期末复习（六）平行四边形讲义-2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

期末复习（六）平行四边形 考点1 平行四边形的性质 【例1】如图，AC是ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的度数为( ) A．24° B．25° C．26° D．28° 方法点拨：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=105°，再由三角形的内角和定理即可得到结论. 【针对训练】 1.如图，在ABCD中，AB=8，E是AB上一点，AE=3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为 ( ) A．5 B．4 C．3 D．2 考点2 平行四边形的判定 【例2】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB=CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( ) A．AD∥BC B．∠ABD=∠BDC C．OB=OD D．AC⊥BD 方法点拨：根据题目提供的已知条件，结合平行四边形的判定定理，依次判断两组条件是否能够使四边形ABCD为平行四边形. 【针对训练】 2.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B=30°，∠CAB=45°，AC＝，求AB的长． 考点3 三角形的中位线 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AM⊥BC，延长AC到点D，连接BD，取BD的中点N，连接MN.若AB=3，AD=5，则MN= . 方法点拨：根据等腰三角形的性质求出CD的长，再根据中位线定理得到MN的长. 【针对训练】 3.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若HF=5，则EG的长为 ( ) A．10 B．2.5 C．5 D．3.5 4.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论． 考点4 多边形的内角和与外角和 【例4】如图，在七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为 ( ) A．40° B．45° C．50° D．55° 方法点拨：根据多边形的外角和等于360°，以及三角形外角的性质，将边PF与FG构建三角形再根据三角形内角和定理即可求解． 【针对训练】 5.如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1=58°，则∠2的度数为 ( ) A．58° B．59° C．60° D．62° 6.如图，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EF，FA．若∠ABC=95°，求∠A+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 一、选择题（每题4分，共32分） 1.一个多边形的内角和为1 800°，则这个多边形的边数为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2.如图，在ABCD中，∠B=80°，点E在CD上，且AE=AD，则∠DAE的度数是 ( ) A．20° B．30° C．40° D．80° 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC=4，则EF的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为( ) A.16 B.8 C.12 D.10 第4题图 第5题图 5.如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC的度数为 ( ) A.108° B.120° C.126° D.132° 6.如图，小明从点A出发，沿直线前进20 m后左转30°，再沿直线前进20 m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了 ( ) A.120 m B.160 m C.200 m D.240 m 7.如图，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E，F分别是PA，PQ的中点，当点P在BC上移动时，线段EF的长 ( ) A.先变大再变小 B.保持不变 C.先变小再变大 D.无法确定 第7题图 第8题图 8.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．若AB=，AO=1，BD=4，则AE的长为 ( ) A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，共16分） 9.已知三角形各边长为8，11，15，则连接各边中点的线段所构成的三角形的周长是 . 10.在四边形ABCD中，已知AD∥BC，分别添加下列条件：①AD=BC；②AB=DC；③∠A=∠C；④∠A+∠D=180°.其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有 （填序号）. 11.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接点M与CN的中点E并延长，交BC的延长线于点D.若BC=4，则CD的长为 . 第11题图 第12题图 12.如图，在ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=8，则ABCD的面积为 ． 三、解答题（共32分） 13.如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=180°，∠A-∠B=40°.求∠B的度数. 14.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF. 求证：DE=BF. 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连接FG，FH．若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 16.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且∠AEB=∠CFD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若∠AEB=90°，OE=3，且∠EAF=45°，求线段AC的长． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（六）平行四边形 考点1 平行四边形的性质 【例1】如图，AC是ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC的度数为(B) A．24° B．25° C．26° D．28° 方法点拨：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=105°，再由三角形的内角和定理即可得到结论. 【针对训练】 1.如图，在ABCD中，AB=8，E是AB上一点，AE=3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为 (C) A．5 B．4 C．3 D．2 考点2 平行四边形的判定 【例2】如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB=CD，添加下列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (B) A．AD∥BC B．∠ABD=∠BDC C．OB=OD D．AC⊥BD 方法点拨：根据题目提供的已知条件，结合平行四边形的判定定理，依次判断两组条件是否能够使四边形ABCD为平行四边形. 【针对训练】 2.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B=30°，∠CAB=45°，AC＝，求AB的长． (1)证明:∵AB∥CE, ∴∠FAD=∠FCE，∠ADF=∠CEF. ∵F是AC的中点，∴AF=CF. 在△AFD和△CFE中, ∠FAD=∠FCE， ∠ADF=∠CEF， AF=CF， ∴△AFD≌△CFE(AAS). ∴DF=EF. ∴四边形ADCE是平行四边形; (2)解:如图，过点C作CG⊥AB于点G. 在△ACG中， 答图 ∵∠AGC=90 °,AC=,∠CAG=45 °, ∴由勾股定理得CG=AG=1. 在△BCG中，∵∠BGC=90 °,∠B=30 °, CG=1, ∴BC=2. ∴BG==. ∴AB=BG+AG=+1. 考点3 三角形的中位线 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AM⊥BC，延长AC到点D，连接BD，取BD的中点N，连接MN.若AB=3，AD=5，则MN=1. 方法点拨：根据等腰三角形的性质求出CD的长，再根据中位线定理得到MN的长. 【针对训练】 3.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若HF=5，则EG的长为 (C) A．10 B．2.5 C．5 D．3.5 4.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论． 解:EF与GH互相平分. 理由如下:如图，连接EG，GF， FH， EH, ∵E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点, ∴EG是△ABD的中位线，FH是△ABC的中位线. ∴EG=AB, EG∥AB,FH=AB,FH∥AB. ∴EG=FH, EG∥FH. ∴四边形EGFH为平行四边形. ∴EF与GH互相平分. 答图 考点4 多边形的内角和与外角和 【例4】如图，在七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为 (C) A．40° B．45° C．50° D．55° 方法点拨：根据多边形的外角和等于360°，以及三角形外角的性质，将边PF与FG构建三角形再根据三角形内角和定理即可求解． 【针对训练】 5.如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1=58°，则∠2的度数为 (A) A．58° B．59° C．60° D．62° 6.如图，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EF，FA．若∠ABC=95°，求∠A+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 答图 解：如图，连接AC， ∵∠ABC=95 °， ∴∠BAC+∠BCA=180 °-95 °=85 °. ∴∠BAF+∠BCD+∠D+∠E+∠F =(5-2)×180 °-∠BAC-∠BCA =540 °-85 ° =455 °． 一、选择题（每题4分，共32分） 1.一个多边形的内角和为1 800°，则这个多边形的边数为 (D) A.9 B.10 C.11 D.12 2.如图，在ABCD中，∠B=80°，点E在CD上，且AE=AD，则∠DAE的度数是 (A) A．20° B．30° C．40° D．80° 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC=4，则EF的长为 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为(A) A.16 B.8 C.12 D.10 第4题图 第5题图 5.如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC的度数为 (C) A.108° B.120° C.126° D.132° 6.如图，小明从点A出发，沿直线前进20 m后左转30°，再沿直线前进20 m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了 (D) A.120 m B.160 m C.200 m D.240 m 7.如图，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E，F分别是PA，PQ的中点，当点P在BC上移动时，线段EF的长 (B) A.先变大再变小 B.保持不变 C.先变小再变大 D.无法确定 第7题图 第8题图 8.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．若AB=，AO=1，BD=4，则AE的长为 (D) A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，共16分） 9.已知三角形各边长为8，11，15，则连接各边中点的线段所构成的三角形的周长是17. 10.在四边形ABCD中，已知AD∥BC，分别添加下列条件：①AD=BC；②AB=DC；③∠A=∠C；④∠A+∠D=180°.其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有①③④（填序号）. 11.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接点M与CN的中点E并延长，交BC的延长线于点D.若BC=4，则CD的长为2. 第11题图 第12题图 12.如图，在ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=8，则ABCD的面积为32． 三、解答题（共32分） 13.如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=180°，∠A-∠B=40°.求∠B的度数. 解:∵∠C+∠D=180 °, ∴∠A+∠B=360 °-180 °=180 °. ∵∠A-∠B=40 °， ∴2∠B=140 °. ∴∠B=70 °. 14.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF. 求证：DE=BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF，EO=AO-AE，FO=CO-CF， ∴EO=FO. 在△DOE和△BOF中， EO=OF, ∠DOE=∠BOF, DO=BO, ∴△DOE≌△BOF(SAS). ∴DE=BF. 15.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连接FG，FH．若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 答图 解：∵F，G，H分别是BE，DE，BC的中点， ∴FG∥BD，FH∥EC. 如图，延长FG交AC于点K， ∵FG∥BD，∠A=80 °， ∴∠FKC=∠A=80 °. ∵FH∥EC， ∴∠GFH=180 °-∠FKC=100 °. 16.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且∠AEB=∠CFD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若∠AEB=90°，OE=3，且∠EAF=45°，求线段AC的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠CFD， ∠ABE=∠CDF， AB=CD， ∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE=CF． ∵∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE． ∴AE∥CF． ∴四边形AECF是平行四边形； (2)解：∵四边形AECF是平行四边形， ∴OE=OF，OA=OC． ∵∠AEB=90 °，OE=3,∠EAF=45 °， ∴△AEF是等腰直角三角形． ∴AE=EF=2OE=6． 在Rt△OAE中，∵AE=6，OE=3， ∴OA===3． ∴AC=2OA=6． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$