6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第四课时）同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第四课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.(重点) 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(难点) 【例题精练】 【例1】已知向量，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若向量，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角的坐标公式计算即得； （2）先求出向量的坐标，再求其模即可. 【详解】（1）由，，可得， 且， 则； （2）因， 则. 【例2】已知向量，，． (1)若，所成角为钝角，求x的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）由坐标表示向量的数量积小于零且不共线即可； （2）先由坐标表示向量垂直的条件求出，再由投影向量的计算公式求解即可. 【详解】（1）由题知，且，不共线． ，即． 当时，，即． 综上，且． （2），，， 在上的投影向量为． 【例3】已知三顶点的坐标为，，，于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，结合题意可得，，再根据向量垂直的坐标表示以及向量共线的坐标表示列方程求解即可； （2）先求出，结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）设，则，，， 由可得，① 由题意得，则，② 由①②，解得，即得. （2）由（1）知，，， 则，， 因为，所以. 【例4】已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）由可得， 由得，解得 （2），故， 解得 【A组基础达标】 1．已知平面向量，满足，，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，解得. 2．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 3．已知平面向量 则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的概念，进行向量的坐标运算即可． 【详解】因为所以在方向上的投影向量为: , 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 【答案】C 【分析】由题知，进而根据数量积的运算求解即可. 【详解】解：由题知，，， 所以 故选：C 5．若平面向量与的夹角是180°，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为平面向量与的夹角是180°，所以且方向相反， 可设，其中， 又因为，可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 6．已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角余弦公式和向量数量积的坐标公式可求出参数的范围. 【详解】因为，所以. 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得， 则的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 7．已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 8．在中，，，若是直角三角形，则k的值可能为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】ABCD 【分析】若是直角三角形，分析三个内角都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若为直角，则即， 所以，解得； 若为直角，则即， 因为，所以， 解得； 若为直角，则，即 所以， 所以，解得或； 综合可得，的值可能为. 故选：ABCD. 三、填空题 9．已知平面向量若，则___________ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 10．已知向量，，如果，那么_____. 【答案】 【分析】将已知等式平方后可得，根据向量数量积坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】，，即， ，即，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．已知，，其中，． (1)求； (2)是否存在实数k，使得和垂直？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得和垂直，理由见解析 【分析】（1）根据模长公式得到方程，结合，求出； （2）利用垂直关系得到方程，求出答案. 【详解】（1）， 又，故， 又，解得； （2）存在，使得和垂直，理由如下： ， ， 解得. 12．已知平面向量 (1)求与的夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加、减法的坐标运算求出与的坐标，代入向量夹角公式计算两向量夹角的余弦值即可. （2）设，求出的坐标，代入投影向量公式计算即可. 【详解】（1），， . （2）设，则 向量在向量上的投影向量为. 【B组能力提升】 1．若向量，且那么等于 A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】D 【详解】试题分析：，选D. 考点：平面向量数量积的坐标表示. 2．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，， 又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 3．（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为 C．与共线的单位向量只有一个为 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】根据向量垂直、向量投影、向量夹角、共线向量、单位向量以及模的运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则， ，A选项错误. B选项，在上的投影向量为， 所以， ， 由于，所以，B选项正确. C选项，与共线的单位向量可以是， 即和，所以C选项错误. D选项，若，则， ， ，，其中， 所以，由于，， 则当时，， 所以存在，使得，D选项正确. 故选：BD 4．如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 【答案】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，空①：由，求出，然后由即可求解；空②：，因为，从而可求解. 【详解】由题意以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，设，， 即，，， 空①：由，即，解得，则， 所以，所以； 空②：，因为，则， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 5．如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点. 求的值； 判断的值是否为一个常数，并说明理由． 【答案】14；是. 【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积； 将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数； 法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积； 设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可. 【详解】法1：由已知可得，， , 的值为一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点， ， 故： 解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为 y轴建立直角坐标系，可求， 此时，， 设E点坐标为， ， 常数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第四课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.(重点) 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(难点) 【例题精练】 【例1】已知向量，． (1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量，求． 【例2】已知向量，，． (1)若，所成角为钝角，求x的取值范围； (2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【例3】已知三顶点的坐标为，，，于点． (1)求点的坐标；(2)求的面积． 【例4】已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 【A组基础达标】 1．已知平面向量，满足，，若，则（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 2．已知向量，，则（   ） A． B．1 C．3 D． 3．已知平面向量 则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 5．若平面向量与的夹角是180°，且，则等于（　　） A． B． C． D． 6．已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 8．在中，，，若是直角三角形，则k的值可能为（　　） A． B． C．1 D．2 三、填空题 9．已知平面向量若，则___________ 10．已知向量，，如果，那么_____. 四、解答题 11．已知，，其中，． (1)求； (2)是否存在实数k，使得和垂直？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 12．已知平面向量 (1)求与的夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【B组能力提升】 1．若向量，且那么等于 A．-1 B．1 C．-2 D．2 2．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则向量与夹角为 C．与共线的单位向量只有一个为 D．存在，使得 4．如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 5．如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点. 求的值； 判断的值是否为一个常数，并说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $