山东省聊城市2025-2026学年初中学业水平考试模拟试题 数学

数学参考答案 一、选择题：（每题3分，共30分） 1.D2.C3.D4.C5.B6.A7.B8.D9.A10.A 二、填空题：（每题3分，共15分） 11.x2-1且x≠312.513.-2≤x<414.V2+615.（22 三、解答题（共75分） 16.(共8分) (1)原式=5x2-8xy-4x2-2xy+y2 =5x2-8y-4x2+8y-4y2=x2-4y22分 当x+2y=0时，x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=04分 (2) x-y=2,① 2x+3y=-1.② ①×3，得3x-3y=6,③ ③+②，得5x=5,解得x=1, 把x=1代入①，得y=-1, x=1, 方程组的解为 4分 y=-1. 17.(8分)解析：(1)调查的学生人数为：30÷30%=100（人）， :D的学生人数为：100×25%=25（人）， .A的人数为：100-10-20-25-30=15（人）， 将条形统计图补充完整如下： 人数 50- 40 30 30 20 20 10 B D E 课程1分 “手工制作”对应的扇形圆心角度数为360°× 20=72°；2分 100 (2)1800×30%=540(人)， 答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；4分 (3)画树状图如下： 开始 B D 个 个N 个N C D E C D E C D E 共有9种等可能的结果，其中两位同学选择相同课程的结果有2种，即CC、DD, ·两位同学选择相同课程的概率为？ 8分 18.(共10分) 解析：(1)设该款迷你无人机的月平均增长率为x, 由题意得1125(1+x)=1620, 解得x=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去) 答：该款迷你无人机的月平均增长率为20%；5分 (2)设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售(20+2y)架， 由题意得100-y-60)(20+2y)=1200, 整理得y2-30y+200=0, 解得y=10,y2=20. ,需要尽量减少库存， ∴y=20. 答：每架迷你无人机的售价应降低20元.10分 19.(共9分) 解析：(1)过点A作AD⊥BC,垂足为D, 图1 ∠ABC=110°. ∴.∠ABD=180°-∠ABC=70°， 在Rt△ABD中，AB=23cm, .AD=4B.sin∠ABD=23×sin70°≈23×0.9=20.7cm, ∴.此时电脑屏幕上点A与桌面的距离约为20.7cm;4分 (2)延长AB交CE于点F, 由题意得：BF⊥CE, .∠BFC=90°， 当∠ABC=120°时， .∠CBF=180°-∠ABC=60°， 在Rt△BCF中，BC=23cm, 1 .BF=BC·cos60°=23×二=11.5cm,6分 2 当∠ABC=110°时， ∴.∠CBF=180°-∠ABC=70°， 在Rt△BCF中，BC=23cm, 图2 .BF=BC.c0s70°≈23×0.3=6.9(cm,8分 ∴.点A距离桌面的高度差=11.5-6.9=4.6cm, ∴.点A距离桌面的高度差约为4.6cm.9分 20.(共8分) 解析：)：正比例函数y=x与反比例函数y=冬(k≠0)的图象相交于A,C两点， X ..OA=OC, △ABC的面积为6， :.SA4OB =SA4BC =3 2 根据反比例函数k的儿何意义可得S0s=)个=3， ,反比例函数图象为第一、三象限， ∴.k=6;4分 6 (2)反比例函数解析式为y=一 把y=2代入，可得x=3, .点A的坐标为3,2)， .点C的坐标为(-3，-2)，点B的坐标为(3,0)， 设直线BC的解析式为y=kx+b, 「-2=-3k+b 把(-3，-2)，(3,0)代入可得 0=3k+b, 1 b=-1 1 ÷直线BC的解析式y=3X-1, 当x=0时，y=-1, .点D的坐标为(0，-1).8分 21.(共10分) 解析：(1)证明：如图，连接OE. CD⊥AB,∴.∠ODM=90° 在△ODM与△OEM中，OD=OE,OM=OM,DM=EM, .△ODM≌△OEM(SSS), ∴.∠OEM=∠ODM=90°，ME为O的切线.5分 F D (2)如图，连接DF. ∠ACB=90°，CD⊥AB,∴.∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°， :∠B=∠4CD,∴.sin ZACD=sinB=5 4 CD为O的直径， ∠CFD=90°，sin∠ACD=DF-4 CD 5 设DF=4x,CD=5x, 在△CDF中，根据勾股定理得CD2=DF2+CF2, (5x)2=(4x2+32, x=1(负值已舍去，CD=5,0D=5 △ODM≌△OEM,:∠1=∠2. ∠1+∠2=∠3+∠4，∠3=∠4， .∠1=∠3，.OM∥CB, 5'OM= 4 .sin∠OMD=sinB= 0D25 10分 sin∠OMD8 22.(共10分) 解析：(1)①当b=4C=3时，y=-x2+4x+3=-x-2)+7,.该函数图象的顶点坐标为(2,73 分 ②-1≤x≤3中含有顶点的横坐标2，∴.当x=2时，y有最大值7. 2-(-1>3-2, .当x=-1时，y有最小值-2. .当-1≤x≤3时，-2≤y≤7.6分 (2)由题意，符抛物找的对称轴直线x=。在y轴的右侧， 2 .b>0. 抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2，∴.c=2. 4×-1)×c-b2 =3,b=+2 4×-1 b>0,∴.b=2,.y=-x2+2x+2.10分 23.(共12分) 解析：(1) ∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°， CD⊥AB, .∠ADC=90°， .∠A+∠ACD=90°， .∠B=∠ACD, ∠A=∠A, ∴△ABC∽△ACD, .AB_AC AC AD .AC2=AD·AB;4分 (2)△AEB是直角三角形；理由如下： ∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC, △ACF∽△AEC, :AC、ABE AF AC .AC2=AF.AE, 由(1)得AC2=AD·AB, .AF·AE=AD·AB, :F、AD AB AE ∠FAD=∠BAE, .△AFD∽△ABE, ∴.∠ADF=∠AEB=90°， △AEB是直角三角形.8分 (3) ∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD, ∴.△CEB∽△CBD, CE CB CB CD CD.CE=CB2=(26=24, 如图，以点A为圆心，2为半径作A,则C,D都在A上，延长CA到E。,使CE。=6,交A于 D。，连接EE, B E。B 则CD。=4, CD。为A的直径， .∠CDD。=90°， ∴.CD。·CE。=24=CD.CE, CDoCD ·CECE。 ∠ECE。=∠D,CD, ∴.△ECE∽△DCD, ∴.∠CDD。=∠CEE=90°， ∴点E在过点E且与CE,垂直的直线上运动， 过点B作BE⊥E,E,垂足为E',连接CE, ,垂线段最短， .当点E在点E′处时，BE最小， 即BE的最小值为BE'的长， ∠CEE'=∠E,CB=∠BE'E。=90°， ∴.四边形CEEB是矩形， .BE'=CE=6, 在Rt△CE,E中根据勾股定理得： CE'=V26)+6=25, 即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为2√15.12分 2025-2026学年初中学业水平考试模拟试题 数学 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔把自己的姓名，考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答是卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液，胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1．实数3的相反数是（ ） A．3 B． C． D． 2．2026年我国新能源汽车产量达51.7万辆，居世界第一，将51.7万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A． B． C． D． 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在半径为5的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 9．如图所示，在中，是上一点，且，连接，交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点、在轴的正半轴上，，．点在菱形的边和上运动（不与点，重合），过点作轴，与菱形的另一边交于点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间函数关系的是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 12．母亲节前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为__________． 13．不等式组的解集是__________． 14．如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；…按照这样的规律进行下去，点的横坐标是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组： 17．（8分）某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培、课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数； （3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率． 18．（10分）综合与实践 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1： （2）解决任务2： 19．（9分）小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 20．（8分）如图，正比例函数与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴的垂线，交轴于点，连接，交轴于点，的面积为6． （1）求的值； （2）若点的纵坐标为2，求的坐标． 21．（10分）如图，中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 22．（10分）已知二次函数． （1）当，时， ①求该函数图像的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． （2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 23．（12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①__________ ②__________ 请完成填空：①__________；②__________； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点；满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $