7.4.2 超几何分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦超几何分布，涵盖概念、公式及分布列求法，通过回顾二项分布，对比有放回与不放回抽样差异引入新知，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题驱动结合对比辨析，通过产品抽样、学生选代表等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力，典例与变式训练覆盖多情境，帮助学生用数学语言表达概率问题，提升应用意识，也为教师提供系统教学资源。

7.4.2 超几何分布 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 回顾旧知 什么是 n 重伯努利试验？ 二项分布：若 X～B(n，p)，则 如果 X～B(n，p)，那么 P(X＝k)＝Cn pk(1－p)n-k，k＝0，1，2，…，n k E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 作者编号：32100 新知学习 问题 已知 100 件产品中有 8 件次品，现从中采用有放回和不放回的方式随机抽取 4 件. 设抽取的 4 件产品中次品数为 X，求随机变量 X 的分布列. 有放回抽样 每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时 X 服从二项分布，即X～B(4，0.08) 不放回抽样 虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此 X 不服从二项分布. 作者编号：32100 新知学习 问题 如果采用不放回抽样，已知100件产品中有 8 件次品，求抽取的 4 件产品中，次品数 X 的分布列. 由题意可知，X 可能的取值为 0，1，2，3，4. 由古典概型的知识， 得 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 超几何分布 P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，3，4 4 C100 k 4-k C8C92 4 C100 0 4 C8C92 4 C100 1 3 C8C92 4 C100 2 2 C8C92 4 C100 3 1 C8C92 4 C100 4 0 C8C92 作者编号：32100 概念生成 超几何分布 一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品。从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. n CN k n-k CM CN-M 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布. 作者编号：32100 概念生成 P(X＝k)＝ n CN k n-k CM CN-M 总数 正品数 次品数 抽取的次品数 抽取的正品数 抽取的总数 超几何分布主要用于不放回简单随机抽样中概率的计算，其中对抽取的每个个体只考虑是否具有某种特征(抽取的产品是否合格；选择的学生代表是否男生；抽取的小球是否红球等). 作者编号：32100 典例剖析 例1 从 50 名学生中随机选出 5 名学生代表，求甲被选中的概率. 设 X 表示选出的 5 名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则 X 服从超几何分布，且 N ＝50，M ＝1，n＝5. 因此甲被选中的概率为 解析： 容易发现，每个人被抽到的概率都是. ►课本P78 方法归纳 ①设随机变量X，验证随机变量服从超几何分布； ②确定参数M，N，n的值； ③根据超几何分布的概率计算公式，计算出随机变量取每一个值 时的概率. 求超几何分布的分布列的步骤： 作者编号：32100 变式训练 练习1 一箱 24 罐的饮料中 4 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取 2 罐，求这 2 罐中有奖券的概率. 解析： ►课本P80 设抽出的 2 罐中有奖券的罐数为X，则 X 服从超几何分布， 从而抽取 2 罐中有奖券的概率为 P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2) 或 P(X≥1)＝1－P(X＝0) 变式训练 练习2 学校要从12名候选人中选 4 名同学组成学生会，已知有 4 名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有 2 名同学被选到的概率. 设甲班恰有 X 人被选到，则 X 服从超几何分布，且 N＝12，M＝4，n＝4，从而甲班恰有 2 人被选到的概率为 解析： ►课本P80 典例剖析 例2 一件产品中有 13 件正品、2 件次品，从中不放回地任取 3 件，求取出次品数 X 的分布列. 解析： ►课本P78 由题意知， X 服从超几何分布，N＝15，M＝2，n＝3. 所以X分布列为 X 0 1 2 P P(X＝0)＝ P(X＝2)＝ P(X＝1)＝ 其中X的可能取值为0，1，2，相应的概率为 变式训练 练习3 一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取 3 个球. (1)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取 1 个的概率. (2)设 X 表示取到的蓝色小球的个数，求 X 的分布列和数学期望. 解析： (1) (2)X 可能取 0、1、2，X 服从超几何分布 其中N＝7，M＝2，n＝3. X 的分布列为 X 的数学期望为 典例剖析 ►课本P78 例3 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有 1 件不合格的概率. 则至少有 1 件不合格的概率为 设抽取的10个零件中不合格品数为X，则 X 服从超几何分步， 解析： 且 N＝30，M＝3，n＝10，X的分布列为 变式训练 练习4 10 件产品中有 2 件次品，任取 2 件进行检验，求下列事件的概率： (1)至少有 1 件次品； (2)至多有 1 件次品. (1)“至少有 1 件次品”的对立事件是“2 件都是正品”. (2)“至多有1件次品”的对立事件是“2件都是次品”， “2件都是次品”的概率为， 所以“至少有1件次品”的概率为 解析： “2 件都是正品”的概率为 所以“至少有1件次品”的概率为. ， 对于含“至多”“至少”等求概率问题，可先求其对立事件概率，再求原事件概率. 典例剖析 ►课本P79 例4 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用 X 表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求 X 的分布列； (1)对于有放回摸球，由题意知X~B(20，0.4)，X的分布列为 解析： 对于不放回的摸球，由题意知，X 服从超几何分布，X的分布列为 典例剖析 ►课本P79 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用 X 表示样本中黄球的个数. (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解析： (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)， 如表所示. 有放回摸球： P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469 不放回摸球： P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 两种摸球方式下，随机变量 X 服从二项分布和超几何分布. 这两种分布的均值相等都等于 8. 但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近. 对于不放回抽样，当n远远小于 N 时，每次抽取一次，对N的影响很小。 此时，超几何分布可以用二项分布近似. 思考：二项分布、超几何分布有什么区别和联系？ 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体容量 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 （当总体容量很大时） 超几何分布可近似看做二项分布 作者编号：32100 变式训练 练习5 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值10元的奖品；其余 6 张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分布列； 因此 X 的分布列为： 解析： (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的取值只有 0 和 1 P(X＝1)＝ 两种情况. 则P(X＝0)＝1－P(X＝1) X 0 1 P 变式训练 练习5 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值10元的奖品；其余 6 张没有奖品. (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求Y 的分布列，并计算 P(Y≥50) (2)①顾客乙中奖可分为两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都 解析： 中奖.故所求概率 变式训练 练习5 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值10元的奖品；其余 6 张没有奖品. (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，②设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求Y 的分布列，并计算 P(Y≥50) 解析： ②的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P(Y＝0)＝ P(Y＝10)＝ P(Y＝20)＝ P(Y＝50)＝ P(Y＝60)＝ 变式训练 练习5 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价值10元的奖品；其余 6 张没有奖品. (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，②设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求Y 的分布列，并计算 P(Y≥50) 解析： 因此随机变量的分布列为： Y 0 10 20 50 60 P 则P(Y≥50)＝P(Y＝50)＋P(Y＝60) 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1. 随机变量 X 服从超几何分布，则随机变量 X 的分布列具有 怎样的形式？ 2. 超几何分布的均值如何表示？ 作者编号：32100 $