7.4.1二项分布7.4.2超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1　二项分布 7.4.2　超几何分布 目 标 素 养 1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征. 2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值. 3.能用二项分布和超几何分布解决简单的实际问题. 4.通过学习,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.n重伯努利试验 (1)伯努利试验 我们把只包含　两个　可能结果的试验叫做伯努利试验.  (2)n重伯努利试验 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为　n重伯努利试验　.  n重伯努利试验具有如下共同特征 ①同一个伯努利试验重复做n次. (注:“重复”意味着各次试验成功的概率相同) ②各次试验的结果相互独立. 微思考1 n重伯努利试验定义中“重复”的含义是什么?在相同条件下,有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗? 提示:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.在相同条件下,有放回地抽样试验是n重伯努利试验,其满足n重伯努利试验的特征. 2.二项分布 (1)一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=  pk(1-p)n-k　,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作　X~B(n,p)　. (2)如果X~B(n,p),那么E(X)=np, D(X)=np(1-p). 微思考2 二项分布与两点分布有什么关系? 提示:(1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生(X=1)或不发生(X=0). 二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列,试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不发生). 试验结果有(n+1)种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次. (2)二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布. 3.超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为P(X=k)= 　 ,k=m,m+1,m+2,…,r.  其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M}, r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 4.服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令 注:对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似. 微思考3 不放回抽取和有放回抽取有何不同? 提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布. 课堂·重难突破 一 n重伯努利试验的概率问题 典例剖析 1.现有4人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子(六点)决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4人中恰有2人去参加甲游戏的概率; (2)求这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4. 由于A3与A4互斥, 规律总结 n重伯努利试验概率求法的步骤 (1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验. (2)分拆:判断所求事件是否需要分拆. (3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件的概率加法公式计算. 学以致用 1.已知某人每次投篮投中的概率为 ,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第五次结束投篮的概率是　　　　　.  二 二项分布及其应用 典例剖析 2.核酸检测是诊断是否确诊为某病毒感染的重要依据,首先取病人的唾液或咽拭子的样本,再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质,若有病毒,样本检测会呈现阳性,否则为阴性.多个样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性,则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为阴性.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 .现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测. (1)方案一:4例逐个化验,设检测结果呈阳性的人数为X,求X的分布列; (2)方案二:4例平均分成两组化验,设需要检测的次数为Y,求Y的分布列. 规律总结 二项分布实际应用问题的解题思路 (1)根据题意设出随机变量. (2)分析出随机变量服从二项分布. (3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率). (4)写出二项分布的分布列. 互动探究 (变问法)例题两种方案哪一种效率更高? 学以致用 2.某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消费500元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为 ,若中奖,商场返还顾客现金100元.某顾客现购买一部价格为2 300元的手机,得到抽奖券四张.每次抽奖互不影响. (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X,求随机变量X的分布列; (2)设该顾客购买手机的实际支出为Y(单位:元),用X表示Y,并求随机变量Y的均值. 解:(1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的, 又由题意可知Y=2 300-100X, 所以E(Y)=E(2 300-100X)=2 300-100E(X) =2 300-100×2=2 100. 即所求随机变量Y的均值为2 100. 三 二项分布的均值与方差 典例剖析 答案:D (2)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知某同学能答对每个试题的概率为 ,若答对一题得5分,答错或不答得0分.记答对题的个数为X,答题的得分为Y,求Y的分布列及均值和方差. 规律总结 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布,第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);若X服从二项分布,即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p). 学以致用 答案:(1)C　(2)D 四 超几何分布的应用 典例剖析 4.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖张数X的分布列; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张, ①求中奖张数X的分布列; ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列. 解:(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况, 故X的取值只有0和1两种情况. (2)①由题意可知,10张奖券中4张有奖,6张没有奖,任意抽取2张,已知中奖张数为X,则X服从超几何分布,且N=10,M=4,n=2,X的分布列为 ②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 规律总结 求超几何分布的分布列的步骤 第一步:验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值; 第二步:根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率. 第三步:用表格的形式列出分布列. 学以致用 4.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中随机取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与均值. 解:(1)设A表示事件“三种粽子各取到1个”. (2)由题意知,X的所有可能值为0,1,2,且X服从超几何分布,其中N=10,M=2,n=3,则 随堂训练 1.一个不透明的袋中有10个球,其中7个是红球,3个是白球,任意取出3个,这3个都是红球的概率是(　　) 答案:B 2.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球使用,用完后装回盒中(新球使用后为旧球),此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为(　　) 答案:C 解析:X=4表示取出的3个球为2个旧球1个新球, 答案:B 4.种植某种树苗,成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为(　　) A.0.33 B.0.066 C.0.5 D.0.45 答案:A 解析:设A=“树苗成活”,则P(A)=0.9. 用X表示事件A发生的次数,则X~B(5,0.9). 恰好成活4棵等价于X=4, 于是P(X=4)=0.94×0.1≈0.33. 5.(多选题)一射击爱好者对同一目标独立地射击4次,已知至少命中1次的概率为,则下列结论中正确的是(　　 ) A.设此射击爱好者射击4次命中次数为X,每次命中的概率为p,则X~B(4,p) B.设此射击爱好者射击4次命中次数为X,则P(X≥1)= C.设每次命中的概率为p,则p=或p= D.设每次命中的概率为p,则p= ABD 解析:设此射击爱好者射击4次命中次数为X,每次命中的概率为p,则X~B(4,p). 答案:C 7.已知随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=7, D(X)=6,则p等于(　　) 答案:A 8.某10人组成兴趣小组,其中有5名女生,从这10人中任选4人参加某种活动,用X表示4人中的女生人数,则P(X=3)=　　　. 9.某单位有6名工作人员,他们相互独立借助互联网开展工作,已知在某一时段每人上网的概率都是0.5. (1)求在这一时段至少3人同时上网的概率; (2)在这一时段至少几人同时上网的概率小于0.3? 10.某中学选派40名学生参加该市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如表所示: 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名,求这3名学生中培训次数是3的学生人数Y的分布列; (2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及均值E(X). $