6.4.3余弦定理，正弦定理（第二课时 正弦定理）（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习以正弦定理为核心，通过七级题型分层设计，实现从概念辨析到综合应用的渐进式知识巩固，适配新授课后基础夯实与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|正弦定理概念与辨析|以充要条件判断题（第2题）强化定理本质理解，培养抽象能力| |基本应用层|定理直接应用（解三角形、判断解的个数、求外接圆半径）|通过解三角形（第4题）、判断三角形个数（第7题）训练运算能力，巩固推理意识| |综合拓展层|边角互化、面积公式、射影公式及开放探究|结合面积公式（第16题）、射影公式（第19题）及取值范围题（第22题），发展应用意识与创新思维|

6.4.3余弦定理，正弦定理 （第二课时 正弦定理） 题型一 正弦定理及辨析 1．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 题型二 正弦定理解三角形 4．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）的内角所对的边分别为，若，则为（    ） A． B．或 C． D． 5．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 正弦定理判断三角形的个数 7．（21-22高二上·吉林长春·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 8．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 题型四 正弦定理求外接圆半径 10．（25-26高一下·河北·期中）已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 题型五 正弦定理边角互化的应用 13．（25-26高二下·河南驻马店·期末）在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·广东广州·三模）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·河北沧州·期中）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 题型六 三角形面积公式及其应用 16．（25-26高一下·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 17．（25-26高一下·河南郑州·期中）在中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若且，则的形状是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 题型七 射影公式 19．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 21．（21-22高一下·吉林长春·阶段检测）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 22．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________． 23．（2026·北京·三模）在中，若，是的平分线，，则的长为______． 24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3余弦定理，正弦定理 （第二课时 正弦定理） 题型一 正弦定理及辨析 1．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，得. 所以. 2．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 题型二 正弦定理解三角形 4．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）的内角所对的边分别为，若，则为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 故. 5．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 6．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 题型三 正弦定理判断三角形的个数 7．（21-22高二上·吉林长春·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 8．（25-26高一下·山东济宁·期中）在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据与的大小关系确定解的个数. 【详解】由于， 所以， 所以的解的个数是. 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据判断即可. 【详解】因为，所以 所以，即， 所以这样的三角形解的个数为2个，如图. 题型四 正弦定理求外接圆半径 10．（25-26高一下·河北·期中）已知的三边长分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的内角的对边分别为，不妨设， 由余弦定理可得，因为，所以， 由正弦定理得的外接圆直径，即， 所以的外接圆面积为． 11．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角形面积公式求出 ，再根据锐角三角形确定 ，进而求出 ．然后利用余弦定理求出 ，最后由正弦定理 求外接圆半径． 【详解】因为锐角 的面积为 ，且 ，，所以由三角形面积公式可得 将 ， 代入，得. 所以，即. 因为 是锐角三角形，所以，从而. 由余弦定理，得. 代入 ，，，得. 因此. 设 外接圆的半径为 ． 由正弦定理可得. 所以，故. 12．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ） A．2π B．4π C．2 D．1 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 题型五 正弦定理边角互化的应用 13．（25-26高二下·河南驻马店·期末）在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长； 【详解】由和正弦定理得，即， 因为，所以，又因，则， 由余弦定理，，因，所以，； 在中，由解得， 由正弦定理得的外接圆的半径为， 所以外接圆的周长. 14．（2026·广东广州·三模）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形面积建立等量关系，可得，再根据正弦定理，化简求值即可. 【详解】在中，由及的面积为，得， 即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 15．（25-26高一下·河北沧州·期中）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理，， 不妨设，，， 则由余弦定理，， 因为，所以． 题型六 三角形面积公式及其应用 16．（25-26高一下·吉林长春·期中）在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】先根据正弦定理及余弦定理求出，从而得到，再根据数量积的定义得到，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 17．（25-26高一下·河南郑州·期中）在中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若且，则的形状是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示， 在边AB、AC上分别取点D、E，使， 以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE，则，显然， 因此平行四边形ADFE为菱形，AF平分，而， 则有，即，于是得是等腰三角形， 即，而， 因此有，从而得，所以是等边三角形. 18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 题型七 射影公式 19．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得， 三角形面积，则， 即， ， ， ， ． 20．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 21．（21-22高一下·吉林长春·阶段检测）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则， 所以. 故选：B 22．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由已知条件结合正弦定理表示、，并计算得到的值，利用锐角三角形内角范围求出的范围，再由和差角公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得， ，，， . ， ，，， . 故答案为：. 23．（2026·北京·三模）在中，若，是的平分线，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的三角函数关系及二倍角公式求出及，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，. 设，则，，解得，，. 由余弦定理得， 又，则.    所以，解得. 因为是的平分线，所以，， 所以， 又，所以. 又， 所以，即， 解得. 24．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 【答案】 【分析】在△中利用正弦定理求解出，再在△中利用正弦定理求解出. 【详解】△中，由正弦定理得：， 因为为锐角，所以，从而，所以， 从而，△中，由正弦定理，所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $