湖北省天门中学2025-2026学年高二下学期6月学科素养测评数学试卷

**基本信息** 聚焦双曲线离心率范围问题，考查几何直观与推理能力，适配高中月考对解析几何基础与能力的检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|1题/5分|双曲线焦点、离心率|以焦点三角形为载体，通过几何关系推导离心率范围，体现数学思维的逻辑性，契合高考对解析几何的考查趋势|

2026年高二6月数学学科评分细则 1.c A 4.B 5.c 6. A 1/ 7.B 8.D 解析：任意x>0,Inx s ar2+bx+1恒成立，·二≤ax+b恒成立，即asa-（)》 2 令f因网=，直线y=a(x-（←)》，-为直线的横截距， f=f)在0，e)上单调递增，在(3，+四)上单调递减，且fO=0 x→0时，f)→-四；x→+∞时，fx)→0吧，=0=3南1 直线过e,0)时，有最小值，此时f回-言y=c-0 率阳09直斯1)工 下证：-9-≥0 令g网=x-0-型，g四=2学=+号g回=6 ∴g)在(0，司上单调递增，(e,+∞)上单调递减 g(同=+号-+京>0,900. x+0时，g0-四x叶时，g)位-，用。。-l(o力 ·g()在(0，e)单调递减：(e,+m)上单调递增， g)≥g(e)=0得证. 9.1BC 张99909499 10.BCD 11.ACD 解折：f=-sinx-=0,即-sinx=作出函数y=-s血x及y=在(0+)上的图象，则数列 x小从左往右如图所示， 根据图象可知，(2k-1)π<x2k-1<x2k<2kn,x2k-x2k-1<2km-(2k-1)m=元，：A正确 当xex2-1,x2)时，-sinx>是∴f()>0,即f在(x2k-1,x2)上单调递增： 当xe(2,2+1)时，-sinx<是∴f冈<0，即f)在(g,x2k+D上单调递减 ∴x2为f(x)极大值点，x2k-1为fx)极小值点，B错误： x1eQr+,Zr+学).存在张∈(2红+，2水r+学，有-sn=女=-snr 此时x2,2关于x=2km+对称，∴x2水十x2=4kπ+m 由y=-sinx在(2kr+号z水m+)上单调递增， 41长x,+1<+x=4k+1mC正 f)在(x2k,x2k+1)上单调递减，x2k<2kπ ∴fx2)>f(2km)=cos2kπ-ln2kπ=1-ln2kπ，D正确 12.√5=总的晚 13.114 14. 解折：（方法一）5次传球后，共有25-32个样本点，随机变量x的能取值为2. 当X=0时，包含了“乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙两种可能，则PK-0员 当x1时，包含了“乙甲乙丙乙，乙甲丙乙丙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，乙丙乙甲丙，乙丙乙甲 乙，乙丙乙丙甲，丙甲乙丙乙，丙甲丙乙丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙，夏子两胫，丙乙丙甲 丙，丙乙丙乙甲共14种可能，则P0小兰 当2时，P0K-2=1-66 B0W-0G162x2器 、123 (方法二)设即，为第次传球后球传回到甲手中的概率，则p10,根据传球规则，、递推关系为 Pm1=(1-p0pw=3(1-p, 则pz克Pp青P5 2 1,第次传球后球传回到甲手中 设0，第0次传球后球没有传回到甲手中 ，其中i=1,2,3,4,5, X=5X.E(X )=1P/+0-(1-P)=Pe B0-E0E,x)2,5C0 pppps-0+片++名-君 15 (1)记事件4=“该生每天玩手机超过1小时”，B=“该生近视”， PA-0.2,PB)=0.4, 每天玩手机超过1小时的学生近视率约为50%，即P(B1A)-0.5, 根据条件概率公式P(B0-, P() 可得P4B)=P40P(BA)=0.2×0.5=0.1 一6分 (2)P(①=1-P(A0=1-0.2=0.8, -8分 由全概率公式P(B)=P(M)P(BMA)+P(④P(BO PB-04,P0.2,P8M05代入得：P80-号 13分 16. (1)记A“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯” P0-吉 04分 t(x (2)记X为遇到红灯数X=0、1、2,3,4,X~B(4,),记Y为遇到红灯停留的总时间Y=2X. Py=0=③=，PY=1)=c403器 Pw=2)=c00-兰 大共司水2（式），西形 飞3你西5T合0当 PY=3)=c))=品PV=)= 法西丙甲西，异而达达，国 0 16 32 四留可字共甲S两心页丙 一10分 六E0W=D0W=号 0- E0m=2E00=号，DM=4D0=号 17.(1)离散型随机变量的概率和满足a1十2+…+a9=1， 若a,为等差数列，则前99项和为902=99as0,由99as0=1,得as0=污 1 —4分 2 3 (2)由a=际于m(vk+7-,学速日 又a1+a2+…+a9=m(W2-1+V-V2+…+V100-V99 =m(10-1)=9m=1, i.m=t 9分 (3)令S=P(5≤k)=k2ak,k=1,2,…,99, 则a1=51-5=化+10a1-ka,整理得=点k=1,2,,98,一12分 即尝器兽品品点品品点 化简可得单=品二网 1 又59÷pg≤9)=992ag9=1,即a=0 面1十d十达之n0<面日市 故a=京-9 骑说的的量宝 18. （1)由题意得：c=V2,a=2,椭圆方程为：号+苦-1心10一一—3分 (2)()设直线PQ的斜率为水，则其方程为y=kx(k之0)口个景印0 y=kx, 由居+号= 得x=生 0<一6动5分 记u= 则Pu,,Q(Tw,-,E6u,),=g-(6-)=e 于是直线QG的斜率为方程为y=x-). y=x-四， 由 得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.① +号-1， 分 设G6K,8则-u和是方程O的解，故=器2由此得%=器， 一一8分 从而直线PG的斜率为 2+h 一uk 3242 2+k2 0-（心9≤D PQLPG,即△PQG是直角三角形. 一10分 ()由()得PQ1=2W1+k,PG1=2平 2+k2 AP06的高=号OrG=品 =84) 一12分 设t=k+片则5=数由k>0,得之2，当且仅当k=1时取等号 -13分 =+2<0,S=在2，+四)上单调递减， S=8-162 15分 当=2，即k=1时：S取得最大值，最大值为兰 因此△PQG面积的最大值为兰 一17分 19 (1)当a=-2时，f()=e-2sinx,则f(x)=ex-2cosx, ①当xe(0,)时，f(x)=e-2cosx在(0，)单调递增， 又f0)=1-2=-1,f目=i>0, 存在x1e(0,),使得fx)=0, 当x∈(0，x1)时，f()<0,即f)在(0，x)上单调递减， 当x∈(，)时，f()>0,即f()在(x1,元)上单调递增，即x为f(x)的极小值点 -u fx)在区间(0，m)内有一个极小值点，无极大值点 一2分 ②当x∈(-m,-)时，"e>0,-2cosx>0,·.f(x)=e-2c05x>0, ∴f)在(-，-)单调递增， —3分 ©当xe(-5,0)时，设g6)=f(x=e-2cosx, 则g()=e+2snx在(-受，0)单调递增，又g()=e-2<0,g0)=1>0.03 ∴存在m∈(-5,0)使得g'(m)=0, 当xe(-及，m时，g'()<0,则g)在(-子m上单调递减，e→-1 当xe(m,0)时，g()>0,则g()在(m,0)上单调递增， 又g(月=e>0,g0=1-2=-1<0,g(9=e-2os(周=e-1<0, 2= 存在x2(-受，-)，使得gx)=fc)=0。 当x∈（-，2)时，fx2)>0,则f国在(-，)上单调递增， 9>>3 当x∈(x2,0)时，f(x2)<0,则fx)在(x2,0)上单调递减，划 以,4S+三= 综上所述，当xE(-π，x),f(幻)单调递增，当xe(x2,x),f)单调递减， 当xE(名1，)，fx)单调递增， f(x)在区间(，)内存在一个极小值点和一个极大值点 一6分 (2)当a=-1时，f)=e2-sinx,÷f)≥bx+1在[0，+∞)上恒成立， 转化为e-bx-sinx-1≥0在0，+m)上恒成立， 今h(x)=e-bx-stnx-1,则h(x)=e2-b-cosx, 若b≤0，则h(幻)≥0在[0，+o)上恒成立，则h()在[0，+∞)上单调递增， h(x)≥h(0)=0,符合题意； 一8分 S D w+v,3斯 若b>0,令m()=e-b-cosx,则m()=e+sinx≥0在0，+m)上恒成立， m()在0，+o)上单调递增，m(0)=-b<0,当x→+∞时，m()一+∞， d3右e(0,+∞)，使得m(x0)=0, 当x∈(0，x)时，h国)<0，则h(国)在(0，x0)上单调递减， 当x∈(xo,+m)时，h'()>0,则h()在(x0,+∞)上单调递增， -10分 h(xo)<h(O)=0,不合题意： 综上所述，实数的取值范围是(-∞，0， 11分 (3)yf=er+asinx,xe0,+回)，令f因=0，得-- 设g阳=号x20.则g的=-a曰 令g)=0,解得x=+kπ，kEN, 当xe(+2km,g+2km)时，sinx-9>0, g国)在(+2k,要+2km)上单调递减。 当xe0,),(受+2km,要+2km)时，s血(k-9)<0, g)在(0.孕)，（要+2kn,要+2km)上单调递增， 一13分 当x-要+2km,kEN时，g)取得极小值， 即当x=要，要，华时，g)取得极小值， 又sm竖=mg-h华==一号，0<<s< g(图<9(）<g(9）<…即g网≥g(月）=-号e 当x=:+2km,kEN时，9)取得极大值， 即当x=,婴，要，时，9)取得极大值 又sinsin要-sh==9,0<ei<e2<e”<, g月>（图>g(9）>即g)≤9月=号e子 16分 当x≥0时，g因e-2e子，竖e -e[-9。÷.号e可，又a>0 a2V2e时，f6似)在0，+回)上存在零点， 放实数ae2光，+四 17分 高二6月数学学科素养测评 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知等比数列满足，，则等于（ ） A．4 B．-4 C．4或-4 D．6或-6 2．从50名学生（含甲）中随机选出5名学生，则甲被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 4．的展开式中，的系数为（ ） A．30 B．-30 C．20 D．-20 5．甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且．则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（ ） A．3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种 B．3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种 C．3名女生的顺序一定（可以相邻也可以不相邻）的站法有840种 D．每名女生旁边都有男生的概率为 11．将函数的所有极值点按照从小到大的顺序排列，得到数列，则对于任意的正整数，有（ ） A． B．是极小值点 C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知双曲线的渐近线为，则双曲线离心率__________． 13．现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为__________．（用数字作答） 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示球传回到甲手中的次数，则的数学期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%． （1）现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率． （2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率． 16．（15分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． （1）求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 17．（15分）设离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且，（）． （1）当数列为等差数列时，求． （2）若数列的通项公式为，求实数的值． （3）当数列满足时，求． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的标准方程． （2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴于点，连结并延长，交于点． （i）证明：是直角三角形． （ii）求面积的最大值． 19．（17分）设函数． （1）当时，讨论在上的极值点情况． （2）当时，在上恒成立，求的取值范围． （3）若，在上存在零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $