6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.4.1-6.4.2 向量在物理中的应用举例 [课时跟踪检测] 1.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是 (　　) A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 解析:选BD　根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短. 2.在△ABC中,若·+=0,则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C　因为·+=0,所以·(+)=0,所以·=0,所以⊥,所以∠BAC是直角,△ABC是直角三角形. 3.在四边形ABCD中,若=(1,3),=(-6,2),则该四边形的面积为 (　　) A. B.2 C.5 D.10 解析:选D　∵·=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=||||=××2=10. 4.(2025·新课标Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和.其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反,表中给出了部分风力等级、风速大小与名称的对应关系,已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则其风速等级是 (　　) 级别 名称 风速 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 解析:选A　∵视风风速a=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速b=(3,3)-(2,0)=(1,3), ∴真风风速n=a+b=(-3,-1)+(1,3)=(-2,2),真风风速大小|n|=2≈2.828, ∴风速等级是轻风. 5.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 (　　) A.40 N B.10 N C.20 N D.40 N 解析:选B　如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力. 由题意,易知当它们的夹角为90°时,|F|=|F1|=20 N, ∴|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边的平行四边形为菱形,此时|F|=|F1|=10 N.故选B. 6.已知一物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 (　　) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 解析:选D　W=(F1+F2)·s=(lg 2+lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.故选D. 7.(多选)如图,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项正确的是 (　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断减小 C.船的浮力不断减小 D.船的浮力保持不变 解析:选AC　设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ,则|F|cos θ=|f|, ∴|F|=.∵θ增大,cos θ减小, ∴|F|增大.∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小. 8.(5分)坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为　　　　.  解析:设所用时间长短为t,则=tv,即(3,6)=t(1,2),所以t=3. 答案:3 9.(5分)一条河宽400 m,一船从A出发垂直到达正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为　　　　min.  解析:∵合速度|v合|==16(km/h)=(m/min),∴t=400÷=1.5(min). 答案:1.5 10.(5分)已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=　　　　.  解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以·=-1+a2=0,所以a=1(舍负). 答案:1 11.(5分)点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的　　　　心. 解析:∵·=·,∴(-)·=0.∴·=0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高所在直线的交点,即垂心. 答案:垂 12.(10分)如图,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2, 求证:AD⊥BC. 证明:设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d, ∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知a2-b2=c2-d2, ∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,即e·(c-d)=0. ∵=+=d-c,∴·=e·(d-c)=0, ∴⊥,即AD⊥BC. 13.(10分)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? 解:如图,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=. 由题意,⊥且||=4,||=4, 所以||= =8. 在Rt△OAC中,tan∠AOC==, 所以∠AOC=60°. 故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h. 14.(10分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==. 求证:点E,O,F在同一直线上. 证明:设=m,=n,由==,知E,F分别是CD,AB的三等分点, ∴=+=+=-m+(m+n)=m+n, =+=+=(m+n)-m=m+n.∴=.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $