6.4.3第一课时 余弦定理（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦余弦定理新授课，以“概念辨析-定理解三角形-边角互化应用”为分层路径，题量4:5:6递进，强化从基础认知到综合应用的知识巩固，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题型一|余弦定理概念辨析|含条件判断与公式辨析题，如钝角三角形条件关系判断，夯实抽象能力| |题型二|定理解三角形|涉及三角形形状判断与中线计算，如已知两边一角求边，提升运算能力| |题型三|边角互化应用|包含边角转化与最值问题，如利用边角关系判断三角形形状，发展模型意识|

6.4.3余弦定理，正弦定理 （第一课时 余弦定理） 题型一 余弦定理及辨析 1．（24-25高一下·福建三明·期中）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分、必要性的定义，结合余弦定理判断题设条件间的推出关系，即可知答案． 【详解】若时，， 所以为钝角三角形； 若为钝角三角形，则不一定为钝角， 所以不一定小于零，即不一定成立， 所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件， 故选：A． 2．（23-24高一下·山东济南·阶段检测）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 3．（22-23高二上·陕西渭南·阶段检测）在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求角即可. 【详解】可整理为，所以，又，所以. 故选：B. 4．（20-21高一下·全国·课后作业）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形为锐角三角形，满足最大角的余弦值大于即可. 【详解】设角对应的边为， 当是最大边时，，所以， 当不是最大边时，，所以， 所以的取值范围是， 故选：C. 题型二 余弦定理解三角形 5．（25-26高一下·河北·期中）的内角的对边分别为．若，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】已知 由余弦定理：， 所以． 6．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 7．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，，，，则（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度. 【详解】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 题型三 余弦定理边角互化的应用 9．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据题意，利用余弦定理，化简求得，得到，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得，整理得， 因为，所以，所以为等腰三角形. 10．（25-26高一下·福建·阶段检测）已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】，， 由余弦定理可得，去分母得：，即， 则为直角三角形. 11．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 12．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 13．（2026·北京西城·二模）在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】先由三角形大边对大角判定边长所对的角是最大内角，再直接套用余弦定理，把代入式子化简计算，即可求出最大内角的余弦值. 【详解】在中，三边，，，根据大边对大角. 最长边所对的角为最大内角. 由余弦定理：. 代入得：. 14．（25-26高一下·广东惠州·期中）在中，已知，角______. 【答案】 【详解】因为中，已知， 由余弦定理得， 因为，所以. 15．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】第一空：由是中点得到，由是中点得到，由是中点得到，将、代入可得.第二空：①将用表达；②求出后结合余弦定理和基本不等式求乘积的最大值，从而求得的最大值. 【详解】第一空： 是中点，故， 是中点，故， 是中点，故， 将、代入可得： ， ， ， ， . 第二空： 由，得：， ， ， 又，， 在中由余弦定理： ， 即， 即，即， 又， 将与， ， 又， 解得 ，当且仅当时取等号， 则， 故. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3余弦定理，正弦定理 （第一课时 余弦定理） 题型一 余弦定理及辨析 1．（24-25高一下·福建三明·期中）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 2．（23-24高一下·山东济南·阶段检测）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·陕西渭南·阶段检测）在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·全国·课后作业）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 余弦定理解三角形 5．（25-26高一下·河北·期中）的内角的对边分别为．若，则（    ） A．6 B． C．4 D． 6．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 7．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，，，，则（     ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 题型三 余弦定理边角互化的应用 9．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 10．（25-26高一下·福建·阶段检测）已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 11．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 13．（2026·北京西城·二模）在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________. 14．（25-26高一下·广东惠州·期中）在中，已知，角______. 15．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $