6.4.3 第2课时 余弦定理、正弦定理的实际应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

第2课时　余弦定理、正弦定理的实际应用 基础过关练 题组一　距离问题 1.(2025广东深圳南头中学期中)某大学校园内有一个湖,湖的两侧有一个音乐教室A和一个图书馆B,如图,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是不同的测量方案: ①测量∠A,∠B,∠C;②测量∠A,∠B,BC; ③测量∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC. 要求能唯一确定A,B两地之间的距离,则甲同学应选择的方案的序号为(　　) A.①②　　B.②③　　C.②④　　D.③④ 2.(2025广东广州广雅中学月考)如图,从无人机A上测得峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(+1) m,则峡谷的宽度BC是(　　) A.60 m　　B.60(+1) m　　 C.30 m　　D.30(±1) m 3.(2025山东青岛第三十九中学月考)如图,为了测量河对岸两点C,D间的距离,在沿岸相距2 km的两点A,B处分别测得∠BAC=105°,∠BAD=60°,∠ABC=45°,∠ABD=60°,则C,D间的距离为(　　) A. km　　B. km　　C.2 km　　D.2 km 4.(2025江苏南京临江高级中学月考)如图,某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C均相距5海里,与小岛D相距3海里,∠BAD为钝角,且sin∠BAD=. (1)求小岛A与小岛D之间的距离; (2)求四个小岛所形成的四边形的面积. 题组二　高度问题 5.(2025江苏苏州中学期中)小张同学为测量某建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点处测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为10 m,则该建筑物的高度为(　　) A.5(+1) m　　B.10(+1) m　　 C.5 m　　D.10 m 6.(2025湖南常德第一中学期中)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得山底C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　m.  7.(2025江苏无锡天一中学月考)小明同学为了估算某教堂的高度,在其正东方向找到了一座高为(15-15)m的建筑物AB,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°,则小明估算该教堂的高度为　　　　m.  题组三　角度问题 8.(2025湖南邵东第四中学期中)位于灯塔A处正西方相距15海里的B处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距5海里的C处有一艘乙船,则乙船前往B处支援甲船需要航行的距离是(　　) A.5海里　　B.5海里　　 C.4海里　　D.20海里 9.(2025河南创新发展联盟段考)如图所示的是地动仪的模型图,地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位,每个方位上均有一个含龙珠的龙头,且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应,任何一方如有地震发生,该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中,由此便可测出地震的方向.在相距200 km的A,B两地各放置一个地动仪,A在B的南偏西30°方向上,若A地地动仪正东方位的龙珠落下,B地地动仪东南方位的龙珠落下,则震中的位置距离B地　　(　　) A.50 km　　B.100 km C.100(+1) km　　D.120(+1) km 10.(2025安徽安庆怀宁高河中学月考)为丰富学生的课余活动,体育组陈老师和学生们一起做游戏:陈老师站在A处,让甲同学站在A处北偏东45°方向,距离A处(-1)km的B处,并让站在A处北偏西75°方向,距离A处2 km的C处的乙同学以10 km/h的速度去追甲同学.此时,甲同学正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°的方向奔跑,则乙同学沿什么方向能最快追上甲同学? 能力提升练 题组　正、余弦定理的实际应用 1.(2025江西景德镇模拟)如图,圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的,且与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,太阳光与圭面所成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,过投影点与日影垂直的线为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至,过投影点与日影垂直的线为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°,夏至正午太阳高度角为θ,表高42厘米,圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米,则sin(θ-36.9°)的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选题)(2025河南信阳高级中学月考)如图,为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC,测量船沿航线DA航行,且DA与AC在同一铅垂平面内,测量船在D处测得∠BDA=α,∠CDA=β,然后沿航线DA向海岛的方向航行到达E处,且DE=m,测得∠BEA=γ,∠CEA=δ(δ>γ>β>α,测量船的高度忽略不计),则(　　) A.AB=　　B.BD= C.BC=　　D.CD= 3.(2024云南昆明模拟)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态:地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆,三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时,测出∠SE0M=;行星M绕太阳运动一周回到原来位置,地球运动到了E1位置,测出∠SE1M=,∠E1SE0=.若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据:≈1.7)(　　) A.2.1R　　B.2.2R　　 C.2.3R　　D.2.4R 4.(2025重庆万州第二高级中学月考)如图,某数学学习小组为测量雕像的高度,在地面上选取共线的三点A,B,C,分别测得雕像顶的仰角为60°,45°,30°,且AB=BC=10米,则雕像的高度为　　　　米.  5.(2025陕西咸阳实验中学月考)如图,用无人机测量一座小山的高度与该山最高处的古塔AB的高度,无人机的航线与塔AB在同一铅垂平面内,无人机飞行的高度为500 m,在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45°,塔顶B的俯角为30°,无人机沿水平线CE飞行50 m到达D处,测得塔底A的俯角为75°,则该座小山的高度为　　　　m;古塔AB的高度为　　　　m.  6.(2025福建福州格致中学月考)某景区为打造景区风景亮点,欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上A,B两点之间建一条观光通道,如图所示.在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离,视湖面与地平面为同一平面)内距离B点50米的C点处建一凉亭,距离B点70米的D点处再建一凉亭,测得∠ACB=∠ACD,cos∠ACB=. (1)求sin∠BDC的值; (2)测得AC=AD,观光通道每米的造价为2 000元,若景区准备了8万元的预算资金建观光通道,则预算资金够用吗? 7.(2025广东深圳中学期中)如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30°方向,且与A相距(+)海里的B处有一艘走私船,正沿东偏南45°方向以3海里/时的速度向海岸行驶,巡逻艇立即以2海里/时的速度沿着正东方向直线追去,1小时后,巡逻艇到达C处,走私船到达D处,此时走私船发现了巡逻艇,立即改变航向,以原速向正东方向逃窜,巡逻艇立即加速以3海里/时的速度追击. (1)当走私船发现巡逻艇时,两者相距多少海里? (2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船? 答案与分层梯度式解析 第2课时　余弦定理、正弦定理的实际应用 基础过关练 1.C 2.A 3.C 5.A 8.B 9.B 1.C　①测量∠A,∠B,∠C,即知道三个角的度数,则三角形有无数组解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;②测量∠A,∠B,BC,即已知两角及其中一角的对边,则由正弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离;③测量∠A,AC,BC,即已知两边及其中一边的对角,则由正弦定理可知,三角形可能有2个解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;④测量∠C,AC,BC,即已知两边及其夹角,则由余弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离. 综上可得,能唯一确定A,B两地之间距离的方案的序号是②④. 2.A　依题意得∠CAD=90°-30°=60°,∠BAD=90°-75°=15°,tan 15°=tan(60°-45°)===2-, 则BD=ADtan 15°=15(+1)×(2-)=15(-1), CD=ADtan 60°=15(+1)×=15(3+), 所以峡谷的宽度BC=CD-BD=15(3+)-15(-1)=60(m). 3.C　在△ABC中,由正弦定理得=, 即=,得BC=4sin 105°=4sin 75°, 在△ABD中,∠ABD=∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形,则BD=AB=2, 在△BCD中,∠DBC=15°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC=16sin275°+4-2×4sin 75°×2×cos 15°=16sin275°+4-16sin 75°sin 75°=4, 所以CD=2,即C,D间的距离为2 km. 规律总结 　　1.当A,B两点不相通,但均可到达时,选取点C,测出AC,BC,∠ACB,用余弦定理求出AB; 2.当A,B两点可视,但有一点B不可到达时,选取点C,测出∠CAB,∠ACB和AC,用正弦定理求出AB; 3.当A,B两点都不可到达时,选取对A,B可视的点C,D,测出∠BCA,∠BDA,∠ACD,∠BDC和CD,用正弦定理和余弦定理求出AB. 4.解析　(1)因为∠BAD为钝角,且sin∠BAD=, 所以cos∠BAD=-, 在△ABD中,AB=5,BD=3, 由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD, 即45=AD2+25-2×5×AD×, 整理得AD2+8AD-20=0,解得AD=2(负值舍去),故小岛A与小岛D之间的距离为 2海里. (2)因为A,B,C,D四点共圆,所以cos C=cos(π-A)=-cos A=,又C∈,所以sin C=, 在△CBD中,BC=5,BD=3,由余弦定理得45=CD2+25-2×5×CD×, 整理得CD2-8CD-20=0,解得CD=10(负值舍去). 所以四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=×5×2×+×5×10×=18(平方海里). 5.A　如图所示, 设CD=h,则BC=h,AC=2h,且∠ACB=15°, 在△ABC中,由正弦定理得=,即=,则h=, 因为sin 15°=sin(60°-45°)=×-×=, 所以h==5(+1),故该建筑物的高度为5(+1) m. 6.答案　100 解析　由题可得∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,则∠BCA=45°. 在△ABC中,由正弦定理得=,则CB===300(m). 在Rt△CBD中,∠CBD=30°,∠DCB=90°, 所以tan∠CBD==,则CD=CB=100(m). 7.答案　30 解析　由题意知∠CAM=45°,∠AMC=180°-15°-60°=105°,所以∠ACM=180°-105°-45°=30°, 在Rt△ABM中,AM==, 在△ACM中,由正弦定理得=, 所以CM==, 在Rt△DCM中,CD=CM·sin 60°===30, 所以小明估算该教堂的高度为30 m. 8.B　根据题意,画出示意图如下,则∠BAC=135°, 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 135° =152+(5)2-2×15×5×=425, 所以BC==5,则乙船航行的距离为5海里. 9.B　如图,设震中的位置为C地. 由题意得,∠BAC=60°,∠C=45°,AB=200, 在△ABC中,由正弦定理可得=,则BC===100,故震中的位置距离B地100 km. 10.解析　如图,设乙同学需要用t h在D处追上甲同学,则CD=10t,BD=10t, 在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=120°, 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=+22-2×(-1)×2×cos 120°=6, ∴BC=,由正弦定理可得sin∠ABC=·sin∠BAC=×=, ∴∠ABC=45°,则B在C的正东方向上. 在△BCD中,∠CBD=90°+30°=120°, 由正弦定理得sin∠BCD===, ∴∠BCD=30°,即乙同学沿北偏东60°的方向能最快追上甲同学. 能力提升练 1.C 2.BD 3.A 1.C　如图,tan∠ABC=tan 36.9°=,AC=42,∴BC=56. 又BD=50,∴CD=6,在Rt△ACD中,根据勾股定理,可得AD=30. 在△ABD中,根据正弦定理可知=, 即=,解得sin(θ-36.9°)=. 一题多解 　　同上述分析得CD=6, 则tan θ==7, ∴tan(θ-36.9°)===1,∴sin(θ-36.9°)=. 2.BD　在△BDE中,∠BDE=α,∠DBE=∠BEA-∠BDE=γ-α,∠BED=π-γ, 由正弦定理得,==, 即==,所以BD=,BE=,则AB=BDsin α=,故A错误,B正确; 在△BCE中,∠BCE=-δ,∠BEC=δ-γ, 由正弦定理得,=, 所以BC==,故C错误; 对于D,在△CDE中,∠CDE=β,∠DCE=∠CEA-∠CDE=δ-β,∠CED=π-δ,由正弦定理得=, 所以CD=,故D正确. 3.A　连接E0E1,在△SE0E1中,SE0=SE1=R,又∠E1SE0=,所以△SE0E1是正三角形,E0E1=R, 由∠SE0M=,∠SE1M=,得∠E1E0M=,∠E0E1M=,在△ME0E1中,易得∠E0ME1=, 由正弦定理得=,则E1M==R, 在△SME1中,由余弦定理得SM==≈R≈2.05R,故最接近的是A选项. 4.答案　30 解析　设雕像的高度为h米,雕像底部为点O,则OA=htan 30°=h米,OB=htan 45°=h米,OC=htan 60°=h米, 在△ABO和△BCO中,分别由余弦定理的推论得cos∠ABO=,cos∠CBO=, 因为cos∠ABO=cos(π-∠CBO)=-cos∠CBO, 所以=-, 即(10)2+h2-=-(10)2-h2+(h)2, 解得h=30. 5.答案　475-25; 解析　如图,在△ACD中,CD=50,∠ACD=45°,∠ADC=105°,∠CAD=30°, 由正弦定理得==, 又sin 105°=sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=,所以AC=×=25(+), 延长AB交CE于H,则AH=ACsin∠ACD=25(+)×=25(+1), 又无人机飞行的高度为500 m,所以该座小山的高度为500-25(+1)=(475-25)m. 在△ABC中,∠ACB=45°-30°=15°,∠ABC=120°, 且sin∠ACB=sin(45°-30°)=×-×=, 由正弦定理得=,则AB=×=,故古塔AB的高度为 m. 6.解析　(1)由∠ACB=∠ACD,cos∠ACB=, 得cos∠BCD=2cos2∠ACB-1=2×-1=-, 则sin∠BCD==, 在△BCD中,由正弦定理得=,即=,所以sin∠BDC=. (2)在△BCD中,由余弦定理得702=CD2+502-2×50CD×,整理得CD2+20CD-2 400=0, 解得CD=40(CD=-60舍去). 在△ACD中,因为AC=AD, 所以cos∠ACD=cos∠ADC=cos∠ACB==, 故AC=AD=10. 在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=1 000+502-2×10×50×=1 500, 所以AB=10. 因为80 000÷2 000=40,所以8万元的资金最长能建40米的观光通道,又10<40,故预算资金够用. 7.解析　(1)由题意得,BD=3×1=3(海里),AC=2×1=2(海里),∠BAC=90°-30°=60°,AB=(+)海里, 连接BC,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(+)2+(2)2-2×(+)×2×=12, 所以BC=2 海里, 在△ABC中,由正弦定理得=,即=,所以sin∠ABC=, 故∠ABC=45°或∠ABC=135°, 又AC<BC,所以∠ABC=45°, 所以∠ACB=180°-60°-45°=75°, 若熟悉sin 75°=,则可直接利用=求解∠ACB  所以∠CBD=75°-45°=30°. 在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 30°=(2)2+32-2×2×3×=3, 所以CD= 海里, 故当走私船发现巡逻艇时,两者相距 海里. (2)设巡逻艇沿直线经过t小时恰好在E处追上走私船, 则CE=3t海里,DE=3t海里, 在△BCD中,由正弦定理得==,即==, 所以sin∠BCD=,sin∠BDC=1,故∠BCD=60°,∠BDC=90°,则∠CDE=∠ACD=135°, 在△CDE中,由正弦定理得=, 则sin∠DCE==, 故∠DCE=30°(∠DCE=150°舍去), 则∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°+30°=90°+75°, 故巡逻艇应该沿北偏东75°方向去追,才能最快追上走私船. 7 学科网（北京）股份有限公司 $