河南洛阳市河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 覆盖选择性必修全册内容，以宋文化研学（19题）等真实情境承载统计概率应用，通过数列（1题）、函数导数（18题）等梯度设计，落实数学思维与语言表达素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列、函数单调区间、线性回归|基础概念辨析，如第3题考查回归直线性质| |多选题|3/15|二项分布、立体几何、数列不等式|多维度能力考查，如第11题结合数列求和与恒成立| |填空题|3/15|概率、椭圆光学性质、函数零点|文化渗透与创新，如第13题关联阿波罗尼奥斯椭圆性质| |解答题|5/77|等差等比数列、立体几何、双曲线、函数导数、统计概率|综合应用突出，如19题以开封研学为背景，融合概率分布与数据分析；18题导数证明体现逻辑推理深度|

河科大附中高二（下)月考数学试卷20260602 茶 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 好。，，惠以海行 的。 1.数列a]清足a4=2,at1=1-neN门，则等于() A克 B.-1 C.2 D 安 菌数阅x二3)的单调递增区间是（作录”点民”哀，华或代 界（二∞+）联意03） C(-,3)D.a+∞)宝 容著，房皆“染浪以歌 3.已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为y= 映官酸音 2.8x+:口发则力能被指滚特9表”学家》器将人茶 黑送2闻装 波3酱4大 岗5￥ 氵就联，头培第望 y 4 7 8 13 淳 多浮容科·式药部人 我经骏间归直线必过点35,7.5)后站Ba兰1.8心2心家7攀客潜采到 C.当x=6时，预测值y=14 D.当x2时，祥本点对应的残差为2人智速 淋琴浴窗藏误装 4.已知等差数列a,]的公差d<0,a5y=35,4+ag=12,记该数列的前n项和为5n,则3的最大值为 A.66 D198 强立 洛总 5.己知某班级中，喜欢文学阅读的学生点，75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%若从这个 班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为 蕊常茶，热高液 (） 路行汤工德1雄巡袋中梁 A.22.5% B.30% C.40% D.75% 6.已知圆C1:(x-2)2+y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+y-4)2=9,.M,N分别是圆C1,C2上的动点， P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为) A.V17-1 B.5V2-4 C.6-2W2 D.√17 7.已知点P是双曲线号-苦=1上非顶点的动点，F,P2为双曲线的左、右焦点，0为坐标原点，点M满足 丽：（焉-隔）-0，且-网=0，则O网-() A.4 B.23 c D.1 第1货共8页 8.设a>0,b>0,2是4与种的等比中项，则2的最大值为()。 1 A.0 B号 c D. 罐的猫题成事学-(-条器 联丽》 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求。) 9.下列结论正确的是() 米就实新猫学汉营爱总沈酸之年潮会器·到 A.随机变量X服从二项分布B(3,),Y=2X+1,则DY)=3 江器小： B相关系数的值越个，两个变量之间的线性相关性鹅弱纳长，适 C.在线性回归分析中，若R2值越小则模型的拟合效果越好 沉么澳發降城骑房 D.随机变量X服从正态分布N(5,,且P2<X<5)=则P)0:r÷:÷ 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2, PA⊥平面ABCD,E为PB中点，则() AD亟=A丽-4而+证 B,异面直线DE与PC所成角的余弦值为？ 适这。穴海旺的溜，一那梦普心 C.DE=N5 高阳8益 D,点E到平面PGD的距离为号 :是.酒球 年点角政：海学袋群 1 11.已知数列[a}满足2a1+22a2++2an=n(m∈N+bn=og4nio82n Sn为数列{bn的前n项 和.若对任意实数，都有Sm<成立.则实数的可能取值为) A:1 B.2 C.3 D.4 袋凉 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为04和0.6，乘求车迟到的概率为0,2乘飞机迟到的 概率为0.5，则这个人迟到的概率为· 动素 13.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质从椭圆的兰个焦点射出的光： 线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点， 设椭圆M:兰+发=10a>b>0)的左、右焦点分别为R4,R2,若从M佑焦点P,发出的 光线经过M上的点A和点B反射后，满足AB上AD,且cos∠ABC=},则M的离心率 〔软就小示鞋 <ax的+太.月满霸 号第2项共8页 {代大经雅费撰诞怀等指4经<年，定 4已加肉-2高如9积有两个零点则F的限果专 是一 天安：换4令 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 名深中下洲济卿“心架食移滋 15(本小题13分) 已知等差数列和，与公比为正数的等比数列地，满起6,2a,2.d十6，警10,4g十7.京关讲 培送站搜人茶个改 澳熟冷修波小条中写州表浮心 (1)求数列{a小，{b,的通项公式： (2)若cn=(an+1)(b.+1:求数c的前项和S,5箭：黉.在 g生生条3年点其滋流：9头的游，强0 润、表形5语，品.号 6.(体外题15分) 式进象兵牌胖英9 如图，四棱锥P,-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD, PD=4,E,F,G分别为PC,PD,BC的中点. (I)求证：FG/平面PAB; (2)求直线FG与平面PBC所成角的正弦值， 的灵实产。产子中零石 {比细的藏缺量.算骏意过成套露 名 及滋 , 17.(本小题15分) 命2#登食快游是 屁知A是双曲线=芳=1上的两点点P(12)是线段AB的中点，摩平人。 (1)求直线AB的方程： 兴泽挺线月名云非的家器 (2)若线段AB的垂直平分线与E相交年℃，张D两点证明袋丑粉D,四点共圆零普系茶奈中，无 凉家我游嗣深海益说盛足，最排没阁 能买，鸡透司热咨联族浪杂管<江一著+安篮解的 进斋碳 三示品；点，《点点家游速京药镇辟流筛峰签验贵 18.(本小题17分) 已知函数f=x2-(a+1)x+anx,a>0. 莲2第3页共8页 @国若a=1,求曲越年x处的切线程：“离李擐大裤酥 (2)求函数y=fx)的单调增区间： 小藏淡藤溶燕安，安意露分潮致泽：溪堂 (3)若f(x)存在极大值点x,求证：f(x)<0. 「月业阀张市95心6急 19.(本小题17分) 开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达168年，是当时世界上最大的都：猜明上河图》描绘的正是 当年汴河两岸的繁华盛景如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国 寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力为深化游客对宋代 文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目某旅行社组织了一个0人的“宋文化研学团”， 其中12人购买了景点联票（深度体验游客），8人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体 验，旅行社准备从20人中随机抽取3人，赠送珍贵的伏宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋 蹴鞠体验活动、 (①求抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客”的概率： 四如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为0.6，？且是否参与相互独立设X三“抽到的3人中实际参加蹴 鞠体验的游客人数”，求X的分布列及数学期望(X): 、火雠山 (四该旅行社对某天1000位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 老聚 憬点编号 四 这 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 829 653 499 347 学车等，字华色 2 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用k=1表示第个景点得到游客喜欢，用 k=0表示第k个景点没有得到游客喜欢(k=1,2,3,4).结合上表数据，写出方差D51,D52,D53,D54的大 小关系.（结论不要求证明） ,与领心。…3…各动层炉 新坐年容浮代 …台 5飞，么 :飞 子品2年安动资代心衣治a第上令X实减 ；r料e 飞旅 第顷；共项 河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测 数学试卷参考答案 1．【答案】 【详解】解：因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 所以数列 是周期数列，周期为 ， 所以 ． 故选： A ． 2．【答案】C 【详解】因为，令，得，所以的单调递增区间是． 故选C． 3．【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 4．【答案】A 【分析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解. 【详解】因为等差数列的公差, 所以，则 ， 所以 ， 由 ，得 ， 所以  或12时，该数列的前项和取得最大值， 最大值为， 故选：A 5．【答案】C 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 6．【答案】B 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    7．【答案】B 【详解】 不妨设点在双曲线右支上， 点在的平分线上，由知，， 延长的延长线于点，则，根据双曲线的定义，， 点$O,M$分别为$F_1F_2,F_1N$的中点，，故选. 8．【答案】B 【详解】∵2是与的等比中项，∴，∴． ∵，，当且仅当，时取等号， ∴． 故选B． 9．【答案】AD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误； 对于C，在线性回归分析中，若 值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 10．【答案】ABD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选ABD. 11．【答案】ABC 【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的. 【详解】① ② ②①得， ，当时，，当时，，满足上式， 故， ， 故， ， 故. 故选：ABC. 12．【答案】/ 【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为， 则，， 因此， 所以这个人迟到的概率为0.38. 13．【答案】/ 【详解】由题意，可作图如下： 则，， 即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 14．【答案】 【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 15．【答案】(1) (2) 【详解】(1)由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 则 解得，所以数列的通项公式，的通项公式为； (2)， 则数列的前项和 设， 则， 则 所以。所以 16．【答案】（1）见详解 （2）． 【详解】（1）因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过作差法求解直线的斜率，然后求解直线方程； （2）首先求解出线段中垂线的方程为：，然后求解中点，最后证明验证即可证明； 【详解】（1）依题意，直线的斜率必定存在，设其斜率为，，， 所以，，所以， 又，，所以， 故直线的方程为，即，经检验，符合题意， 所以直线的方程为. （2） 证明：由得， 解得或，所以，. 线段中垂线的方程为：， 设， 由得， 所以， 故的中点，所以， ， 所以，，，在以为圆心，为半径的圆上， 所以，，，四点共圆. 18．【答案】（1） （2）见详解 （3）见详解 【详解】（1）若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； （2），定义域为， ，        当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； （3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为；             当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，；        当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 19．【答案】（1） （2）分布列见详解， （3） 【详解】（1）记事件“抽到的人中恰有人为“深度体验游客””， 由古典概型的概率公式可得. （2）由题意可知，，，， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. （3）设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布， 则，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 由表格中的数据可知，，，， 因为， 即，故. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南科技大学附属高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 启用时间：2026.6.2 7：50~9：50 考察范围：人教A版 选择性必修一、选择性必修二、选择性必修三 一、单选题：本题共8小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列 满足 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 4．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．66 B．72 C．132 D．198 5．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．45% 6．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点是双曲线 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 8．设，，2是与的等比中项，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列结论正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 11．已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___． 13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 14．已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分） 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，。 （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和。 16．（本小题15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题15分）已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点. (1)求直线的方程； (2)若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆. 18．（本小题17分）已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 19．（本小题17分）开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票（深度体验游客），人只购买了部分景点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动. （1）求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率； （2）如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立.设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望. （3）该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据： 景点编号 一 二 三 四 景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园 游览人数（人） 假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢.结合上表数据，写出方差、、、的大小关系.（结论不要求证明） 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $