2026年山东济宁学院附属中学初四年级下学期中考考前模拟考试数学试卷

**基本信息** 2026年济宁学院附中初四数学三模卷，以春晚《武BOT》、五育并举等真实情境为载体，通过基础-提升-创新梯度设计，全面考查数学抽象、推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、图形对称、三视图等|基础概念与几何直观结合| |填空题|5/15|函数、数阵规律、四边形综合|抽象能力与空间观念考查| |解答题|7/75|统计分析（机器人分拣）、解三角形（路灯维修）、二次函数、几何综合|真实情境中渗透推理能力与应用意识|

2026年济宁学院附属中学初四年级下学期数学 第三次模拟考试 数学试卷 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．在-1,2，π，9这四个实数中无理数的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2．以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3．将两本相同的课本按如图所示的方式进行叠放，得到一个几何体，则它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 4．据国家文物局统计，2026年春节假期全国博物馆接待观众8951.12万人次，同比增长27.6%，创历史新高．数据“8951.12万”用科学记数法表示为 ( ) A. D. 5．下列运算正确的是 ( ) A.6x-2x=4 B. C. D. 6．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三点的圆以AB为直径且与网格线交于点D，则sin∠ADC的值为 ( ) A. B. C. D. 7．某工厂计划生产1200个零件，但在实际生产时，···，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“···”表示的条件应是 ( ) A．每天比原计划多生产3个，结果延期12天完成 B．每天比原计划少生产3个，结果延期12天完成 C．每天比原计划多生产3个，结果提前12天完成 D 每天比原计划少生产3个，结果提前12天完成 8．如图2，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径r为3cm，高h为4cm的圆锥体，那么这个扇形的面积是 ( ) A.15π B.24π C.30π D.36π 第8题图 第9题图 9．如图，在RtAABC中， , AB=4，将ΔABC绕点C逆时针旋转得到，点A,B的对应点分别为、A', ，若点B＇恰好落在AB中点，则线段AA＇的长为 ( ) A.4 B. C.3 D. 10．如图4，在RtΔACB中， AC=2,，点D是斜边AB的中点，点E为边BC上任意一点，连接ED并延长至点F，使得DF=DE,，连接AE,AF，BF,CF,AE与CF交于点P，则下列结论一定正确的是 ( ) A.四边形AEBF是菱形 B.线段DE的最小值是 C.当AE平分＜BAC时，可得AELCF D.BE⋅PE=CE⋅AP 2026年济宁学院附属中学初四年级下学期数学 第三次模拟考试中 第12题图 1 第15题图 14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为 . 15．如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AC平分＜DAB，AC=BC,AB+AD=(a 为常数），记AD长为x，长为y,y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当y=12时，四边形ABCD的面积为 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） （2）先化简，再求值： ，在-1,0,1,2中选一个合适的值代入求值 数学试卷 第II卷 （非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在实数范围内有意义，x的取值范围是 12．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知.则反比例函数解析式为 13．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第22行从左至右的第5个数是　 　 ． 17.(8分）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明.0 （1）将ΔABC纸片沿过点A的直线折叠，使点C恰好落在边AB上的点N处，在图中作出点N以及折痕与BC边的交点D. （2）若AC=6,BC=10,，求BD的长. 18（9分）．今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 14和16 b 15 1.4 B型号 a 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 19（8分）．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC＝3，BC＝6时，求⊙O的半径． 20（8分）．如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m． （1）求下折臂DE的长； （2）求路灯AB的高． （结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93， 21（10分）．为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买2个足球和3个排球共需310元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？ 22（12分）．已知抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1），求此抛物线的表达式； （2）已知点A（x1，y1），B（3，y2）在（1）中的抛物线上，若对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2，求t的取值范围； （3）若对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11，此时抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 23（12分）．综合与实践： （1）【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，点E是对角线AC上一动点，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF，AF．则∠BAF的度数为　 　 ；线段CE与AF的数量关系为　 　 ． （2）【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，且CE＞AE，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接BF，AF．当CE＝BC＝2时，求AF的长． （3）【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，∠BCA＝30°，E是对角线AC上一动点，连接BE，以BE为边在BE的右边作Rt△BEF，且∠BEF＝90°，∠BFE＝30°，当点F到AC的距离为时，求出AE的长． 本次测试全部结束 初四全体数学老师祝愿同学们 所有演算皆有圆满答案，中考顺利上岸！ 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D C B A C A A D 11. x≧-4且x≠3 12. 13. 236 14. 0 15. 16. （1）-1 （2） 17. 画图略。BD=5 18．今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 14和16 b 15 1.4 B型号 a 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中a＝　20　 ，b＝　15　 ． （2）若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【解答】解：（1）由所给表格可知， B型机器人每天分拣快递数量的众数为20， 所以a＝20． 由所给条形统计图可知， A型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为： 13、14、14、14、15、15、16、16、16、17， 所以A型机器人分拣快递数量的中位数是＝15， 所以b＝15． 故答案为：20，15； （2）令2台A型号智能机器人为A1，A2，2台B型号智能机器人为B1，B2． 画树状图如图所示， 由树状图可知， 共有12种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有4种， 所以P（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）＝＝． （3）建议如下： 因为B型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于A型号智能机器人， 所以购买B型号智能机器人（答案不唯一）． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC＝3，BC＝6时，求⊙O的半径． 【解答】证明：（1）过点O作OF⊥BC，垂足为F，连接OD， ∵AC是圆的切线， ∴OD⊥AC， 又∵OC为∠ACB的平分线， ∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切； （2）S△ABC＝S△AOC+S△BOC，即AC×BC＝AC×OD+BC×OF， ∵OF＝OD＝r， ∴r（AC+BC）＝18， 解得：r＝2． 即⊙O的半径为2． 20．如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m． （1）求下折臂DE的长； （2）求路灯AB的高． （结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93， 【解答】解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H， ∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°， ∴EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3， ∵∠CDE＝135°， ∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°． ∴在Rt△EHD中，， 答：下折臂DE的长约为4.2m． （2）过点E作EK⊥AB，垂足为K． ∵EK∥HD， ∴∠KED＝∠EDH＝45°． ∵∠AED＝88°， ∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°， ∵GC＝HD＝3，BC＝2， ∴BG＝5， 由题意可得四边形EGBK是矩形， ∴EK＝5，KB＝4.5， 在Rt△AEK中，， ∴AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65． ∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）． 答：路灯AB的高约为9.2m． 21．为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买2个足球和3个排球共需310元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？ 【解答】解：（1）设足球的单价是a元，排球的单价是b元． 根据题意列二元一次方程组得，， 解得． ∴足球的单价是50元，排球的单价是70元． （2）设购买足球x个，则购买排球（30﹣x）个， 根据题意列一元一次不等式得，， 整理得，x≤15， 解得x≤10， 设所需费用为y元，则y＝0.9×50x+0.8×70×（30﹣x）＝﹣11x+1680， ∵﹣11＜0， ∵y随x的增大而减小， ∴当x＝10时，y的值最小， 30﹣10＝20（个）． ∴购买足球10个，排球20个所需费用最少． 22．已知抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1），求此抛物线的表达式； （2）已知点A（x1，y1），B（3，y2）在（1）中的抛物线上，若对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2，求t的取值范围； （3）若对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11，此时抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n与直线y＝4交于M，N两点，求MN的长． 【解答】解：（1）∵y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）．和（0，﹣1）， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1； （2）抛物线y＝x2﹣1的对称轴为x＝0， B（3，y2）关于对称轴的对称点B'（﹣3，y2）， ∵对于t﹣1＜x1＜3t+1，都有y1＞y2， ∴由图象性质得3t+1≤﹣3或t﹣1≥3或t一1＜3t十1， ∴t≥4； （3）∵抛物线y＝x2+（4m﹣4）x+n（m，n为常数）过点（2，3）， ∴4+2（4m﹣4）+n＝3， ∴n＝7﹣8m， ∵对于任意实数x，都有x2+（4m﹣4）x+n≥﹣4x+11， ∴x2+4mx﹣4﹣8m≥0对任意实数x都成立， ∴Δ＝16m2﹣4（﹣4﹣8m）≤0， （m+1）2≤0， ∴m＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣8x+15， 联立抛物线y＝x2﹣8x+15与直线y＝4， 得x2﹣8x+15＝4， ∴x＝4± ∴交点M，N的横坐标分别为4+，4﹣． ∴MN＝4+﹣（4﹣）＝2． 23．综合与实践： （1）【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，点E是对角线AC上一动点，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF，AF．则∠BAF的度数为　60°　 ；线段CE与AF的数量关系为CE＝AF ． （2）【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，且CE＞AE，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接BF，AF．当CE＝BC＝2时，求AF的长． （3）【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，∠BCA＝30°，E是对角线AC上一动点，连接BE，以BE为边在BE的右边作Rt△BEF，且∠BEF＝90°，∠BFE＝30°，当点F到AC的距离为时，求出AE的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°， ∴∠BAD＝∠BCD＝120°，， ∴∠BAF＝180°﹣∠BAD＝60°，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵将BE绕点E顺时针旋转60°得到EF， ∴BE＝EF，∠BEF＝60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴∠EBF＝60°＝∠ABC，BE＝BF， ∴∠ABF＝∠CBE， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴CE＝AF， 故答案为：60°，CE＝AF； （2）如图2，四边形ABCD是正方形，AC是对角线，过B作BG⊥AC于点G， ∴∠BAG＝45°，即△BAG是等腰直角三角形， ∴，∠ABG＝45°， ∵将BE绕点E顺时针旋转90°得到EF， ∴BE＝EF，∠BEF＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴，∠EBF＝45°， ∴，∠EBG＝∠FBA＝45°﹣∠ABE， ∴△BEG∽△BFA， ∴， 在Rt△BGC中，， ∴， ∴； （3）在Rt△BEF中，∠BFE＝30°，则∠EBF＝60°， ∴， ∵∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°， 过B作BL⊥AC于L，过F作FK⊥AC于K，则， 在Rt△ABL中，AL＝ABcos60°＝2， ①当F在AC上方时，如图3， ∵∠BEL+∠FEK＝90°， ∠BEL+∠EBL＝90°， ∴∠FEK＝∠EBL， 又∵∠FKE＝∠BLE＝90°， ∴△FEK∽△EBL， ∴， ∴， ∴； ②当F在AC下方时，如图4， 同理， ∴； 综上所述，AE的长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/6 9:35:28；用户：邱海涛；邮箱：15069765492；学号：32364592 18. 学科网（北京）股份有限公司 $