第11章《不等式与不等式组》单元复习题--2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组单元核心，通过家电促销、杯子叠放等真实情境题和“内含解”“矩宽点”等创新定义题，考查运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|不等式表示、性质、解集数轴表示、含参问题|结合平面直角坐标系判断象限，体现几何直观| |填空题|4题|不等式组整数解、含参方程组正整数解、新定义[x]|第11题融合不等式组解集与方程组正整数解，考查运算能力| |解答题|7题|解不等式（组）、实际应用、新定义问题|15题以“以旧换新”政策为背景，14题定义“内含解”，考查模型意识与推理能力|

第11章《不等式与不等式组》单元综合复习题 一、单选题 1．“x与5的差的一半是非正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在厨房的橱柜里的两个层板之间的间距为36厘米．现有若干个完全相同的杯子竖直叠放，已知8个杯子竖直叠放在一起总高度为42厘米，2个杯子竖直叠放在一起总高度为18厘米．则两个层板之间最多可以竖直叠放几个杯子（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养、两种菌苗，已知种菌苗生长温度的范围是，种菌苗生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是__________． 10．若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为________ ． 11．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 12．对任意实数，常用表示不超过x的最大整数，如：，，，现有以下结论：①方程的解为或；②当时，的值为0或2；③；④若，则x的取值范围是；其中错误的结论有_____________． 三、解答题 13．按要求完成下列计算： (1)解不等式 (2)解方程组： 14．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 15．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 16．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．求m的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需31元，买7支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需29元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 17．综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 18．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 19．在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是_____； (2)若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； (3)将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 参考答案 一、单选题 1．C 解：先表示x与5的差，得， 再表示差的一半，得， ∵非正数是小于等于0的数， ∴列出不等式为． 2．D 解：A、由，不能得到，比如时，，故A错误； B、∵，∴，∴，故B错误； C、∵，当时，，故C错误； D、∵，，∴；故D正确. 3．C 解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上为： 4．B 解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征可得 ，， ∵，∴与同号， 又∵，∴，， 对于点， ∵，，∴ ， ∵，∴； ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的符号特征，因此点在第二象限. 5．B 解不等式 解不等式 得到 不等式组无解，两个不等式的解集无公共部分， 解得． 6．A 解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 7．C 解：设一个杯子的高为x厘米，两个杯子摞在一起，杯口间的距离为y厘米， 根据题意，得， ∴， 设在一个层板上可以摞着放m个杯子， 根据题意，得， 解得， ∴在一个层板上最多可以摞着放6个杯子． 8．D 根据定义，对任意实数，有，为整数，且满足 ，，逐一判断如下： ① ， ， ，故①正确． ②， ， 不超过的最大整数为，即 ，故②正确． ③ ，（为整数）， ， ， ， ， 即 ， 是整数， 或，故③正确． ④ ， ， 相加得 ， 的可能值为，故④正确． ⑤原方程 ，代入整理得： ， 即， ， ， 解得 ， 为整数， ， 分别得，，，均符合条件， 故⑤正确． 综上，个结论全部正确，故选D． 二、填空题 9． 解：∵， ∴温箱里的温度应该设定的范围是． 10． 解：， 解不等式①，得， 解得， 解不等式②，得， 解得， 故不等式组的解集为， 由不等式组只有个整数解，可知整数解依次为，，， 则， 解得． 11．19 解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 12．②③ 解：对于①：设（为整数），则， 方程 变形得 ， 代入不等式得： 解左边不等式得 ， 解右边不等式得 ， ∴ ， ∵为整数， ∴或， 当时， ，当时， ，因此①正确． 对于②：当时， ， 当时，， 当时，，故②错误． 对于③：取， ，，而 ， ，故③错误． 对于④：根据的定义，若（为整数），则不超过的最大整数为，因此的取值范围是 ，故④正确． 综上，错误的结论是②③． 三、解答题 13．（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， 得，解得， 将代入中，得，解得， ∴原方程组的解为． 14．（1）解：解方程得：， 解不等式得：， ∴不在范围内， ∴方程的解不是不等式的“内含解”； （2）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解是不等式的“内含解”， ∴， 解得：； （3）解： 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为， ∴， 解得：， 由方程可得，且方程的解是不等式组的“内含解”， ∴， 解得：， 综上所述：的取值范围为． 15．（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 16．（1）解：， 由得：， ∴； 由得：； （2）解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴m的取值范围为； （3）解：设购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本需c元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元． 17．（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆， 根据题意得， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴至少要租用辆甲型客车； 由题意得，， 解得， 由得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 18．（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 19．（1）解：∵， ∴， 当点时，如图，，矩形的周长为 ，此时点为矩形的矩宽点； 当点时，如图，点位于矩形的中心，小矩形的周长为 ，故点不是矩形的矩宽点； 当点时，点位于矩形的外部，不符合矩宽点的定义，故点不是矩形的矩宽点； （2）解：如图，∵点为矩形的矩宽点， ∴ 或 ， 解得：或， （3）解：当点横坐标大于纵坐标时，则点的坐标为， ∵点在矩形内部，∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ，解得或（不合，舍去），∴； 当点的横坐标小于等于纵坐标，则点的坐标为， ∵点在矩形内部，∴，解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $