专题03 正弦定理与余弦定理 期末真题专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以6大题型系统覆盖正弦定理与余弦定理的应用，从基础解三角形到实际问题，构建“定理应用-性质探究-综合拓展”的递进逻辑链，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|9题|已知边角求未知量，结合面积与外接圆|定理直接应用，强化边角互化| |形状与解的个数|5题|判断三角形类型及解的情况|边角关系转化，渗透分类讨论| |边长/周长|10题|求边长、周长范围及最值|结合不等式与函数思想，深化定理应用| |面积问题|7题|面积计算与最值，涉及中线、角平分线|面积公式与定理结合，培养综合思维| |几何图形计算|10题|四边形、圆内接图形等复杂场景|多图形转化，提升空间观念| |实际应用|7题|测量距离、高度等生活情境|建立数学模型，发展应用意识|

专题03 正弦定理与余弦定理 目录 题型1：利用正、余定理解三角形 2 题型2：判定三角形形状、三角形解的个数 7 题型3：三角形边长或周长的问题 11 题型4：三角形面积问题 21 题型5：几何图形中的计算 29 题型6：解三角形的实际应用 46 题型1：利用正、余定理解三角形 【例1.1.】 （24-25高一下·辽宁·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】由三角形内角和可得， 由正弦定理可得，解得. 故选：D. 【例1.2.】 （24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求得，进而求得. 【详解】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B 【例1.3.】 （24-25高一下·福建泉州·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】中，若， 则，再应用正弦定理得， 则. 故选：C 【例1.4.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形的面积公式得，由正弦定理的边角互化以及余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解. 【详解】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 所以， 所以， 又， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以△ABC外接圆的半径为． 故选：B． 【例1.5.】 （24-25高一下·吉林·期末）在中，角的对边分别为，若，，则外接圆的周长为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】由，可得，由，可得，由正弦定理可得，即可得答案. 【详解】因为， 由余弦定理得， 所以． 又，所以． 所以外接圆直径， 所以周长为． 故答案为： 【例1.6.】 （24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D 【例1.7.】 （多选）（24-25高一下·辽宁大连·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理化简得，再结合即可对A判断，由正弦定理可得，再结合，可得，当，时满足，即可对B判断；由，则可得，即可对C判断；若，可得，再结合化简得，即可对D判断. 【详解】A：由，化简得，即， 又，则，则为等腰直角三角形，故，故A正确. B：由，可得，因，即， 当，时满足，但此时，故B错误； C：由，则可化简为，即， 即，故C错误； D：若，则，则，则 代入得，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：AD. 【例1.8.】 （24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】利用已知条件中的边长将化为，再结合正、余弦定理即可求解. 【详解】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 【例1.9.】 （24-25高一下·福建福州·期末）在中，内角所对的边分别为， (1)求角C； (2)若，求b. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）将等式展开化简，根据正弦定理和余弦定理可求出. （2）先求出的值，然后根据和差的正弦函数求出，然后根据正弦定理求出. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 所以由正弦定理得：， 所以由余弦定理可得， 所以， 因为，所以. （2）由，又，解得， 因为，所以， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 所以. 题型2：判定三角形形状、三角形解的个数 【例2.1.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 【例2.2.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【例2.3.】 （24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 【例2.4.】 （多选）（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据函数在上单调性，即可判断A；根据正弦定理得到，与正弦函数的值域为相矛盾，可知不存在这样的角，即可判断B；将变形为，即或，即可判断的形状，进而判断C；由，及的范围分析得到都是锐角，即可判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 在中，因为，且，所以，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得， 解得.因为正弦函数的值域为， 所以不存在这样的角，即无解，故B错误； 对于C，因为， 所以由正弦定理可得， 又因为， 所以可得，即， 即或. 由可得，即为等腰三角形； 由，，可得，所以为直角三角形. 综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，若，且， 可知，即都是锐角， 所以是锐角三角形，故D错误. 故选：AC 【例2.5.】 （多选）（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形或钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，，则符合条件的有两个 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据数量积只能得出B为锐角，故A错误；根据条件可得或，故B正确；根据正弦定理角化边只能得出为锐角，故C错误；根据可得选项D正确. 【详解】对于A：因为，与的夹角为B的补角，所以B为锐角，不能确定的形状，A错误； 对于B：因为，，，， 所以或， 当时，，为等腰三角形， 当时，，，为钝角三角形， 所以为等腰三角形或钝角三角形，B正确； 对于C：因为，所以， 所以，故为锐角，但无法判断角A，B的范围，C错误； 对于D：因为， 所以，故符合条件的有两个，D正确. 故选：BD. 题型3：三角形边长或周长的问题 【例3.1.】 （24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长. 【详解】，由正弦定理得 ， 又， 所以， 则，或，（舍）， 所以，， 则， . 故选：A. 【例3.2.】 （24-25高一下·山东滨州·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则周长的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理角化边，利用余弦定理求出，再利用正弦定理，结合三角恒等变换求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而，解得， 由是锐角三角形，得，则 由正弦定理， 得 ， 因为，所以， 所以， 所以 所以周长的取值范围是. 故答案为： 【例3.3.】 （24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. (1)若顶点的坐标为，求的面积； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用向量夹角公式求出，结合平方关系求得，由三角形面积公式得解； （2）由正弦定理可得，结合条件和三角恒等变换化简可得，结合角的范围求解，从而得到答案. 【详解】（1）由题意， ， ， ， 所以的面积为. （2）设角所对的边分别分， ， ， ， 因为是锐角三角形，，得， ，故， ， 即周长的取值范围为. 【例3.4.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由钝角的三边为a，，， 则，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：B. 【例3.5.】 （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若. (1)求B； (2)若，求c的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）应用余弦定理及正弦定理化简求解即可； （2）应用正弦定理化简，结合角的范围得出进而得出边长范围即可. 【详解】（1）由余弦定理得 由正弦定理得 因为C是三角形内角，所以， 所以，所以. （2）由（1）知，，， 在锐角中，有 所以，， 由正弦定理得，， 所以 因为，则， 所以的取值范围是. 【例3.6.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 【例3.7.】 （24-25高一下·河北唐山·期末）在中，已知，角的内角平分线交于点，且，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用正弦定理边化角，逆用和角的正弦公式化简求出，再利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及正弦定理得， 即，而， 则，而，解得，而角的内角平分线交于点，且， 由，得， 整理得，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【例3.8.】 （24-25高一下·安徽宿州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出； （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，由余弦定理求出； （3）若AD为角平分线，则，在中，由正弦定理得到，，故，根据基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由已知， 由正弦定理，可得， 又因为，代入上式， 化简得：， 因为中，，所以，从而， 故，因为，所以． （2）因为， 所以， 由（1）知，， 所以 ， 由已知，所以，即， 又，联立两式解得，， 由余弦定理，可得，即． （3）若AD为角平分线，则， 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，， 所以 即， 又因为，所以，， 从而， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 【例3.9.】 （24-25高一下·湖北黄石·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，所以， 即， 因为，可得，所以或， 当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，可得且， 由正弦定理得， 则 ， 又由，可得，所以， 即的取值范围. 故选：B. 【例3.10.】 （24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可. 【详解】因为，由正弦边角关系得，即， 由余弦定理，得，又，所以， 由正弦定理得，所以，， 由余弦定理，得，所以， 利用等面积法可得， 则 ， ∵，∴，故，则， 所以，故 故答案为： 题型4：三角形面积问题 【例4.1.】 （24-25高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． (1)求a，A； (2)求的面积及． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）由及余弦定理计算可得；再由特殊角的三角函数值可得； （2）由三角形的面积公式可得面积；法1：变换面积公式的表达形式可得；法2：由正弦定理可得. 【详解】（1）由及余弦定理，得， 即，即． 由余弦定理，得． 又，所以. （2）． 法1：由，得． 法2：由正弦定理，得． 【例4.2.】 （24-25高一下·福建福州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为，且，，. (1)求； (2)若，则的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）借助向量数量积公式与正弦定理将边化为角后，再利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）借助面积公式与余弦定理计算即可得. 【详解】（1），， ， 由正弦定理得：， ， ， ， ， ，，即， ，，即； （2）的面积为，，即， 由余弦定理得：， ， ，. 【例4.3.】 （多选）（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】对A，由题可得，由三角形面积公式得解；对B，在中，由正弦定理，结合条件运算得解；对CD，在，中，分别由余弦定理，得，，得或，讨论当时不合题意，运算得解. 【详解】对于A，，， 所以，即，故A正确； 对于B，由正弦定理，得，又， 所以，即，故B正确； 对于C，D，在中，由余弦定理， ， 在中，，则， 化简整理得，又，所以， 解得或， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【例4.4.】 （24-25高一下·湖北宜昌·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角C的值； (2)若边的中线长为，求的面积； (3)求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可化简得，从而可求解； （2）由题意可得，化简可得到，再结合即，从而可求解； （3）由正弦定理可得，，再结合正弦型函数求其最值，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，即， 所以， 又因为，所以. （2）因为为上的中线，且，可得， 可得， 即，又由余弦定理，可得， 联立方程组，可得， 所以的面积为：. （3）由（1）知且，设的外接圆的半径为，可得， 又由正弦定理，可得，，且， 则， ， 其中，且为锐角， 因为，所以时，取得最大值，最大值为. 【例4.5.】 （24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】①先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解； ②过作的平行线，交于点，分别在中运用余弦定理，求得，结合即可求得的面积. 【详解】①因为， 由正弦定理，得 即 因为，所以 所以 因为，所以 所以. ②因为的外接圆半径为，， 由正弦定理，得，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以 因为D在边BC上，且，所以. 如图，过作的平行线，交于点. 在中，. 由余弦定理，得 即， 所以， 又 所以 故的面积为. 故答案为： 【例4.6.】 （24-25高一下·安徽宣城·期末）已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用三角形周长公式和正弦定理表示已知条件，对等式进行变形，根据余弦定理得到，即可求； （2）根据外接圆面积求外接圆半径，利用正弦定理求的值，结合余弦定理和基本不等式求得最大值，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）的周长为， 根据正弦定理，， 依题意，，即，， ，，， 根据余弦定理，，且， 故. （2）设外接圆的半径为，依题意，解得， 根据正弦定理，，即， 根据余弦定理，， 即，， 根据基本不等式，，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 因此，面积，当且仅当时取等， 综上，当时，面积取最大值. 【例4.7.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、数量积的运算律、基本不等式求积的最大值 【分析】设为边中点，连接，作于，即为中点，求得，，化简得，再通过面积公式和基本不等式即可得到答案. 【详解】设为边中点，连接，作于，即为中点，    因为， 同理， 则 ， 所以，因为， 所以的面积为， 当且仅当时取等号. 故选：B 题型5：几何图形中的计算 【例5.1.】 （24-25高一下·山东济南·期末）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用面积比可得，结合等面积法可得,即可利用向量的模长求解. 【详解】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 【例5.2.】 （24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由结合正弦定理和三角函数恒等变换公式可求得，再结合余弦定理得，从而可求出三角形面积的最大值，进而可求出的最大值. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以由余弦定理得， 当且仅当取等号， 所以，当且仅当取等号， 因为是的高，所以， 所以，当且仅当取等号， 所以的最大值为. 故选：D 【例5.3.】 （24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. 【例5.4.】 （24-25高一下·辽宁鞍山·期末）P是内一点，，，，则________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】在中，由余弦定理可得BC的值，在中，由正弦定理可得AB的值，在中，由余弦定理可得AP的值，再由余弦定理可得. 【详解】如图，在中，，，所以； 设，则，可得． 因为，所以，． 在中，，， 所以． 由正弦定理得，即，可得． 在中，由余弦定理得， 可得，所以． 故答案为：． 【例5.5.】 （24-25高一下·福建泉州·期末）已知锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积的取值范围； (3)如图，若为外一点，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）变形得到，由余弦定理求出，得到答案； （2）解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到，并由锐角三角形得到，求出，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法二：由余弦定理，且，得到不等式，并将代入两不等式，解得，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法三：考查的极端位置情况，当时，，当时，，从而得到，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； （3）解法一：求出，设，表达出其他各边长，在中，由正弦定理得①，在中，由余弦定理可得②，将①式代入②式得到方程，求出，故； 解法二：求出，设，表达出其他各边长，求出，，在中，由正弦定理可得，在中，用含的式子表达出，求出，在中，由勾股定理和可得方程，求出，故． 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）解法一：在中，由正弦定理得， 又， 所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法二：因为是锐角三角形， 所以，且， 所以，且， 又因为，所以， 所以，且，解得， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角， 根据图形变化，考查的极端位置情况， 当时，， 当时，， 可得当且仅当时，是锐角三角形； 因为， 所以的面积的取值范围是； （3）解法一：因为，所以， 因为，设，则， 在中，由正弦定理可得，即①， 在中，由余弦定理可得②， 将①式代入②式得， 化简得，解得，故． 解法二：过点作交的延长线于点， 因为，所以， 因为，设，则， 又因为， 所以在中，由正弦定理可得，即 在中，， 所以， 因为，在中，由勾股定理可得， 化简得，解得，故． 【例5.6.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）在圆内接四边形中，，若，则的面积最大值为___________. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据给定条件，利用正弦定理建立方程，利用两角和的正弦公式展开得，进而求得；设并结合正弦定理表示出，，再利用三角形面积公式，结合二次函数的性质求出最大值. 【详解】在△ABD中，， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以，所以； 所以是四边形外接圆直径，故， 设，则， 在中，， 由正弦定理得， 即， 在中，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 【例5.7.】 （2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求含tanx的二次式的最值 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 【例5.8.】 （多选）（24-25高一下·福建漳州·期末）已知内接于圆O，，设，则（    ）． A． B．若，则圆O的面积为 C．若，则圆O的面积为 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、向量的线性运算的几何应用、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据三角形外心性质可判断A；利用同角三角函数的平方关系求出，利用余弦定理得到，再利用正弦定理求出外接圆的半径可判断B；利用三点共线得到为外接圆的直径可判断C；取的中点，上靠近的一个三等分点，由已知得三点共线，利用外心性质结合余弦定理可判断D. 【详解】设中角所对的边分别为，则， 对于A，因为内接于圆O，所以圆O是的外接圆， 即为各边垂直平分线的交点，设的垂直平分线与交于点，如下图：    则，故A正确； 对于B，若，则， 由余弦定理得，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理得，所以， 所以圆O的面积为，故B错误； 对于C，因为，若，则三点共线， 即外接圆的圆心在上，所以为等腰直角三角形， 则，外接圆的半径为，面积为，故C正确； 对于D，取的中点，上靠近的一个三等分点， 则， 因为，所以， 因为，则，所以三点共线，如下图：      因为，，， 所以在中，， 在中，， 所以，故D正确. 故选：ACD 【例5.9.】 （24-25高一下·四川达州·期末）如图，在四边形中，，，，. (1)当、、、四点共圆时，求； (2)求四边形面积的最大值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求三角形面积的最值或范围、几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由已知条件得出，可求出的值，然后在利用余弦定理可求得的长； （2）设，其中，由余弦定理得出，利用正弦定理求出，结合两角和的正弦公式可得出，再利用三角形的面积公式结合辅助角公式、三角函数的有界性可求得四边形面积的最大值； （3）设，则，设，利用正弦定理得出、，结合余弦定理得出可得出关于的三角函数，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）当、、、四点共圆时，，， 所以， 由余弦定理得， 故. （2）设，其中， 由余弦定理得， 故， 因为，则为钝角，且， 在中，由正弦定理得， 故， 因为为钝角，则为锐角， 故， 所以 ， 故， 故. 其中为锐角，且， 因为，则，故当时， 四边形的面积取最大值. （3）因为为钝角，则为锐角，故， 设， ， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 在中，由正弦定理得，代入数据化简得， 在中，，即， 代入数据并化简得， 结合可得， 所以，则， 由可得， 由、和可得 ，其中为锐角，且， 因为，则，故当时，取最大值， 且的最大值为. 【例5.10.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． (1)若与的交点为，，求的值； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.41 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）由题意可得，再结合可知四边形为等腰梯形，再利用梯形的边长计算即可； （2）先利用数量积的定义得出，再在中利用余弦定理可得，最后在中利用正弦定理得出外接圆的直径即可； （3）设，求出以及在中利用正弦定理得，，再利用得出，即可化简求出，进而得出，的值，最后利用面积公式即可. 【详解】（1）因，则，即， 则，，则， 又，，得， 则四边形为等腰梯形，则高为， 则， 又与的交点为，，所以. （2）由题意可知，，得， 在中利用余弦定理可得，， 则， 设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得，， 又点是外接圆上的一个动点，所以的最大值为. （3）设，，则， 因为，则， ， ， 在中利用正弦定理得，， 则， 则， 且（因）， 即，即， 又，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，所以， 代入中得， 则，又，解得， 所以，， 则四边形的面积为. 题型6：解三角形的实际应用 【例6.1.】 （24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 【例6.2.】 （24-25高一下·山东东营·期末）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为a，则表高（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】利用正弦定理结合条件即可求得正确答案. 【详解】由题可知 ， 在△BAD中由正弦定理得：， 即， 又因为在中，， 所以. 故选：D 【例6.3.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解. 【详解】在中，，，，则夹， 由正弦定理可得： 故选：B. 【例6.4.】 （24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 【例6.5.】 （24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 【例6.6.】 （24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】确定中各角度数，利用正弦定理即可求出答案. 【详解】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 【例6.7.】 （24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角. (1)若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）； (2)巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值. 【答案】(1)北偏东 (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可求得，可求，可得结论； （2）利用正余弦定理可得，根据，结合余弦定理可得，利用配方法与基本不等可求得的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理， 得， 即，即， 因为，故，解得， 因为，故， 故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行. （2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得， 又因为， 化简得，， 因为， 即，故，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正弦定理与余弦定理 目录 题型1：利用正、余定理解三角形 2 题型2：判定三角形形状、三角形解的个数 3 题型3：三角形边长或周长的问题 4 题型4：三角形面积问题 5 题型5：几何图形中的计算 6 题型6：解三角形的实际应用 9 题型1：利用正、余定理解三角形 【例1.1.】 （24-25高一下·辽宁·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则C和a的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例1.2.】 （24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 （24-25高一下·福建泉州·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【例1.4.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （24-25高一下·吉林·期末）在中，角的对边分别为，若，，则外接圆的周长为______． 【例1.6.】 （24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 （多选）（24-25高一下·辽宁大连·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例1.8.】 （24-25高一下·广东汕头·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 【例1.9.】 （24-25高一下·福建福州·期末）在中，内角所对的边分别为， (1)求角C； (2)若，求b. 题型2：判定三角形形状、三角形解的个数 【例2.1.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 （24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）（24-25高一下·陕西渭南·期末）在中，角A，B，C的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则有两解 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，则为钝角三角形 【例2.5.】 （多选）（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形或钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，，则符合条件的有两个 题型3：三角形边长或周长的问题 【例3.1.】 （24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 （24-25高一下·山东滨州·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则周长的取值范围是_______． 【例3.3.】 （24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. (1)若顶点的坐标为，求的面积； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【例3.4.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若. (1)求B； (2)若，求c的取值范围. 【例3.6.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 【例3.7.】 （24-25高一下·河北唐山·期末）在中，已知，角的内角平分线交于点，且，则的最小值为______． 【例3.8.】 （24-25高一下·安徽宿州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 【例3.9.】 （24-25高一下·湖北黄石·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.10.】 （24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为__________． 题型4：三角形面积问题 【例4.1.】 （24-25高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． (1)求a，A； (2)求的面积及． 【例4.2.】 （24-25高一下·福建福州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为，且，，. (1)求； (2)若，则的面积为，求. 【例4.3.】 （多选）（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，的面积为，的面积为.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 （24-25高一下·湖北宜昌·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角C的值； (2)若边的中线长为，求的面积； (3)求的最大值； 【例4.5.】 （24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 【例4.6.】 （24-25高一下·安徽宣城·期末）已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 【例4.7.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 题型5：几何图形中的计算 【例5.1.】 （24-25高一下·山东济南·期末）在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 （24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 （24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【例5.4.】 （24-25高一下·辽宁鞍山·期末）P是内一点，，，，则________． 【例5.5.】 （24-25高一下·福建泉州·期末）已知锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积的取值范围； (3)如图，若为外一点，且，求． 【例5.6.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）在圆内接四边形中，，若，则的面积最大值为___________. 【例5.7.】 （2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.8.】 （多选）（24-25高一下·福建漳州·期末）已知内接于圆O，，设，则（    ）． A． B．若，则圆O的面积为 C．若，则圆O的面积为 D．若，则 【例5.9.】 （24-25高一下·四川达州·期末）如图，在四边形中，，，，. (1)当、、、四点共圆时，求； (2)求四边形面积的最大值； (3)求的最大值． 【例5.10.】 （24-25高一下·江苏无锡·期末）圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． (1)若与的交点为，，求的值； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，，求四边形的面积． 题型6：解三角形的实际应用 【例6.1.】 （24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 （24-25高一下·山东东营·期末）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为a，则表高（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【例6.4.】 （24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【例6.5.】 （24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【例6.6.】 （24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【例6.7.】 （24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角. (1)若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）； (2)巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $