第六章 平行四边形（14种题型）期末复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 一、平行四边形的性质 1.边：对边 且 ； 2.角：对角 ，邻角 ； 3.对角线：对角线 ； 4.中心对称性：平行四边形是 ，对称中心为对角线交点； 二、平行四边形的判定 1.定义判定：两组对边 →平行四边形 2.两组对边 →平行四边形 3.一组对边 →平行四边形 4.两组对角 →平行四边形 5.对角线 →平行四边形 补充：过平行四边形对角线交点的直线平分 。 三、三角形中位线 1.定义：连接三角形 的线段叫中位线；一个三角形共3条中位线。 区分： · 中线：顶点+对边中点； · 中位线：两边中点，不含顶点。 2.中位线定理：三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 。 （一）平行四边形性质易错 混淆“对边、邻边”：错写邻边相等；混淆对角、邻角，误用邻角相等。 （二）平行四边形判定易错 1.误区：一组对边平行，另一组对边相等 ⇒平行四边形（错误，等腰梯形也满足此条件）。 2.误区：一组对边平行，一组对角相等可以证平行四边形；但一组对边平行、一组邻边相等不能直接判定。 3.“平行且相等”必须是同一组对边：一条边平行、另一条边相等不能判定。 （三）三角形中位线易错 1.使用定理前提：两个边都得是中点。 2.中位线≠中线，题目只给一条中线，不能当成中位线使用。 1. 平行四边形题型解题思路 · 求边长、角度：优先用性质 已知是平行四边形→对边等、对角等、邻角互补、对角线平分，直接转化线段与角度。 · 证明平行四边形：优选判定顺序 优先：①一组对边平行且相等；②对角线互相平分；其次两组对边相等/平行。 2. 中点条件万能技巧：遇中点构造中位线 · 题干出现两个中点：直接连中位线，实现线段倍半转化（长减半、短加倍）； · 题干只有单个中点，求证线段倍分：补取另一边中点，构造中位线； · 四边形四边全有中点：直接用中点四边形结论。 3. 常用辅助线做法 · 平行四边形：连对角线，拆分出全等三角形，用全等转化边、角； · 缺中点条件：取边中点，构造中位线； · 线段倍长证明：优先中位线，其次倍长中线。 题型一 利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 3．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为______． 4．（2026·北京石景山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为________． 题型二 利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接，交的延长线于点E．求证：． 3．（2026·陕西商洛·三模）如图，在平行四边形中，点E、F分别在、的延长线上，且，连接、． 求证：． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 题型三 等腰梯形的性质定理 1．（2026·河北邯郸·二模）如图1和2是一架木梯及其示意图的一部分，已知四边形和四边形均为等腰梯形且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）在等腰梯形中，，若，则_____． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 题型四 判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 添一个条件成为平行四边形 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·新疆·期中）已知，要使四边形是平行四边形，需要添加的条件可以是______．（只需填一个你认为正确的即可） 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 题型七 求与已知三点构成平行四边形的点 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 4．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 题型八 证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·天津·期中）在四边形中，已知，，求证：四边形是平行四边形． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 3．（重庆礼嘉中学2025-2026学年九年级下学期数学第四次定时作业）温故而知新．在复习平行四边形与尺规作图的基础上，庆庆同学进行了几何拓展探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法．请完成以下作图与证明： (1)如图，是的中线．请利用尺规作图：在右侧作，与的延长线相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：四边形为平行四边形． 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 题型九 利用平行四边形的性质与判定求解 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，等腰梯形中，，，．尺规作图：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在梯形内部交于一点；过点A和该交点作射线，交下底于点F．若，，则等腰梯形的周长为______． 4．（2026·江西宜春·二模）我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 题型十 利用平行四边形的性质与判定证明 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，连接，，且．求证：． 2．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在上，点在边BD上，且，．求证：． 3．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点G，连结并延长交于点E．已知，F为上一点，满足，连结． (1)求的长． (2)求证：四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知四边形是平行四边形，（）． (1)求证三角形与三角形全等； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求的度数． 题型十一 利用平行四边形的性质与判定的应用 1．（2026·河北保定·二模）甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（     ） A．只有甲的方案可行 B．只有乙和丙的方案可行 C．只有丙的方案可行 D．甲、乙、丙的方案均可行 2．（2026·福建莆田·二模）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 题型十二 与三角形中位线有关的求解问题 1．（2026·安徽宣城·二模）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为_______． 2．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在四边形中，，，点，分别是，的中点，连接，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接．若，，则四边形的周长是___________． 题型十三 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，M、P、N分别是、、的中点．求证：． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在四边形中，，分别是，的中点， (1)如图1，当时，求证： (2)如图2，当不平行于时，求证：． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 4．（25-26八年级下·海南海口·期中）综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 题型十四 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在线段的一侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点，通过测量得到，则池塘边两地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·二模）用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平行四边形 一、平行四边形的性质 1.边：对边平行且相等； 2.角：对角相等，邻角互补； 3.对角线：对角线互相平分； 4.中心对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点； 二、平行四边形的判定 1.定义判定：两组对边分别平行→平行四边形 2.两组对边分别相等→平行四边形 3.一组对边平行且相等→平行四边形 4.两组对角分别相等→平行四边形 5.对角线互相平分→平行四边形 补充：过平行四边形对角线交点的直线平分面积。 三、三角形中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫中位线；一个三角形共3条中位线。 区分： · 中线：顶点+对边中点； · 中位线：两边中点，不含顶点。 2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 （一）平行四边形性质易错 混淆“对边、邻边”：错写邻边相等；混淆对角、邻角，误用邻角相等。 （二）平行四边形判定易错 1.误区：一组对边平行，另一组对边相等 ⇒平行四边形（错误，等腰梯形也满足此条件）。 2.误区：一组对边平行，一组对角相等可以证平行四边形；但一组对边平行、一组邻边相等不能直接判定。 3.“平行且相等”必须是同一组对边：一条边平行、另一条边相等不能判定。 （三）三角形中位线易错 1.使用定理前提：两个边都得是中点。 2.中位线≠中线，题目只给一条中线，不能当成中位线使用。 1. 平行四边形题型解题思路 · 求边长、角度：优先用性质 已知是平行四边形→对边等、对角等、邻角互补、对角线平分，直接转化线段与角度。 · 证明平行四边形：优选判定顺序 优先：①一组对边平行且相等；②对角线互相平分；其次两组对边相等/平行。 2. 中点条件万能技巧：遇中点构造中位线 · 题干出现两个中点：直接连中位线，实现线段倍半转化（长减半、短加倍）； · 题干只有单个中点，求证线段倍分：补取另一边中点，构造中位线； · 四边形四边全有中点：直接用中点四边形结论。 3. 常用辅助线做法 · 平行四边形：连对角线，拆分出全等三角形，用全等转化边、角； · 缺中点条件：取边中点，构造中位线； · 线段倍长证明：优先中位线，其次倍长中线。 题型一 利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，先求出的度数，再利用邻角互补求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， ． 2．（25-26八年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴的周长． 3．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·北京石景山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得且，从而判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式求出的长，进而根据平移规律求出点的坐标． 【详解】解：由平移的性质可知，且 四边形是平行四边形 点的坐标为 平行四边形边上的高为 四边形的面积为 平移的距离为 点是由点向右平移得到的 点的横坐标为，纵坐标为 点的坐标为 题型二 利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)55° 【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出； （2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接，交的延长线于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∵点F是的中点 在和中， ． 3．（2026·陕西商洛·三模）如图，在平行四边形中，点E、F分别在、的延长线上，且，连接、． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，证明，即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ，． ． ， ∴． ． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，即要根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则，，再根据四边形的周长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为24． 题型三 等腰梯形的性质定理 1．（2026·河北邯郸·二模）如图1和2是一架木梯及其示意图的一部分，已知四边形和四边形均为等腰梯形且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据等腰梯形的性质求出的度数． 【详解】解： 四边形为等腰梯形 ． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）在等腰梯形中，，若，则_____． 【答案】 【分析】先根据平行线性质得到与互补，求出的度数，再根据等腰梯形同一底上的两个角相等得到的度数． 【详解】解： 四边形是等腰梯形，， ，， ， ， ． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 【答案】 120 【分析】观察图形可知，图案的外轮廓是正六边形，根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再根据图形拼接特点，可知正六边形的一个内角由两个全等的等腰梯形的底角组成，从而求出梯形的锐角底角度数，利用等腰梯形同一腰上的两个角互补求出钝角底角度数，结合图形判断的度数 【详解】解：正六边形的内角和为 每个内角为 因为图案由 个全等的等腰梯形拼成 所以正六边形的每个内角由两个等腰梯形的底角拼接而成 所以等腰梯形的锐角底角为 因为等腰梯形同一腰上的两个角互补 所以等腰梯形的钝角底角为 观察图形可知， 是等腰梯形的钝角 所以． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 题型四 判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； B、∵，， ∴，则 ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用到“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需判断四个选项中，对角所占的份数是否相等，即可得出结论． 【详解】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 若四边形为平行四边形，需要满足，，即四个角度数之比中，与的份数相等，与的份数相等， 观察四个选项，只有选项D满足上述条件，因此能判定四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 题型六 添一个条件成为平行四边形 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在四边形中， ∴当时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，故A符合题意． 当时，四边形可能是等腰梯形，故B不符合题意． 当或时，无法证明，不能推出对角线互相平分，故C、D不符合题意． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； D、∵，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意． 3．（25-26八年级下·新疆·期中）已知，要使四边形是平行四边形，需要添加的条件可以是______．（只需填一个你认为正确的即可） 【答案】 或 【分析】本题根据四边形中一组对边，添加符合判定定理的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 或，， 四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 题型七 求与已知三点构成平行四边形的点 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据两个三角形关于点成中心对称作图即可； （2）根据平行四边形的性质找点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，点都满足题意， ∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是，，． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3)或或 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据图象得：A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据网格得：，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 3．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 4．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 题型八 证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·天津·期中）在四边形中，已知，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】由平行可得，由等量代换可得，则，命题得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形； （2）先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形为平行四边形 （2）解：在中，， 又平分， ， ， 在中，， ， 由（1）知，四边形为平行四边形， ． 3．（重庆礼嘉中学2025-2026学年九年级下学期数学第四次定时作业）温故而知新．在复习平行四边形与尺规作图的基础上，庆庆同学进行了几何拓展探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法．请完成以下作图与证明： (1)如图，是的中线．请利用尺规作图：在右侧作，与的延长线相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)及点E如图所示： (2)证明：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据尺规作一个角的方法结合题意画图即可； （2）根据题意可证明、，得出，进而可得结论. 【详解】（1）略； （2）略. 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①利用垂直的定义推出，根据平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理，即可证明； ②利用全等三角形性质推出，再结合平行四边形判定定理，即可证明四边形是平行四边形． （2）利用等腰三角形性质推出，结合平行四边形性质进而推出， 利用勾股定理求出，进而即可求出的长． 解题的关键在于熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形性质． 【详解】（1）证明：①于点于点， ， ， ， ， ； ②， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， 同理可得， ， ， ， ． 题型九 利用平行四边形的性质与判定求解 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，则，，结合垂直平分线的性质，得到，，过点作，且，则四边形是平行四边形，进而得出，再根据两点间线段最短求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， ，， ， ， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 过点作，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值． 2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据，，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由，可得，从而得到，进而得到，再根据四边形的周长是，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长是． 3．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，等腰梯形中，，，．尺规作图：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在梯形内部交于一点；过点A和该交点作射线，交下底于点F．若，，则等腰梯形的周长为______． 【答案】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，，过点分别作，则可知四边形是平行四边形，，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 过点分别作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴等腰梯形的周长为． 4．（2026·江西宜春·二模）我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由于的长为定值，求的最小值转化为求的最小值，通过平移变换，将线段平移至，使得转化为，利用两点之间线段最短结合勾股定理即可求解． 【详解】解：为定值， 求的最小值，即求的最小值， 如图，将点向右平移个单位长度得到点，连接， 点的坐标为， 点的坐标为， 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， 过点作交的延长线于点， 在中， 水平直角边长为， 竖直直角边长为， 根据勾股定理得： 的最小值为， 的最小值为． 题型十 利用平行四边形的性质与判定证明 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，连接，，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，． 又， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，即． 【分析】先由平行四边形的性质得到，．再证明四边形是平行四边形，得到，则，进而可求解． 【详解】略 2．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在上，点在边BD上，且，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】由于四边形是平行四边形，那么，，而，，利用等式性质得，，进而可证四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可求证． 【详解】略． 3．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点G，连结并延长交于点E．已知，F为上一点，满足，连结． (1)求的长． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答； （2）在中，，，推导出，得到，继而推导出，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在中，，， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 即，  ∵， ∴四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知四边形是平行四边形，（）． (1)求证三角形与三角形全等； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴； (2)证明：∵ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； (3) 【分析】（1）先由平行四边形得到，再由证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可； （3）由四边形是平行四边形，得到，则，由等腰三角形的性质得到，，那么由三角形外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 题型十一 利用平行四边形的性质与判定的应用 1．（2026·河北保定·二模）甲、乙、丙为了得到下图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）的大小”，设计出如下三个方案： 甲的方案 乙的方案 丙的方案 过直线b上任意一点，作．测度数． 测图中，的度数． 过画板上任意一点M，分别作a，b平行线．测度数． 以上方案可行的是（     ） A．只有甲的方案可行 B．只有乙和丙的方案可行 C．只有丙的方案可行 D．甲、乙、丙的方案均可行 【答案】D 【分析】根据两直线平行即可判断甲的方案可行，根据外角的性质即可判断乙的方案可行，根据平行四边形的判定和性质即可判断丙的方案可行． 【详解】解：设两直线a，b所成的角（锐角）的大小为， 甲的方案：∵ ∴， 故甲的方案可行； 乙的方案：根据外角的性质得， ∴， 故乙的方案可行； 丙的方案：根据题意可知，所围成的四边形是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等，可得， 故丙的方案可行． 综上所述，甲、乙、丙的方案均可行． 2．（2026·福建莆田·二模）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】(1)甲同学正确、乙两位同学有问题，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； （2）解：取平行四边形对角线也就是的中点， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 题型十二 与三角形中位线有关的求解问题 1．（2026·安徽宣城·二模）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为_______． 【答案】2 【分析】由题意可知，根据等角对等边得到，根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵D是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】延长交于点，先证明，得出，，求出，再证明是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，在四边形中，，，点，分别是，的中点，连接，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理求出、，根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，如下图 ，， ， 同理可得， 在中，， 即． 4．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接．若，，则四边形的周长是___________． 【答案】/14厘米 【分析】先证是的中位线，是的中位线，是的中位线，进而推出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解： 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ． 、是的中线， 点D、E分别是、的中点， 又点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长 题型十三 与三角形中位线有关的证明 1．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，M、P、N分别是、、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由三角形的中位线定理得到，，从而有，再根据“等边对等角”即可证明． 【详解】证明：∵M、P、N分别是、、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在四边形中，，分别是，的中点， (1)如图1，当时，求证： (2)如图2，当不平行于时，求证：． 【答案】(1)证明：连接并延长，交的延长线于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． (2)证明：连接，取的中点G，连接，，如图所示： ∵，，G分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， ∵与不平行， ∴B、G、F三个点一定不在同一直线上， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点G，证明，得出，，根据中位线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，取的中点G，连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，即可得出，根据两点之间线段最短得出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，点是延长线上的一点，且，连接、、，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中位线的性质可得，结合已知可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证 【详解】证明：∵点、分别是、的中点， ∴， ∵点是延长线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（25-26八年级下·海南海口·期中）综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 题型十四 三角形中位线的实际应用 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在线段的一侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点，通过测量得到，则池塘边两地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线求解即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记各个顶点，由题意可得，是的中位线，根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，标记各个顶点， 由题意可得，为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，D选项符合． 4．（2026·四川南充·二模）用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ） A．增长 B．缩短 C．不变 D．增长或缩短 【答案】C 【分析】根据中点定义可知为的中位线，由定理可知．由于固定，长度不变，故长度不变． 【详解】解：点、点分别为，的中点， 是的中位线， ， ，为固定点， 的长度不变， 拉动点至的过程中，的长度不变． 学科网（北京）股份有限公司 $