精品解析：河南南阳市六校2025-2026学年高二下学期阶段性素养评价（二）数学试题

2026年春期阶段性素养评价（二） 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项性质，先由求得，再结合的值求出. 【详解】设等差数列的公差为，. 根据等差数列的性质得：，因此，解得. 又由，且，得，解得. 2. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导函数，解不等式的解集区间即为所求的单调增区间. 【详解】函数的定义域为，， 所以即为解得或. 结合定义域可知解集为， 所以单调增区间为和. 4. 设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】已知，而， 充分性：若递增，则，，故递增，即充分性成立； 必要性：取数列的通项为，则，显然为递增数列，但为递减数列，故必要性不成立； “为递增数列”是“为递增数列”的充分非必要条件． 5. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） A. 变量和呈负相关 B. 当时，一定等于 C. D. 该经验回归直线必过点 【答案】B 【解析】 【分析】依据经验回归方程的性质、正负相关判断规则、样本中心点的性质逐一判断各选项正误 【详解】对A：经验回归方程的斜率为，故变量和呈负相关，A正确； 对B：经验回归方程的计算结果是变量的估计值，而非确定值， 当时， ， 仅说明的估计值为，并非一定等于，故B错误； 对C：计算样本均值，经验回归直线必过样本中心点， 代入方程得，又，解得，故C正确； 对D：由上述分析知，，故经验回归直线必过点，D正确. 6. 若数列的通项公式分别为，且，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. [-1,1) C. [-2,1) D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简两个数列通项，再根据不等式建立关系，最后对n进行奇偶讨论. 【详解】由题意可得，同理， 因为，所以， 当为偶数时，，令， 为任何正偶数时，都成立，则， 越大，就越小，单调递增 则，则； 当为奇数时，，即，令， 为任何正奇数时，都成立，越大，就越小，单调递增， 而，故，所以； 综上所述. 7. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【详解】根据可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，当时取最大值为，所以， 所以的取值范围是. 8. 已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（ ） A. B. -1 C. -e D. 【答案】A 【解析】 【分析】转换，函数表达式，进而得到，之间的关系，即可求解. 【详解】因为，故设， 所以， 因此如果，则， 而对于，，因此在定义域上单调递增， 则应有，且，故， 设，所以， 因此当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以， 则的最大值为 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 不等式的解集为 C. 函数在单调递增，在单调递减 D. 若恒成立，则实数 【答案】BD 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再求的导函数，根据导函数的正负判断的单调性，进而求其最值，判断A选项，先求，代入的表达式得到的解析式，再解不等式，判断B选项，求的导函数，根据导函数的正负判断的单调性，判断C选项，将恒成立转化为在定义域内恒成立，构造新函数​，求的最大值，即可得到的取值范围，判断D选项. 【详解】因为函数， 所以， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则函数的最小值为，故A错误； 因为，所以不等式的解集为，故B正确； 因为，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故C错误； 恒成立，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减； 则，则，故D正确. 10. 设数列的前n项和为且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 当时，取最大值 D. 设，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据得出数列是等差数列即可判断A；求出，依据等差数列的定义判断；C根据二次函数的最值判断；D计算，解不等式即可. 【详解】因为，所以， 则， 两式作差得， 即，则， 因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故A正确； 因为， 所以，则， 所以数列为等差数列，故B正确； 因为，对称轴为，故当时，取最大值，故C错误； 得，则，故D正确. 11. 设定义在上的函数满足，且当时，.已知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数函数，利用定义可知，为奇函数，根据导数可知在上单调递减.结合已知可得，利用导数可知，函数在时单调递减，根据函数在有一个零点求出，根据四个选项可得答案. 【详解】令函数，因为， ， 为奇函数， 当时，， 在上单调递减， 在上单调递减. 存在， ，，即， ；， 为函数的一个零点； 当时，， 函数在时单调递减， 由选项知，取， 又， 要使在时有一个零点， 只需使， 解得， 的取值范围为， 故选：BCD. 【点睛】本意考查了由定义判断函数的奇偶性，由导数判断函数的单调性，考查了函数单调性的应用，考查了由函数有零点求参数的取值范围，属于中档题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先求导，存在，使得. 【详解】由题意可得， 即，使得，解得，因为， 因此. 13. 设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么_______ 【答案】## 【解析】 【详解】把按下标公差3分为三组，每组项， ， 则， 已知数列是由正数组成的等比数列，公比，则, ， ， ，数列是由正数组成的等比数列，故， ． 14. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_______ 【答案】 【解析】 【分析】令，求导判定其单调性，结合，由利用单调性即可得解. 【详解】令，则， 因为，所以，故， 即函数在上单调递增， ， 则,即，由函数的单调性可得， 故的解集为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记为等比数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）判断是否成等差数列，并给出证明. 【答案】（1）， （2）成等差数列，理由如下：  由 (1) 知 ， ， 而 ， 因为 ，则 ， 所以， 因此  成等差数列. 【解析】 【分析】（1）由等比数列的性质，将已知条件转化为首项与公比的关系，结合前两项和求得公比，进而写出通项公式； （2）利用等比数列求和公式表示出各项和，通过代数变形验证相邻三项满足等差中项关系. 【小问1详解】 已知数列为等比数列，所以， 因为，所以，解得或， 因为，所以，，所以，. 【小问2详解】 略 16. 设函数 （1）判断的单调性并求最值； （2）证明： 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； 函数的最小值为，函数无最大值； （2）要证，由(1)知， 所以只需证， 即. 令，, 则， 令，， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因此，即， 所以成立，等号当且仅当且时取得，证毕. 【解析】 【分析】（1）求导后令导数为零，根据导数符号确定单调区间，从而得到最小值； （2）利用第一问的最小值将原不等式转化为关于  的不等式，构造函数并求导，通过分析单调性证明其非负. 【小问1详解】 已知函数， 所以. 令，得，即， 当时，，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以，函数无最大值. 【小问2详解】 略 17. 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数． 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据： （1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ② 参考数据：，，． 【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元. 【解析】 【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得； （2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程； （ii）把代入（i）中的回归方程可得值． 【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性． 解：（1）， ， 则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好 （2）（i）先建立关于的线性回归方程. 由，得，即． 由于， 所以关于的线性回归方程为， 所以，则 （ii）下一年销售额需达到90亿元，即， 代入得，， 又，所以， 所以， 所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性 18. 已知数列满足，且 （1）求证：数列是等差数列，并求; （2）令，求数列的前n项和 【答案】（1）因，易得， 则， 即，则是以为首项，公差为的等差数列， 则 ; （2）. 【解析】 【分析】（1）可将化为，据此可完成证明并求出； （2）由（1）结合裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）, 则 . 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明： ，有. 【答案】（1）； （2）在上单调递增； （3）相当于证明，令，.则，因，由（2）可得，从而在上单调递增，则当，t取固定正值时，，即，命题得证. 【解析】 【分析】（1）由题可得切线斜率，然后由点斜法可得答案； （2）利用导数知识可判断符号，即可判断单调性； （3）通过研究函数令，单调性可证明不等式. 【小问1详解】 ，则,从而切线方程为； 【小问2详解】 由（1），，从而在上单调递增； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期阶段性素养评价（二） 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 4. 设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） A. 变量和呈负相关 B. 当时，一定等于 C. D. 该经验回归直线必过点 6. 若数列的通项公式分别为，且，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. [-1,1) C. [-2,1) D. 7. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（ ） A. B. -1 C. -e D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 不等式的解集为 C. 函数在单调递增，在单调递减 D. 若恒成立，则实数 10. 设数列的前n项和为且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 当时，取最大值 D. 设，则 11. 设定义在上的函数满足，且当时，.已知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 13. 设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么_______ 14. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记为等比数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）判断是否成等差数列，并给出证明. 16. 设函数 （1）判断的单调性并求最值； （2）证明： 17. 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数． 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据： （1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ② 参考数据：，，． 18. 已知数列满足，且 （1）求证：数列是等差数列，并求; （2）令，求数列的前n项和 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明： ，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $