6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课时同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，覆盖平面向量数量积坐标表示的概念理解、运算应用及几何综合，培养数学运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数量积坐标公式、垂直平行条件|选择题1-4直接应用公式，填空题9-10强化基础运算，落实概念理解| |中档层|夹角计算、投影向量、简单几何应用|选择题5-6结合条件判断，填空题11融入正方形动态情境，提升运算与几何直观| |提升层|综合辨析、最值问题、几何证明|多选题7-8考查概念辨析，解答题12-13设计多问，融合函数思想与几何证明，发展推理能力与模型意识|

课时同步作业6.3.5平面向量数量积的坐标表示 一、选择题 1.已知向量a=(1,1),，b=(2,4),则(a-b)a的值为（) A.-14 B.-4 C.4 D.14 2.己知向量a=(m-1,1,b=(m,-2),则“m=2”是“a1b的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设平面向量a=(-2,1)，b=(2,-1),若a与b的夹角为钝角，则2的取值范 围是() a(22✉ B.2,+0) c) D,2 4.已知AB=(2,3),AC=(3,,BC=1,则AB.BC等于() A.-3 B.-2 C.2 D.3 5.已知向量a,b,la=2,b=(cosa,sina)(a∈R),若la+2b=2V5,则a与b 夹角是() A5元 B.2 6 3 D T 6 6已知ab夹角为60，且间=2，若c=-a+t∈R,则s+e-a的最小 值是() A.3 B.4 C.25 D.93 4 7.(多选题)已知向量a+b=(1,1,a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b的夹角为6， 则() A.al =b B.a⊥c C.bc D.0=135 8(多选)题已知向量a-(5,b=(co.n,)a0引 则下列结论正确 的有() A.b=1 B.若a‖b,则tana=√5 C.ab的最大值为2 D.a-b的最大值3 二、填空题 9.已知向量0A=(k,1,0B=(-1,2),且0A10B,则k= 0A-0B=· 10.已知a=(2,V3),b=(1,3),则a在b方向上投影向量的模为· 11.在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在边AB上运动， 则EC.EM的取值范围是 三、解答题 12.已知A(2,0),B(0,2）,C(cosa,sina),a∈(0，π）. (1)若AC=BC,求a的值： (2)若OA+0C=√7，求0B与0C的夹角. 13.已知Ax,2),B2,3),C-2,5) (1)若x=1,判断△ABC的形状，并给出证明； (2)求使得CA+CB最小的实数x的值： (3)若存在实数入，使得CA=1CB,求x,2的值 参考答案 1.B 解析：因为a=(1,1),b=(2,4,所以a-b=（-1,-3),所以 (a-b)a=(-1×1+(-3)×1=-4 2.A 解析：因为a⊥b,所以mm-1-2=0,所以m=2或m=-1.因此“m=2”是“a⊥b” 的充分不必要条件 3.A 解析：因为a与b的夹角为钝角，所以ab=-2·2+1×-1)<0,且2-（-2)×(-1≠0 所以元>)，且入≠2 4.C 解析：由BC=AC-AB=(1,t-3),BC=V12+t-3)2=1,解得t=3,则 BC=(1,0,AB.BC=(2,3(1,0)=2×1+3×0=2 5.C 解析：bl=Vcos2a+sin2a=1,(a+2b)2=a2+4ab+4b2=(2√5)2-12，即 4+b+4=2,解行ah=1设1与b夫局为0，引cas0-的-分又0≤0≤， 所以0号 6.A 行-，划a.=+@0小a方 c-a=-2a+= 335 tm- 2’-2 所以 9 3 33V5 该式子可以看作点Atm,0)到，点B 和点C 21 2’2 的距离之和，由于，点 1 ,O)在x轴上，且点B关于x轴的对称，点为D 2 所以 31)2 2 +4C-AD+J4CI2ICD=2) 22 =V13.所以c+c-a的 最小值为3 7.BD 解析：根据题意，a+b=(1,1),a-b=(-3,1,则a=(-1,1,b=(2,0).对于A, a=V2,b=2,则a=b不成立，A错误；对于B,a=(-1,1),c=(1,1),则 ac=0,即a⊥c,B正确；对于C,b=(2,0),c=(1,1,blc不成立，C错误；对 于D,a=(-1,1,b=(2,0),则ab=-2,la=V2,b=2,则 cos0=-2=-V2 2√2 2,则0=135，D正确 8.AC 解析：b|=Vcos2a+sin'a=1,A正确；若alb,则V3sina-cosa=0,所以 tana 3 3 ,B错误，ab=V3cosa+sina=2sin 最大值为2，C正确； la-b=(3-cosa)2+(1-sina)2=5-2sina-2/3cosa 5- a+ sin 为ae0 a-blx=5-4×=V3,D错误 2 9.2；V10 解析：因为0A=(k,1,OB=(-1,2,且0A10B,所以0A0B=-k+2=0,解得 k=2.所以0A-0B=(3,-1).所以0A-0B=V32+(-1)2=V10 5-2 1 :设向量a与b的夫角为a,则a在b方向上投影向量的模为acosa=1,b- b2 解析：如图，以，点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角 新系，说x0.0srs1又M引c,两以E西--引】 c=1-x,所以c--1-x1-x=-+号 月701，所时0-+片玩取a元引 l2.解：(I)因为AC=(cosa-2,sina),BC=(cosa,sina-2), 所以ACP=(cosa-2)2+sin2a=5-4cosa, IBCP=cos2a +(sina-2)2=5-4sina, 又AC=BC,所以5-4cosa=5-4sina, 得sina=cosa,又a∈(0，π，所以a= 4 2)由OA+0C=7,得1OA+0CP=7, 即0A+0C+20A.0C=7, 又A2,0),B0,2),所以0A+0C+20A.0C=4+1+4c0sa=7,解得cosa= 1 因为a∈(0，π)，所以sina=V1-cos2a= 2 设向量0B与0C的夹角为0，则c0s0= 0)(cosa,sina)-sina5 OB OC 2 又0e0,列，所以0=名，中0丽与0c的夫角为 6 13.解：(1)当x=1时，△ABC为直角三角形.证明如下： 当x=1时，由A1,2),B(2,3),C(-2,5),得AC=(-3,3),AB=(1,1, 北时4C.而：-3x1+3x1=0,即C1丽，即∠A=号所以△ABC为直角三角彩 (2)由题意，CA=(x+2,-3,CB=(4,-2), 得CA+CB=(x+6,-5), 所以CA+CB=Vx+6)2+25≥5，当且仅当x=6时取等号 故当x=6时，CA+CB取得最小值为≤ (3)由题意，CA=(x+2,-3,CB=(4,-2, 因为CA=1CB, x+2=42, x=4, 所以{-3=2入，