6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用举例课时同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦平面几何与物理中的向量应用，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一运算到综合应用的知识进阶，培养几何直观与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量基本运算、物理简单应用|单选（力的合成、三角形形状判断）、填空（中线长度、合力做功），巩固向量方法直接应用| |中档层|几何综合判断、多情况分析|单选（四边形面积、矩形最值）、多选（直角三角形参数）、解答（四边形形状与夹角），培养分类讨论与运算能力| |提升层|复杂几何证明、跨知识整合|多选（平面点与三角形关系）、解答（正方形中向量证明），发展逻辑推理与创新意识|

课时同步作业 6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法与向 量在物理中的应用举例 一、选择题 1.已知力F,F,的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N,合力F与E的夹角 为60°，则=() A.53N B.5N C.10N D.5V2N 2.若O为△ABC所在平面内一点，(OB-0C(CA-OB+OC)=0,则△ABC的 形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.以上答案均不正确 3.某河南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出航行到北岸，假设游船在静水 中的航行速度的大小为y1=8m/h,水流的速度的大小为v2=4km/h,设 v,和v,的夹角为O(0°<0<180)，北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵 达B处时，cos0=() B.- √5 2 c 4.在四边形ABCD中，AC=(2,-4)，BD=(2,1,则该四边形的面积为() A.5 B.2V5 c.5 D.10 5.在矩形ABCD中，AB=2AD=4,P为DC上的动点，则PA.PB-PB.AD 的最小值为() A.4 B.2 c.1 D.0 6.(多选题)在△ABC中，AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形，则 k的值可以是() A.-1 B11 3 c3+3 D.3-3 2 7.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，下列说法正确的是() A.若AB.BC=BC.CA=CA,AB,则△ABC的形状为等边三角形 B若M-号西+号C,则点M是边BC的中点 2 C.过点M任作一条直线1，再分别过顶点A,B,C,作直线I的垂线，垂足 分别为D,E,F,若AD+BE+CF=0恒成立，则点M是△ABC的垂心 D,若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上 二、填空题 8.己知在△ABC中，AB=3,边AC上的中线BD=√5，AC.AB=5,则AC 的长为一 9.一物体在F=(3,-4),F=(2,-5),E=(3,1)的共同作用下从点A1,1)移动 到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于一· 10.在△ABC所在的平面内有一点P,若2PA+PC=AB+PB,则△PBC的面积 与△ABC的面积之比是 · 三、解答题 11.在四边形ABCD中，已知A0,0),B(4,0),C(3,2),D1,2) (I)判断四边形ABCD的形状： (2)求向量AC与BD夹角的余弦值 12.如图，已知在正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD的中点，BE,CF交于点 P.求证： (I)BE⊥CF; (2)AP=AB. 参考答案 1.B 解析：因为两个力F,F,的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N,合力F与E的夹角 为60°，所以根据平面向量运算的平行四边形法则及向量的几何意义可知 E=10×cos60°=5(N) 2.B 解析：因为OB-0C(CA-OB+OC)=CB.(CA-CB=CB.BA=0,所以 CB⊥BA,所以△ABC是直角三角形. 3.D 解析：设船的实际速度为V,V,和V,的夹角为日，北岸的，点B在A的正北方向，游船正 好到达B处，则V1V2,所以cos日=-cos(π-日)=- v2-4-1 v82 4.A 解析：因为AC·BD=(2,-4)(2,1=4-4=0,所以AC1BD.又AC=2V5, B丽=5，所以四边形4BCD的而数为HCB0-×25x5=5 5.A 解析：以A为坐标原点可建立平面直角坐标系，则A0,0),B(4,0),C(4,2), D(0,2,设P(x,2),0≤x≤4， 所以PA=(-x,-2）,PB=(4-x-2）,AD=(0,2), 所以PA·PB-PB·AD=-x(4-x+4+4=x2-4x+8=(x-2)2+4,所以当x=2时， PA.PB-PB·AD取得最小值4 6.BCD 解折：若∠4为直角，则ABL AC,即AC.AB=0,则2+3张=0，得k=-2 3 若LB为直角，则BC⊥AB,即BC,AB=0 因为AB=(2,3),AC=(1,k),所以BC=(-1,k-3, 所以-2+3-9=0，解得k= 3 若∠C为直角，则BC⊥AC,即BC.AC=0 因为AB=(2,3)，,AC=1,k),所以BC=-1,k-3 所以-1+(k-3到=0，解得k=3± 2 2113+V133-V13 综上可得，k的值可能为有了2 2 7.AB 解析：如图①，作BD⊥AC于，点D,则CD=acosC,AD=ecos4,因为 BC.CA=CA:AB,所以CDAD,所以D为AC的中点，所以ABBC同理可证 ABAC,所以△ABC为等边三角形. W4B+4C→4W-}孤-C-},中双=MC,期点M是边 2 2 2 2 2 BC的中点 如图②，因为过△ABC内一，点M任作一条直线，若此直线过，点A,则AD=0,有 BE+CF=0,则有直线AM经过BC的中点，同理可得，直线BM经过AC的中点， 直线CM经过AB的中，点，所以，点M是△ABC的重心，故C错误 AM=2AB-AC→AM-AB=AB-AC,BM=CB,则点M在边CB的延长线上， 故D错误. 8.2 解析：因为BD=AD-AB=】AC-AB,所以 0-传C-西-C-ac+丽，中1，布=2，中 4 AC=2 9.-40 解析：因为E=（3,-4,F2=（2,-5),E3=（3,1, 所以合力F=E+F2+F3=(8,-8),AB=（-1,4,则 F·AB=-1×8-8×4=-40(J),即三个力的合力所做的功等于-40J 02 解析：在△ABC所在的平面内有一点P,满足2PA+PC=AB+PB,即 PA+PC=AB+PB-PA=2AB,以PA,PC为邻边构造平行四边形PANC,PN与 AC相交于，点M，则AB‖MN,且AB=MN,点B,N位于AC同侧，则几何关系如 图所示 设S.PMc=S,则SPMc=SPwM=SMMc=SNMA=SNBA=SNBC=SBP=S,则 S平行四边形PC=SP4C+S。ABN=5S-S=S=3S,所以SAc=S。ACv=2S,故 S.rac=38 3 S.ABC 2S 2 11.解：0)因为AB=(4,0),DC=(2,0),所以AB=2DC,又AD=(1,2), BC=(-L,2),所以AD=V5=BC,所以四边形ABCD为等腰梯形 (2)AC=(3,2),BD=(-3,2,故c0s<AC,BD>= AC.BD 5 ACBD 13 12证明：如图，建立平面直角坐标系Axy,其中A为原点，不妨设AB=2, 则A0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1 ①)BE=AE-AB=(1,2)-(2,0)=（-1,2, CF=AF-AC=(0,1-(2,2)=(-2,-1, 因为BE.CF=(-1)×-2)+2×-1=0, 所以BE⊥CF,即BE⊥CF. (2)设P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=（-2,-1) 因为FPIICF,所以-x=-2(y-1,即x=2y-2. 同理，由BP‖BE,得y=-2x+4,代入x=2y-2, 6 8 所以AP =4=AB, 所以APAB，即AP=AB