精品解析：江西省萍乡市上栗县2026年初中学业水平考试模拟试卷

2026年初中学业水平模拟考试 数 学 试 题 卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据有理数大小比较的规则，负数小于0，0小于正数， 因此负数一定小于0和正数，剩余两个负数和，计算两个数的绝对值，得，， ， 两个负数比较大小，绝对值大的数更小，即， ∴最小的数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵，∴A错误． B、∵，∴B错误． C、∵，∴C正确． D、∵，∴D错误． 3. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为： 4. 为了解某校初中学生的周末文化学习情况，以下抽样调查中，样本最具代表性的是（ ） A. 从毕业年级随机抽取名学生 B. 从三个年级每班随机抽取名学生 C. 从艺体特长生中随机抽取名学生 D. 从八年级随机抽取一个班的学生 【答案】B 【解析】 【分析】抽样调查样本的代表性的判断标准是样本是否能全面覆盖总体各部分，反映总体（某校全体初中学生）的真实特征． 【详解】解：本题总体是某校全体初中学生，抽样调查要求样本具有广泛性和代表性，能够反映总体真实情况， A、仅抽取毕业年级，存在偏向性，不具备代表性，不符合题意； B、对三个年级每班随机抽取学生，样本覆盖初中所有年级和不同班级，能够反映全体初中学生的周末文化学习情况，因此样本最具代表性，符合题意； C、仅抽取艺体特长生，存在偏向性，不具备代表性，不符合题意； D、仅抽取八年级一个班，存在偏向性，不具备代表性，不符合题意． 5. 在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．根据题意，盐酸溶液呈酸性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵盐酸溶液呈酸性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：C． 6. 如图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由轴对称图形的定义添加验证即可． 【详解】解：如图所示： 添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有种． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 计算： _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 根据乘方运算规则计算即可． 【详解】解：∵对于的任何次幂，结果都是， ∴， ∵表示的是的相反数， ∴， 故答案为：． 8. 2026年北京人工智能核心产业规模达3458.7亿元．数据“3458.7亿”用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解． 【详解】解：数据“3458.7亿”用科学记数法表示为． 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是___． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为，由根与系数的关系可得， ，即方程的另一根为． 11. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点P是该平面内一点（与点O不重合），且，若以点P，A，B为顶点组成的直角三角形与全等，则点P的横坐标为_________ ． 【答案】1或或 【解析】 【分析】先作出图形，然后分类讨论，根据全等三角形的性质以及解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：如图， 当时，则 ∴轴， ∴； 当时， 则， ∴， 过点作轴于点， 则 ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴ ∴ ∴ 综上：点P的横坐标为1或或． 三、（本大题5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算、证明： （1）； （2）如图，在矩形中，， 求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先由二次根式性质、去绝对值和特殊角的三角函数值计算，再由合并同类二次根式即可求解； （2）先由矩形的性质得到，，进而由两个直角三角形全等的判定与性质即可得证． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 14. 以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________，得…… ① 去括号，得：……………………………② 解得：…………………………………………… ③ 检验：当时，…………④ 所以，原分式方程的解为……………………… ⑤ （1）该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） （2）第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； （3）写出原分式方程正确的解答过程． 【答案】（1）① （2） （3）解答过程见详解 【解析】 【分析】（1）由分式方程解法步骤中的去分母检验即可； （2）由分式方程解法步骤中的去分母检验即可； （3）由分式方程解法步骤求解即可． 【小问1详解】 解：第①步去分母时，方程中的常数项漏乘了， 该同学的解法从第①步开始出现错误； 【小问2详解】 解：解分式方程去分母时，方程两边同乘以； 【小问3详解】 解：原分式方程正确的解答过程如下： 方程两边都乘以，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 15. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点E作的平行线，交于点F； （2）如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行的判定与轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，其与线段相交于点F，此时； （2）由轴对称的性质作出点即可． 【小问1详解】 解：如图1， 线段即为所作； 【小问2详解】 解：如图2，点即为所作； 16. “唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A《龙的传人》、B《祖国有我》、C《东方红》、D《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等． （1）选中《龙的传人》是_________事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）； （2）请你用列表法或画树状图法，求选中“《祖国有我》和《东方红》 ”的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类即可求解； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 选中《龙的传人》是随机事件； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 从树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中选中《祖国有我》和《东方红》的结果有2种，所以 （选中《祖国有我》和《东方红》）． 17. 如图，点在轴上，点的坐标为，将线段向下平移，点与点重合，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，若． （1）求证：四边形是菱形； （2）求的值． 【答案】（1）证明：由平移可得，且， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平移性质，结合平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，再由邻边相等即可得证； （2）延长交轴于点，设菱形的边长为，由点的坐标表示出相关线段长，在中，由勾股定理列方程求解得出，即可求出点坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交轴于点，如图所示： 设菱形的边长为，则 ， 点的坐标为， ，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， ， 反比例函数的图象过点， ． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2026年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计132万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计124万元． （1）求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过172万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 【答案】（1）A型汽车每辆进价为16万元，B型汽车每辆进价为20万元 （2）至少购买A种型号汽车7辆 【解析】 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，列方程组求解即可； （2）设购买A种型号汽车n辆，则B种型号汽车辆，得不等式 ，求解即可． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型汽车每辆进价为16万元，B型汽车每辆进价为20万元． 【小问2详解】 解：设购买A种型号汽车n辆，则B种型号汽车辆 依题意， ， 解得： ∴至少购买A种型号汽车7辆． 19. 如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）求的度数； （2）如图③，靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，杯托E处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），求乘客水杯的最大高度．（结果精确到，参考数据： ， ， ） 【答案】（1） （2）乘客水杯的最大高度约为 【解析】 【分析】（1）过点B作，由平行线的性质得，由即可求解； （2）过点E作，交于点F，由正切函数得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作， ， 垂直于地面， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点E作，交于点F， ， 靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知，， ， 在中，， 乘客水杯的最大高度约为：． 20. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及等量代换得，由平行线的判定及性质得，即可得证； （2），过点作，垂足为点，由矩形的判定及性质得，，由垂径定理得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如上图，过点作，垂足为点， 由（1）得：， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ∵在中，， ， ． 五、（本大题2小题，每题9分，共18分） 21. 为普及校园安全知识、提高学生应急避险能力，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），绘制了如下统计图表： 根据以上数据，整理分析如下表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 95 八年级 93.1 96 请解答下列问题： （1）表格中的______，______，______，（填“＜”“＞”或“＝”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生安全知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1），， （2）理由见解析 （3）估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． 【解析】 【分析】（1）先统计七年级成绩中出现次数最多的数，确定众数；再将八年级成绩排序，取中间两个数的平均数得到中位数；最后通过观察成绩分布，判断七年级成绩更集中，得出七年级方差小于八年级方差的结论； （2）可以从两个角度分析：一是认为七年级学生掌握更好，依据是七年级平均成绩更高且方差更小，成绩更稳定；二是认为八年级学生掌握更好，依据是八年级成绩的中位数更高、最高分更高，高分人数相对更多； （3）先分别计算七年级、八年级样本中分及以上的优秀占比，再用各自的优秀占比乘以对应年级的参赛总人数，最后将两个年级的优秀人数相加，得到七、八年级参赛学生中“优秀”等级的总人数为人． 【小问1详解】 解：七年级名学生成绩：95，95，90，95，90，95，88，98，98，88， 其中，出现次数最多的是， 因此众数； 八年级名学生成绩从小到大排序：81，86，89，94，95，96，96，96，98，100， 中位数为第个数的平均数，即； 观察成绩分布：七年级成绩更集中，波动更小， 因此方差； 【小问2详解】 解：：我认为七年级的参赛学生掌握得较好．因为七年级的平均成绩大于八年级，方差小，更稳定； ：我认为八年级的参赛学生掌握得更好．因为八年级的中位数更高，最高分更高，高分人数较多； 【小问3详解】 解：样本中：七年级人里，分及以上有人，优秀占比， 八年级人里，分及以上有7人，优秀占比， 因此估计总优秀人数：（人）， 答：估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． 22. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． （1）在上面规定下，抛物线的“伴随直线”为 ． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线与轴交于点， ，与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧）． 求点，，，的坐标（其中点，的坐标可用含的代数式表示）； 如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为，求当时，取得的最大值． 【答案】（1） （2），，，； 【解析】 【分析】（1）根据“伴随直线”的定义直接列式即可； （2）对于抛物线，令，即可求得点和点的坐标；由“伴随直线”定义可得抛物线的“伴随直线”解析式，联立两函数解析式即可确定点和点的坐标；利用待定系数法可求得直线的解析式，过点作轴的垂线交于点，可表示出点，的坐标，进而根据表示出的面积，利用二次函数的性质即可确定最大值． 【小问1详解】 解：根据“伴随直线”的定义可知，抛物线的“伴随直线”为； 【小问2详解】 解：对于， 令，即， ，解得或， 观察图象可知，点在点的左侧， ，． 由“伴随直线”定义可得：的伴随直线为， 联立，解得或， 点在点的左侧， ，， 当时，抛物线解析式为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线解析式为， 如图，过点作轴的垂线交于点， 点是直线上方抛物线上的一个动点， ，，， ， ， ，， 当时，取得最大值． 六、（本大题12分） 23. 【综合与实践】某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，．点P是底边上一点，连接，以为腰往右作等腰，且，连接，则和的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边往右作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：已知正方形的边长为6，点P是射线上一点，连接，以为边往右作正方形，点Q是正方形两条对角线的交点，连接．若所作正方形的边长为，请求出的长． 【答案】（1）相等 （2）和的数量关系为，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得解； （2）证明，可得，即可得解； （3）根据勾股定理求出，分两种情况讨论，当点P位于边上时，当点P位于延长线上时，再分别证明，可得，即可得解． 【小问1详解】 解：和的数量关系是相等； ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵正方形与正方形的边长分别为6和， ， ， ①当点P位于边上时，连接，如图，则， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ， ∴， ∴， ． ， ②当点P位于延长线上时，连接，如图，则， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ， ∴ ， ∴， ， ， 综上所述的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数 学 试 题 卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某校初中学生的周末文化学习情况，以下抽样调查中，样本最具代表性的是（ ） A. 从毕业年级随机抽取名学生 B. 从三个年级每班随机抽取名学生 C. 从艺体特长生中随机抽取名学生 D. 从八年级随机抽取一个班的学生 5. 在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 计算： _________． 8. 2026年北京人工智能核心产业规模达3458.7亿元．数据“3458.7亿”用科学记数法表示为__________． 9. 因式分解：________． 10. 已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是___． 11. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点P是该平面内一点（与点O不重合），且，若以点P，A，B为顶点组成的直角三角形与全等，则点P的横坐标为_________ ． 三、（本大题5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算、证明： （1）； （2）如图，在矩形中，， 求证：． 14. 以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________，得…… ① 去括号，得：……………………………② 解得：…………………………………………… ③ 检验：当时，…………④ 所以，原分式方程的解为……………………… ⑤ （1）该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） （2）第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； （3）写出原分式方程正确的解答过程． 15. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点E作的平行线，交于点F； （2）如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 16. “唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A《龙的传人》、B《祖国有我》、C《东方红》、D《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等． （1）选中《龙的传人》是_________事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）； （2）请你用列表法或画树状图法，求选中“《祖国有我》和《东方红》 ”的概率． 17. 如图，点在轴上，点的坐标为，将线段向下平移，点与点重合，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，若． （1）求证：四边形是菱形； （2）求的值． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2026年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计132万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计124万元． （1）求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过172万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 19. 如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）求的度数； （2）如图③，靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，杯托E处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），求乘客水杯的最大高度．（结果精确到，参考数据： ， ， ） 20. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 五、（本大题2小题，每题9分，共18分） 21. 为普及校园安全知识、提高学生应急避险能力，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），绘制了如下统计图表： 根据以上数据，整理分析如下表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 95 八年级 93.1 96 请解答下列问题： （1）表格中的______，______，______，（填“＜”“＞”或“＝”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生安全知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 22. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． （1）在上面规定下，抛物线的“伴随直线”为 ． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线与轴交于点， ，与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧）． 求点，，，的坐标（其中点，的坐标可用含的代数式表示）； 如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为，求当时，取得的最大值． 六、（本大题12分） 23. 【综合与实践】某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，．点P是底边上一点，连接，以为腰往右作等腰，且，连接，则和的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边往右作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：已知正方形的边长为6，点P是射线上一点，连接，以为边往右作正方形，点Q是正方形两条对角线的交点，连接．若所作正方形的边长为，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $