6.4.3 余弦定理、正弦定理 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的 （ ） A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为 （ ） A．50 m　B．50 m　C．25 m　D． m 3．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于(忽略人的身高)(参考数据：≈1.732) （ ） A．49米 B．51米 C．54米 D．57米 4．一艘海盗船从C处以30 km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°且距离为30 km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为 （ ） A．30 km/h B．40 km/h C．50 km/h D．30 km/h 5．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC＝15°，在A地测得最高点H的仰角∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为 （ ） A．210(＋)米 B．140米 C．210米 D．20(－)米 二、多项选择题 6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果距离出发点恰好 km，则x的值为 （ ） A． B．2 C．2 D．3 7．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos ∠AOB＝－，则 （ ） A．此山的高PO＝ km B．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C．PA＝2 km D．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 三、填空题 8．为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了60海里到达海岛C，若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC为________海里． 9．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时． 四、解答题 10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？ 11．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α. 能力提升练 12．两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 13．在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，则震中A到B，C，D三市的距离分别为____________________． 14．三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊(1713～1762年)和他的学生拉朗德(1732～1807年)利用三角测量法首次精确地计算出地月距离．他们的测量方案是：拉朗德和拉卡伊分别在观测地德国柏林(A点)和非洲南端的好望角(B点)，这两个地方经度相近，可看作在同一经度线上，纬度分别是北纬β1和南纬β2，他们同一时间分别在这两个地方进行观测．如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即ACBO是平面四边形时，在A点(柏林)测出月亮的天顶距α1(即离开头顶方向的角度)，在B点(好望角)测出月亮的天顶距α2.在△AOB中求出AB和∠OAB，在此基础上，解△ABC，求出地月距离的近似值AC或BC.设地球的半径为R，利用测量方案中提供的数据(α1，α2，β1，β2，R)，求： （1）∠OAB和AB； （2）BC. 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的 （ ） A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 解析：由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D. 答案：D 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为 （ ） A．50 m　B．50 m　C．25 m　D． m 解析：∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得AB＝100×＝50(m). 答案：A 3．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于 （ ） (忽略人的身高)(参考数据：≈1.732) A．49米 B．51米 C．54米 D．57米 解析：设滕王阁的高度为h，由题设知：∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan ∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米．故选D. 答案：D 4．一艘海盗船从C处以30 km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°且距离为30 km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为 （ ） A．30 km/h B．40 km/h C．50 km/h D．30 km/h 解析：如图，设在B处两船相遇，则由题意可得∠ACB＝120°，A＝30°，则B＝30°，△ABC是等腰三角形，则BC＝30，所以海盗船需1 h到达B处．在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝30，则海警船每小时至少航行30 km，即速度至少为30 km/h. 答案：D 5．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC＝15°，在A地测得最高点H的仰角∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为 （ ） A．210(＋)米 B．140米 C．210米 D．20(－)米 解析：在△ABC中，设AC＝x，则BC＝x－40，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2·AC·AB·cos ∠BAC，即(x－40)2＝x2＋1002－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝15°＋30°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.由正弦定理得＝，即＝，解得CH＝140. 答案：B 二、多项选择题 6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果距离出发点恰好 km，则x的值为 （ ） A． B．2 C．2 D．3 解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，∴x2－3x＋6＝0，解得x＝2或x＝. 答案：AB 7．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos ∠AOB＝－，则 （ ） A．此山的高PO＝ km B．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C．PA＝2 km D．小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 解析：由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝(km)，所以cos ∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，从而PA＝2 km. 易知sin ∠AOB＝，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为＝.又AO>BO，所以最小仰角为30°.故选BCD. 答案：BCD 三、填空题 8．为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了60海里到达海岛C，若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC为________海里． 解析：如图，由题意可得∠BAC＝30°＋15°＝45°，∠ABC＝75°＋45°＝120°，BC＝60，在△ABC中，运用正弦定理得＝，∴AC＝60××＝60. 答案：60 9．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时． 解析：设t小时内，B城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°＝302，即4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.故|t1－t2|＝＝＝1. 答案：1 四、解答题 10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？ 解：在△BCD中，∠BDC＝30°＋15°＝45°，∠CBD＝180°－45°－105°＝30°，CD＝10米，由正弦定理，得BC＝＝20(米)，在Rt△ABC中，AB＝BC sin 60°＝20×＝30(米).所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒). 11．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α. 解：（1）依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196， 解得BC＝14，v甲＝＝7， 所以渔船甲的速度为7 n mile/h. （2）在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α. 由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. 能力提升练 12．两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos ∠CAD＝＝ ＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案：B 13．在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，则震中A到B，C，D三市的距离分别为____________________． 解析：由题意得，在△ABC中，AB－AC＝1.5×8＝12(km).在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).设AC＝x km，则AB＝(12＋x) km，AD＝(30＋x) km.在△ABC中，cos ∠ACB＝＝＝，在△ACD中，cos ∠ACD＝＝＝.∵B，C，D在一条直线上， ∴＝－，即＝，解得x＝，即AC＝(km).∴AB＝(km)，AD＝(km). 答案： km、 km、 km 14．三角学起源于土地和天文学中的测量.1752年，法国天文学家拉卡伊(1713～1762年)和他的学生拉朗德(1732～1807年)利用三角测量法首次精确地计算出地月距离．他们的测量方案是：拉朗德和拉卡伊分别在观测地德国柏林(A点)和非洲南端的好望角(B点)，这两个地方经度相近，可看作在同一经度线上，纬度分别是北纬β1和南纬β2，他们同一时间分别在这两个地方进行观测．如图所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即ACBO是平面四边形时，在A点(柏林)测出月亮的天顶距α1(即离开头顶方向的角度)，在B点(好望角)测出月亮的天顶距α2.在△AOB中求出AB和∠OAB，在此基础上，解△ABC，求出地月距离的近似值AC或BC.设地球的半径为R，利用测量方案中提供的数据(α1，α2，β1，β2，R)，求： （1）∠OAB和AB； （2）BC. 解：（1）由题意可得∠AOE＝β1，∠BOE＝β2，∠CAO＝π－α1，∠CBO＝π－α2， AO＝BO＝R， 则△AOB为等腰三角形，顶角∠AOB＝β1＋β2， 所以∠OAB＝， 由余弦定理得AB2＝AO2＋BO2－2AO·BO·cos ∠AOB＝2R2·[1－cos (β1＋β2)]， 即AB＝. （2）由（1）可得∠CAB＝π－－α1 ＝－α1， ∠CBA＝π－－α2 ＝－α2， ∠C＝π－[－α1＋－α2] ＝(α1＋α2)－(β1＋β2)， 由正弦定理解△ABC可得＝⇒BC＝·. 学科网（北京）股份有限公司 $