5.1.1变化率问题 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题 一、单选题 1.函数从到的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 2.一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3.已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4.已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 6.函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7.物体甲、乙在时间范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 在范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C. 在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 8.函数在某一点的导数是（ ）． A. 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B. C. 一个常数，不是变数 D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 9.电动汽车产业是我国的优势新型产业之一，某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（ ） A. 该车速度在前分钟内的平均变化率为 B. 该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C. 该车速度在第分钟的瞬时变化率为 D. 可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度 三、填空题 10.一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为．如果无限趋近于时，无限趋近于某个常数，我们就说当无限趋近于时，的______是，这时就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度． 11.设定义在上的函数的导函数为，，则______． 12.函数在处的导数为______． 四、解答题 13.已知某物体的运动方程为（位移的单位：，时间的单位：）． (1) 求该物体在内的平均速度； (2) 求该物体的初速度； (3) 求该物体在时的瞬时速度． 14.已知函数，其中． (1) 求曲线在，，，处的切线的斜率； (2) 说明这些斜率值是如何变化的． 15.求函数在处的导数． 一、单选题 1.答案：C 解析：平均变化率。 2.答案：C 解析：瞬时速度是位移函数的导数，，时，。 3.答案：A 解析：。 4.答案：B 解析：由导数定义，。 5.答案：A 解析：，得。 6.答案：C 解析：平均变化率。 二、多选题 7.答案：BC 解析： 平均速度的计算公式为（其中表示位移变化量，表示时间变化量 ）。 在范围内，甲、乙的位移变化量都是（从图象看，甲、乙在时对应的路程均为 ），时间变化量都是。 根据平均速度公式，甲的平均速度，乙的平均速度 。 所以在范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度，A错误，B正确。 瞬时速度对应函数图象在某点处切线的斜率（路程 - 时间图象中，切线斜率表示瞬时速度 ）。 在时，甲的图象切线斜率大于乙的图象切线斜率（从图象直观来看，甲的图象在处更“陡” ）。 所以在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，C正确，D错误。 综上，答案选 。 8.答案：BC 解析： 导数是“增量比的极限”，不是增量比本身，A错； 导数定义为，是常数（与无关 ），B、C对； 平均变化率是，不是导数，D错。 9.答案：ACD 解析： 前分钟平均变化率，A对； 瞬时变化率即导数，随增大而增大，B错； 时，？（题目选项C写“”，可能题干函数有误，若函数是，导数是，时为，但选项C若为笔误，结合D正确（用平均变化率近似瞬时速度 ），选ACD。 三、填空题 10.答案：极限 解析：瞬时速度是平均速度当时的极限，故填“极限”。 11.答案： 解析：（导数定义变形 ），因未知？题目条件可能漏值？若按常规题，假设，则极限为（需结合题目实际，可能题干是笔误 ）。 12.答案： 解析：，时，。 四、解答题 13.解： (1) 时，，平均速度 。 (2) 初速度即时的瞬时速度，时，导数，时， （速度为负表示方向，初速度大小看实际意义 ）。 (3) 时，，导数 ，即瞬时速度为 （负号表方向 ）。 14.解： (1) ，导数，故： 时，斜率； 时，斜率； 时，斜率； 时，斜率。 (2) 斜率值随增大而增大，且关于原点对称（因是奇函数 ），体现导数的单调性与奇偶性。 15.解： ，导数，时，，即导数为。 学科网（北京）股份有限公司 $$