1轮都胜或都负，其概率为， 第3轮甲乙对打，则第2轮甲和丙打，乙和丁打，此时甲和乙同胜或同负；甲和丁打，乙和丙打，此时甲和乙同胜或同负；此时， 则，所以. （2）设在第轮游戏中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为， 在第轮游戏中，甲和乙对打，则第轮游戏中，甲丙对打，或者甲丁对打， 故，故， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）同理可知，故， 又，则，故， 所以在第轮游戏中，甲获胜的概率为. 变式2．（25-26高二下·重庆·期中）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.乒乓球比赛规则为：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.若单局比赛中，甲发球时甲获胜的概率为，乙发球时甲获胜的概率为，已知甲先发球，且各球胜负相互独立. (1)求前4球中甲得3分的概率； (2)求单局比赛中甲以获胜的概率： (3)不考虑比赛是否已提前结束，设打完n个球后甲比乙至少多2分的概率记作，乙比甲至少多2分的概率记作，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明：设表示打完个球后甲的得分减去乙的得分． 一组完整的4球中，甲发2球，乙发2球． 设这一组4球使增加的量为，则的可能取值及对应概率如下： 概率 由表可知，当时，均有． 把前球分成组，每组4球． 若某一种分组结果对应的得分差增加量依次为，则把每一组的增加量都改为相反数，得到另一种分组结果． 当时，由每组概率之间的关系可知，前一种分组结果的概率是后一种分组结果概率的2倍． 所以． 记，，则． 又第球由甲发球，甲赢该球的概率为，甲输该球的概率为． 因为只能取偶数，所以 于是 因为，所以，故． 【分析】（1）前4球的发球顺序为甲、甲、乙、乙，按甲输的1球属于甲发球还是乙发球分类计算． （2）甲以获胜，说明前12球甲赢10球，第13球甲获胜；前12球中甲、乙各发6球，按乙赢的2球所在发球方分类计算． （3）把每球结果转化为得分差的变化，先列出一组完整4球后得分差增加量的分布，再比较得分差为2和的概率关系，最后利用第球由甲发球建立等式． 【详解】（1）前4球中，甲发第1球和第2球，乙发第3球和第4球． 设表示甲在第球获胜的事件，则，． 前4球中甲得3分，等价于甲在4球中恰好赢3球、输1球． 若甲输的1球是甲发球，则概率为 若甲输的1球是乙发球，则概率为 所以前4球中甲得3分的概率为． （2）甲以获胜，说明比赛共打13球，且前12球甲赢10球、乙赢2球，第13球甲获胜．前12球中甲、乙各发6球，第13球由甲发球． 若乙赢的2球均为甲发球，则前12球甲得10分的概率为 若乙赢的2球均为乙发球，则前12球甲得10分的概率为 若乙赢的2球中，一球为甲发球，另一球为乙发球，则前12球甲得10分的概率为 所以前12球甲得10分的概率为 又第13球由甲发球，甲获胜的概率为，所以甲以获胜的概率为 （3）略． 变式3．（25-26高二下·河北沧州·期中）某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． (1)求居民第2天选择超市A购物的概率； (2)若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； (3)若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 【答案】(1) (2)分布列 X 0 1 2 3 P ，数学期望为 (3)，证明见解析 【详解】（1）记小区居民第天选择超市A，B分别为事件． 根据题意，， 则， 所以由全概率公式，得居民第2天选择超市A购物的概率为； （2）记第2天选择超市A购物的人数为X，X的可能取值为0，1，2，3，则由（1）得， 则，， ，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 故X的数学期望为； （3）当第n天选择超市A时，第天选择超市A的概率为， 当第n天选择超市B时，第天选择超市A的概率为， 所以．由此可得， 又，于是数列是首项为，公比为的等比数列． 因此，所以． 所以， ． 考点二 概率中的最值问题 例1．（25-26高三下·江西·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为7人和3人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 70 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 例2．（25-26高二下·河北衡水·期中）某工厂生产的一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品40件.质检员采用两种抽样方案： 方案一：从这批产品中随机抽取10件（不放回），检验其中一等品的件数； 方案二：从这批产品中随机抽取1件，记录是否为一等品后放回，重复10次，检验10次抽取中一等品的总件数. 记随机变量为方案一抽到的一等品件数，为方案二抽到的一等品件数. (1)求（用组合数公式表示即可，不用化简）； (2)比较和的大小，并求的数学期望； (3)设函数，，求的最大值（用组合数公式表示即可，不用化简），并指出此时的值. 【答案】(1) (2)，6 (3)当时，取得最大值，最大值为. 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解； （2）结合超几何分布概率求概率，再利用作商法比较大小；根据二项分布的数学期望公式计算期望； （3）建立不等式且，求解，进而得到的最大值表达式. 【详解】（1）由题可知恰好抽到6件一等品的概率. （2）由题可知，，，可得， 所以. 由题可知方案二中每次抽到一等品的概率， 故服从二项分布， 数学期望. （3）设，考虑比值：， ， 假设为最大值，则有，解得， 即，又，则， 故当时，取得最大值，最大值为. 例3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)； (2)1013． 【分析】(1)求所有五位二进制数构成的集合中，0出现的次数大于2的概率，计算样本点，通过古典概型概率公式计算概率； (2)因为除第一个位置，其余每个位置出现的结果只有0或1两种可能，并且每一个结果出现都是独立的且概率为，故随机变量服从二项分布，可利用二项分布的概率公式计算． 【详解】（1）5位二进制数形如，由于每个有0，1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为个．其中满足的二进制数有5个， 分别为，所以． （2）2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数服从二项分布，即， 所以，所以， 记，则最大等价于最大： ， 所以，此时单调递增；，此时单调递减， 所以为最大值．综上，当取得最大值时求的值为1013． 变式1．（2026·海南海口·模拟预测）某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． (1)求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望； (2)在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为． （i）求（）的值； （ii）求的最大值． 【答案】(1) 0 1 2 ． (2)（i）；（ii）． 【分析】(1)求出对应取值的概率，列出分布列，再用数学期望公式求解； (2) （i）求出三者的关系式，从而解出比值；（ii）构造等比数列，求出的表达式，再求出其最大值. 【详解】（1）由题意得，的所有可能取值为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （2）（i）甲达到累积分数m的事件，可根据最后一次得分的路径分为两类：1. 经累积m−1分后，再答对一道得1分的题； 2. 经累积m−2分后，再答对一道得2分的题.因此，根据概率加法和乘法原理， P(m)等于所有达到m−1分路径的概率之和乘以，加上所有达到m−2分路径的概率之和乘以， 所以时，， 所以， 即， 所以． （ii）由题意得，，， 所以由（i）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以① 又由， 得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以②． ②-①可得， 所以． 由于， 当时，， 令，则单调递减， 所以 ，所以时，， 又， 所以当时，取得最大值． 变式2．（2026·河南郑州·二模）人工智能（AI）是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，使人类社会的发展日新月异．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．已知准确率在内的试卷数为10． (1)求图中的值，并求出试卷总数； (2)现有甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． ①若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； ②当时， （i）若比赛最多进行5局，记比赛结束时比赛局数为，求数学期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率（用，表示）． 【答案】(1)；. (2)①；②（i）；（ii）. 【分析】（1）利用频率等于面积，频数等于频率乘以总数求解，利用所有矩形的频率和为列出的等式，计算出的值. （2）①设甲获胜为事件，乙获胜为事件，两人平局为事件，记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件，则事件包括事件：，利用独立事件的乘法和互斥事件的加法求出；②（i）由得到每局比赛结果仅有 “甲获胜” 和 “乙获胜”，即 ，由题意得的所有可能取值为：，分别求出，，，列出的分布列.由利用基本不等式求出的范围，利用数学期望公式求出，利用二次函数的图像和性质求出的最大值. （ii）记 “甲同学赢得比赛” 为事件，前两局比赛结果可能有：、、、，分别求出其概率，当甲、乙两名同学得分总数相同时，甲同学赢得比赛的概率与比赛一开始甲同学赢得比赛的概率相同，利用全概率公式求出 【详解】（1）因为准确率在内的频率除以组距为，该组试卷数为， 设试卷总数为，， 则， ， ， 则，试卷总数为. （2）①设甲获胜为事件，则，乙获胜为事件，则， 两人平局为事件，则， 记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件， 则事件包括事件：， 则， ； （i）因为，所以每局比赛结果仅有 “甲获胜” 和 “乙获胜”，即 ， 由题意得的所有可能取值为：， ， ， 所以的分布列为： 2 4 5 因为 ，所以 ，等号成立时，，即 . 数学期望化简推导过程如下： ， 当 时，取得最大值： ， 故的最大值为：. （ii）记 “甲同学赢得比赛” 为事件， 前两局比赛结果可能有：、、、， 其中：表示 “甲同学赢得比赛”，概率为 ， 表示 “乙同学赢得比赛”，概率为 ， 、 表示 “甲、乙两名同学各得 1 分”，概率均为 ， 当甲、乙两名同学得分总数相同时， 甲同学赢得比赛的概率与比赛一开始甲同学赢得比赛的概率相同， 根据全概率公式列方程推导： , 则，即， 解得：，代入恒等式， 得到. 变式3．（2026·陕西渭南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为： ； (3)①；②当时，取得最大值. 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （3）①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：递推法求概率、概率中的最值问题专项训练 期末培优：递推法求概率、概率中的最值问题专项训练 考点目录 递推法求概率 概率中的最值问题 考点一 递推法求概率 例1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 (1)证明：X为奇数． (2)求 (3)试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望． 例3．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）一袋子中装有大小相同的2个黑球和1个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入1个异色的球．记第n次这样的操作后，袋中黑球的个数为2的概率为，黑球的个数为3的概率为，事件为“第n次取出的是黑球”． (1)求，； (2)已知当时，，证明：，并求； (3)求，． 变式1．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下： ①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打； ②第一轮甲乙对打，丙丁对打； ③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打； ④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为. (1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望； (2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率； (3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率. 变式2．（25-26高二下·重庆·期中）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.乒乓球比赛规则为：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.若单局比赛中，甲发球时甲获胜的概率为，乙发球时甲获胜的概率为，已知甲先发球，且各球胜负相互独立. (1)求前4球中甲得3分的概率； (2)求单局比赛中甲以获胜的概率： (3)不考虑比赛是否已提前结束，设打完n个球后甲比乙至少多2分的概率记作，乙比甲至少多2分的概率记作，证明： 变式3．（25-26高二下·河北沧州·期中）某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． (1)求居民第2天选择超市A购物的概率； (2)若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； (3)若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 考点二 概率中的最值问题 例1．（25-26高三下·江西·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 例2．（25-26高二下·河北衡水·期中）某工厂生产的一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品40件.质检员采用两种抽样方案： 方案一：从这批产品中随机抽取10件（不放回），检验其中一等品的件数； 方案二：从这批产品中随机抽取1件，记录是否为一等品后放回，重复10次，检验10次抽取中一等品的总件数. 记随机变量为方案一抽到的一等品件数，为方案二抽到的一等品件数. (1)求（用组合数公式表示即可，不用化简）； (2)比较和的大小，并求的数学期望； (3)设函数，，求的最大值（用组合数公式表示即可，不用化简），并指出此时的值. 例3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 变式1．（2026·海南海口·模拟预测）某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． (1)求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望； (2)在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为． （i）求（）的值； （ii）求的最大值． 变式2．（2026·河南郑州·二模）人工智能（AI）是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，使人类社会的发展日新月异．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．已知准确率在内的试卷数为10． (1)求图中的值，并求出试卷总数； (2)现有甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． ①若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； ②当时， （i）若比赛最多进行5局，记比赛结束时比赛局数为，求数学期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲同学赢得比赛”的概率（用，表示）． 变式3．（2026·陕西渭南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $