精品解析：江西宜春市袁州区名校联盟2026年九年级5月检测数学试题

九年级 数学（七） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，最大的无理数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据有理数与无理数的定义排除不符合要求的选项，再比较剩余无理数的大小，即可得到答案． 【详解】解：∵选项中是有理数，不符合要求， 选项中，是有理数，不符合要求， 选项中，选项中，二者均为无理数， ∵， ∴，最大的无理数是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一分析各选项即可. 【详解】解：选项是轴对称图形，也是中心对称图形，选项符合题意； 选项不是中心对称图形，是轴对称图形，选项不符合题意； 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，选项不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意． 3. 2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为24.8万人，将24.8万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将带单位“万”的数改写为普通整数，再根据科学记数法的定义确定系数和指数的值，科学记数法的形式为，要求满足，为整数，即可作答． 【详解】解：万． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用去括号法则，幂的运算法则，整式乘法公式逐个判断选项的运算是否正确，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 5. 2026年5月1日，赣超首轮赛事开赛，南昌国际体育中心迎来了60163位观众．为了解这些观众所支持的队伍，米米随机采访了1000名观众，并进行统计分析．下列说法正确的是（ ） A. 这种调查方式是全面调查 B. 60163位观众所支持的队伍是总体 C. 60163是样本容量 D. 1000位观众是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【详解】解：A.∵该调查只随机抽取1000名观众分析，没有调查全部观众，∴调查方式是抽样调查，A错误． B.∵本题考察对象是60163位观众所支持的队伍，考察对象的全体为总体，∴60163位观众所支持的队伍是总体，B正确． C.∵样本容量是样本中包含的个体数目，本题抽取了1000名观众，∴样本容量是1000，不是60163，C错误． D.∵样本是从总体中抽取的个体的考察指标，∴1000位观众所支持的队伍才是总体的一个样本，1000位观众本身不是样本，D错误． 6. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ；；；；为任何实数时，都有．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点位置判断，，的符号；根据对称轴方程判断；根据抛物线与轴交点个数判断；根据时的函数值及的符号判断；根据函数的最大值性质判断关于的不等式． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，  ， ， 对称轴为直线，  ，  ，故错误；  ，  ，故正确；  抛物线与轴有两个交点，  ，故正确； 由图象可知，当时，，  ， 把代入得：，  ， ，  ，即，故正确；  当时，函数有最大值，  对于任意实数，都有，  ， 当时，，故错误， 综上所述，正确的结论有，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解即可. 【详解】解： 8. 若，是一元二次方程的两根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的值，代入变形后的代数式进行计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， ， ， 则． 9. 有一列按照一定规律写出的单项式：0，，，，，…．这列单项式中的第25个单项式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察系数和次数的变化，归纳第个单项式为，即可求解． 【详解】解：观察已知单项式， 第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ．．． 可得第个单项式为， 当时，． 10. 大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，从而证得，进而得到，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 11. 我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于的长为定值，求的最小值转化为求的最小值，通过平移变换，将线段平移至，使得转化为，利用两点之间线段最短结合勾股定理即可求解． 【详解】解：为定值，  求的最小值，即求的最小值， 如图，将点向右平移个单位长度得到点，连接， 点的坐标为，  点的坐标为， 由平移的性质可知，且，  四边形是平行四边形，  ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， 过点作交的延长线于点， 在中， 水平直角边长为， 竖直直角边长为， 根据勾股定理得：  的最小值为， 的最小值为． 12. 如图，在中，，，点是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转得到点，连接，．若是轴对称图形，则旋转角为__________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的两锐角互余可得的度数，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， 从而证得是等边三角形， 由旋转的性质可得，由是轴对称图形，分三种情况讨论：当时， 当时，当时，根据等边三角形的性质结合对称的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 点是斜边的中点， ， 是等边三角形， ，， 将点绕着点按逆时针方向旋转得到点， ， 由于是轴对称图形，分以下三种情况： 当时，则， 是等边三角形， ， 即； 当时，点在点的左侧时， ，，， ， ， ； 点在点的右侧时， ，，， ， ， ； 当时，则， 是等边三角形， ， （不合题意，故舍去）； 综上所述，旋转角为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先运算负整数指数幂，化简绝对值以及特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先分别算出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵， ∴由得； ∴由得； ∴不等式组的解集为． 14. 先化简，再求值：，在1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】先通分括号内的分式，再把除法化为乘法，然后化简得，根据分式有意义，进行分析，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 依题意，故把代入，得． 15. 如图，为菱形的对角线，点为线段的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作直线，使得； （2）如图2，在边上找点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； （2）连接交于点，连接并延长交于点即可，根据菱形的性质，利用易得，得到，，对顶角得到 ，进而得到，进而得到 . 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，点即为所求； 16. 年月日上午，南昌鄱阳湖半程马拉松鸣枪开跑！名跑友齐聚英雄城，在鲤鱼洲白鹤小镇最美赛道激情奔跑．赛场内外，名“小白鹤”志愿者默默护航．米米和粒粒随机选择一项志愿者服务（假设选择每一项的可能性相同），项目如下：A．赛道指引；B．能量补给；C．物资分发；D．医疗辅助． （1）粒粒选择项目“D．医疗辅助”是__________事件； A．必然 B．不可能 C．随机 （2）请用画树状图或列表的方法，求两人选择不同志愿者服务项目的概率． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断即可； （2）画树状图列举出所有等可能的结果，找出两人选择不同项目的结果数，利用概率公式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：粒粒从个项目中随机选择一个项目，选中“D．医疗辅助”可能发生也可能不发生，故事件为随机事件； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人选择不同志愿者服务项目的结果有种， 两人选择不同志愿者服务项目的概率为． 17. 某学校准备购进台式电风扇和落地电风扇共台，每台台式电风扇的价格比落地电风扇便宜元，购进台台式电风扇和台落地电风扇恰好用去元． （1）台式电风扇和落地电风扇的单价分别为多少元？ （2）学校准备用不超过元的金额购买这两种电风扇，问至多能购买多少台落地电风扇？ 【答案】（1） 台式电风扇单价为元，落地电风扇单价为元 （2） 至多能购买台落地电风扇 【解析】 【分析】（1）根据两种风扇的价格差和给定条件下的总花费列二元一次方程组求解即可； （2）设出落地电风扇的购买数量，根据总费用不超过元列一元一次不等式，求解后取符合实际意义的最大整数即可． 【小问1详解】 解：设台式电风扇的单价为元，落地电风扇的单价为元， 根据题意得，解得； 答：台式电风扇单价为元，落地电风扇单价为元； 【小问2详解】 解：设购买落地电风扇台，则购买台式电风扇台， 根据题意得： ，解得， 为非负整数，  的最大值为． 答：至多能购买台落地电风扇． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在一节数学探究拓展课上，老师展示了一个几何图形，引导同学们深入探究圆的相关性质．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据证明，得出，根据切线的判定推出即可； （2）求出，根据相似三角形的判定推出，根据相似三角形的性质得出，设，则，代入后求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵C在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴ ． 19. 如图，在中，，边在轴上，反比例函数的图象交于点，交于点．已知，． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，即可得出结果； （2）利用相似三角形对应边成比例，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可. 【小问1详解】 解：作轴， ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵点在的图象上， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 20. 如图1是某剧院连排座椅靠背及置物小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和置物小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）在图2中，__________； （2）靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若观众的水杯竖直放在处（水杯宽度不计），出于安全考虑，要求水杯顶端点到靠背竖直方向的距离不得小于． ①在图3中，__________； ②求观众的水杯的最大高度． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）作，由题意可知，则，结合，可以计算出； （2）①根据平行线的性质可得； ②延长交于点M，先推导出，得到，则，求出，得到，则观众水杯的最大高度约为，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，过点B作， 由（1），可知， ∵， ∴． ②如图，延长交于点M， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∵水杯顶端点到靠背竖直方向的距离不得小于， ∴， 即， 解得， ∴， 即， ∴观众水杯的最大高度约为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某中学为响应2026年江西省“文脉承古今，书香润赣鄱”全民阅读活动，提升学生阅读素养，组织八、九年级学生进行“赣鄱文化与经典阅读”主题知识竞赛．从这两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（单位：分）进行整理，分成5组：（A．；B．；C．；D．；E．），并绘制了如下两幅尚不完整的统计图表． 八年级50名学生竞赛成绩统计表 九年级50名学生竞赛成绩频数分布直方图 组别 频数 A 5 B C 12 D E 4 已知八年级50名学生竞赛成绩的中位数为76分，竞赛成绩在C组的具体数据是： 70，71，73，73，74，75，76，76，77，78，78，79 请根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________； （2）①补全频数分布直方图； ②小明认为无法从样本的统计图中得知九年级学生竞赛成绩的中位数，所以不能从中位数的角度判断哪个年级的学生竞赛成绩更好．他的说法是否正确，请说明理由； （3）若该校八年级有1200名学生，九年级有1000名学生，竞赛成绩不低于80分为优秀，根据样本数据，估计八、九年级此次竞赛共有多少名学生达到优秀； （4）为了提升学生的阅读素养，结合本次“赣鄱文化与经典阅读”主题知识竞赛成绩的统计结果，请你提出一条合理的建议． 【答案】（1）13，16 （2）①见详解，②不正确，理由见详解 （3）估计八、九年级此次竞赛共有名学生达到优秀 （4）见详解 【解析】 【分析】（1）先理解题意，结合中位数的定义以及观察八年级学生的竞赛成绩在C组的具体数据，进行列式计算，即可得出，，即可作答． （2）①先理解题意，列式计算得出九年级竞赛成绩在D组的学生的人数为名，最后补全频数分布直方图，即可作答． ②理解题意，结合中位数的定义，得出九年级中位数不低于分，再根据八年级50名学生竞赛成绩的中位数为76分，进行分析比较，即可作答． （3）运用样本估计总体的公式列式计算，即可作答． （4）理解题意，结合对比八九年级的竞赛成绩，建议学校针对八年级学生开展阅读帮扶活动，进一步提升八年级学生的阅读素养和成绩，即可作答． 【小问1详解】 解：∵八年级50名学生竞赛成绩的中位数为76分，观察八年级学生的竞赛成绩在C组的具体数据， 即先把数据从小到大排序，中位数位于第名和第名位置， ∴C组的两个76分的竞赛成绩分别是第名和第名，低于76分的频数为6 ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①由（1）得， 即九年级竞赛成绩在D组的学生的人数为名， 补全频数分布直方图： ②小明说法是不正确，理由如下： 依题意，先把九年级的50名学生的成绩从小到大排序，中位数位于第名和第名位置， 观察①中的频数分布直方图，， 则第名和第名位于D组中的， ∴九年级中位数不低于分， ∵八年级50名学生竞赛成绩的中位数为76分，且 ∴九年级成绩更好， 因此小明说法是不正确的． 【小问3详解】 解：依题意，（名）， ∴根据样本数据，估计八、九年级此次竞赛共有名学生达到优秀． 【小问4详解】 解：依题意，建议学校针对八年级学生开展阅读帮扶活动，进一步提升八年级学生的阅读素养和成绩（答案不唯一）． 22. 为弘扬伟大抗战精神，在抗日阅兵主题实践活动中，某兴趣小组模拟抗战时期的武器原理，设计了“水流导弹”演示装置（图1）．该装置发射的水流导弹运动轨迹呈抛物线形状，象征着中华民族抵御外敌的坚定轨迹．经过精准测量，水流导弹发射后，距离发射点水平距离40米时达到最大高度20米．活动场地模拟抗战时期山地战场，将“水流导弹”发射装置稳固安置在山坡底部的点处（模拟我军阵地），山坡上点处模拟敌军碉堡遗址，碉堡底部点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为12米；为还原战场标识场景，在碉堡顶端设置了模拟敌军信号旗，旗帜顶端比碉堡底部高出3米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）判断水流导弹能否越过旗帜顶端，以此检验装置模拟打击的有效性？请说明理由； （3）若要使水流导弹恰好击中旗帜顶端（模拟精准打击目标），在抛物线形状不变的情况下，“水流导弹”发射装置应该向后移动多少米？ 【答案】（1） （2）能，理由见解析 （3）向后移动米 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据题意设设抛物线的解析式为，再把代入即可得到答案； （2）把代入解析式，可得，再进一步进行判断即可； （3）设此时抛物线的解析式为．把点代入，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 即， 解得， 水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：能，理由如下： 由题可知，点的横坐标为50，纵坐标为， 点． 依题意，把代入解析式， 得， ∴水流导弹能越过旗帜顶端． 【小问3详解】 解：由（1）得， ∵水流导弹恰好击中旗帜顶端，且抛物线形状不变， ， 设“水流导弹”发射装置应该向后移动米， 此时抛物线的解析式为． 把点代入， ∴ ∴ 得． 当时，； 当时，（舍去）． “水流导弹”发射装置应该向后移动米． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． （1）如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，．把绕点顺时针旋转至，试探究，，之间的关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以点为顶点的，，与，边分别交于，两点．你认为（1）的结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，点，是边上的两点，且．请写出，，之间的关系，并说明理由； （4）如图4，在菱形中，，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于点，，当时，求证： 【答案】（1），理由见解析 （2）结论依然成立，理由见解析 （3），理由见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）先推导出，，，继而证明出，得到，则，再根据，得到，即可解答； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，先推导出，得到F、D、G三点共线，求出，继而推导出，得到，则，再根据，得到，即可解答； （3）将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接，先推导出，，，，，再根据，得到，则，根据勾股定理，得到，则； （4）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接HN，先推导出，继而证明，得到，，，可推导出，由勾股定理得到，则，即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由旋转性质得， ∴，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：结论依然成立，理由如下： 将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，如图 由旋转性质得， ∴，，，， ∵， ∴， ∴F、D、G三点共线． ∴， ∵， ∴． ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接，如图 由旋转性质得， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即是直角三角形． ∴， ∵， ∴． ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 证明：将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接，如图 ∵四边形是菱形， ∴，，为对角线， ∴． 由旋转性质得， ∴，，， ． ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即为直角三角形． 由勾股定理，得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学（七） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，最大的无理数是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为24.8万人，将24.8万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年5月1日，赣超首轮赛事开赛，南昌国际体育中心迎来了60163位观众．为了解这些观众所支持的队伍，米米随机采访了1000名观众，并进行统计分析．下列说法正确的是（ ） A. 这种调查方式是全面调查 B. 60163位观众所支持的队伍是总体 C. 60163是样本容量 D. 1000位观众是总体的一个样本 6. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ；；；；为任何实数时，都有．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：__________． 8. 若，是一元二次方程的两根，则__________． 9. 有一列按照一定规律写出的单项式：0，，，，，…．这列单项式中的第25个单项式是__________． 10. 大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 11. 我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 12. 如图，在中，，，点是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转得到点，连接，．若是轴对称图形，则旋转角为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组： 14. 先化简，再求值：，在1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 15. 如图，为菱形的对角线，点为线段的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作直线，使得； （2）如图2，在边上找点，使得． 16. 年月日上午，南昌鄱阳湖半程马拉松鸣枪开跑！名跑友齐聚英雄城，在鲤鱼洲白鹤小镇最美赛道激情奔跑．赛场内外，名“小白鹤”志愿者默默护航．米米和粒粒随机选择一项志愿者服务（假设选择每一项的可能性相同），项目如下：A．赛道指引；B．能量补给；C．物资分发；D．医疗辅助． （1）粒粒选择项目“D．医疗辅助”是__________事件； A．必然 B．不可能 C．随机 （2）请用画树状图或列表的方法，求两人选择不同志愿者服务项目的概率． 17. 某学校准备购进台式电风扇和落地电风扇共台，每台台式电风扇的价格比落地电风扇便宜元，购进台台式电风扇和台落地电风扇恰好用去元． （1）台式电风扇和落地电风扇的单价分别为多少元？ （2）学校准备用不超过元的金额购买这两种电风扇，问至多能购买多少台落地电风扇？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在一节数学探究拓展课上，老师展示了一个几何图形，引导同学们深入探究圆的相关性质．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 19. 如图，在中，，边在轴上，反比例函数的图象交于点，交于点．已知，． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，求直线的解析式． 20. 如图1是某剧院连排座椅靠背及置物小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和置物小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）在图2中，__________； （2）靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若观众的水杯竖直放在处（水杯宽度不计），出于安全考虑，要求水杯顶端点到靠背竖直方向的距离不得小于． ①在图3中，__________； ②求观众的水杯的最大高度． （参考数据：，，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某中学为响应2026年江西省“文脉承古今，书香润赣鄱”全民阅读活动，提升学生阅读素养，组织八、九年级学生进行“赣鄱文化与经典阅读”主题知识竞赛．从这两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（单位：分）进行整理，分成5组：（A．；B．；C．；D．；E．），并绘制了如下两幅尚不完整的统计图表． 八年级50名学生竞赛成绩统计表 九年级50名学生竞赛成绩频数分布直方图 组别 频数 A 5 B C 12 D E 4 已知八年级50名学生竞赛成绩的中位数为76分，竞赛成绩在C组的具体数据是： 70，71，73，73，74，75，76，76，77，78，78，79 请根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________； （2）①补全频数分布直方图； ②小明认为无法从样本的统计图中得知九年级学生竞赛成绩的中位数，所以不能从中位数的角度判断哪个年级的学生竞赛成绩更好．他的说法是否正确，请说明理由； （3）若该校八年级有1200名学生，九年级有1000名学生，竞赛成绩不低于80分为优秀，根据样本数据，估计八、九年级此次竞赛共有多少名学生达到优秀； （4）为了提升学生的阅读素养，结合本次“赣鄱文化与经典阅读”主题知识竞赛成绩的统计结果，请你提出一条合理的建议． 22. 为弘扬伟大抗战精神，在抗日阅兵主题实践活动中，某兴趣小组模拟抗战时期的武器原理，设计了“水流导弹”演示装置（图1）．该装置发射的水流导弹运动轨迹呈抛物线形状，象征着中华民族抵御外敌的坚定轨迹．经过精准测量，水流导弹发射后，距离发射点水平距离40米时达到最大高度20米．活动场地模拟抗战时期山地战场，将“水流导弹”发射装置稳固安置在山坡底部的点处（模拟我军阵地），山坡上点处模拟敌军碉堡遗址，碉堡底部点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为12米；为还原战场标识场景，在碉堡顶端设置了模拟敌军信号旗，旗帜顶端比碉堡底部高出3米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）判断水流导弹能否越过旗帜顶端，以此检验装置模拟打击的有效性？请说明理由； （3）若要使水流导弹恰好击中旗帜顶端（模拟精准打击目标），在抛物线形状不变的情况下，“水流导弹”发射装置应该向后移动多少米？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． （1）如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，．把绕点顺时针旋转至，试探究，，之间的关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以点为顶点的，，与，边分别交于，两点．你认为（1）的结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，点，是边上的两点，且．请写出，，之间的关系，并说明理由； （4）如图4，在菱形中，，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于点，，当时，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $