专题02 平面向量的数量积及其应用 期末真题专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以数量积定义为起点，通过6大题型系统覆盖运算、夹角、模及几何物理应用，形成概念-性质-应用的完整知识链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|3题|考查投影长、数量投影、投影向量坐标|从数量积几何意义切入，奠定概念基础| |运算|7题|含单位向量、垂直、三角形/矩形/网格/圆中数量积|通过不同载体强化运算技能，衔接定义与性质| |夹角与垂直|9题|涉及夹角计算、垂直条件、锐角范围及综合解答|深化数量积与夹角关系，体现逻辑推理| |模的计算|7题|包括模的直接计算、最值及坐标范围问题|利用数量积求模，构建性质应用桥梁| |几何应用|6题|涵盖三角形中线、梯形、内切圆、矩形区域等|实现向量工具性，培养几何直观| |物理应用|3题|涉及最短航程、功的计算、共点力分析|体现数学语言表达现实世界，发展应用意识|

专题02 平面向量的数量积及其应用 目录 题型1：平面向量数量积的定义 2 题型2：平面向量的数量积运算 2 题型3：向量夹角与垂直 3 题型4：向量模的计算 4 题型5：平面向量在几何中的应用 5 题型6：平面向量在物理中的应用 6 题型1：平面向量数量积的定义 【例1.1.】 （24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 【例1.2.】 （24-25高一下·上海·期末）已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为______． 【例1.3.】 （24-25高一下·广东河源·期末）已知向量，且的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 题型2：平面向量的数量积运算 【例2.1.】 （24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （24-25高一下·安徽宿州·期末）设是平面内的两个单位向量，若⊥，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【例2.3.】 （24-25高一下·河南商丘·期末）已知向量的夹角为，，则＝______． 【例2.4.】 （24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 【例2.5.】 （24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则_________. 【例2.6.】 （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【例2.7.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 题型3：向量夹角与垂直 【例3.1.】 （24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量，，若⊥，则与的夹角为（   ） A．45° B．135° C．30° D．60° 【例3.2.】 （24-25高一下·江苏扬州·阶段检测）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【例3.3.】 （24-25高一下·四川自贡·期末）若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 （24-25高二下·安徽宣城·期末）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【例3.7.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【例3.8.】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）在梯形中，已知，，与交于点. (1)用，表示，； (2)若，，，求与所成角的余弦值. 【例3.9.】 （24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4：向量模的计算 【例4.1.】 （24-25高一下·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是，，，则（    ）． A．2 B． C． D． 【例4.2.】 （24-25高一下·黑龙江·期末）已知向量满足，则___________． 【例4.3.】 （24-25高一下·天津和平·期末）设 为单位向量，若 ，则_____. 【例4.4.】 （24-25高一下·云南昆明·期末）已知，，，则________． 【例4.5.】 （24-25高一下·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【例4.6.】 （24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 （24-25高一下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5：平面向量在几何中的应用 【例5.1.】 （24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【例5.2.】 （24-25高一下·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 （24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【例5.4.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 （24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【例5.6.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 题型6：平面向量在物理中的应用 【例6.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【例6.2.】 （24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 【例6.3.】 （多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量的数量积及其应用 目录 题型1：平面向量数量积的定义 2 题型2：平面向量的数量积运算 3 题型3：向量夹角与垂直 7 题型4：向量模的计算 14 题型5：平面向量在几何中的应用 17 题型6：平面向量在物理中的应用 24 题型1：平面向量数量积的定义 【例1.1.】 （24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】求出在在上的投影向量的坐标，进而求得投影向量的模即可． 【详解】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影长为. 故选：C. 【例1.2.】 （24-25高一下·上海·期末）已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用数量积的定义及运算律，求出数量投影. 【详解】由，，与的夹角为，得， 则， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 【例1.3.】 （24-25高一下·广东河源·期末）已知向量，且的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用向量数量积的定义可求得，利用，可求得量在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，所以，又，且的夹角为， 所以， 所以向量在上的投影向量为. 所以向量在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 题型2：平面向量的数量积运算 【例2.1.】 （24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 【例2.2.】 （24-25高一下·安徽宿州·期末）设是平面内的两个单位向量，若⊥，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据单位向量垂直得到，，进而由向量数量积运算法则计算出答案. 【详解】因为与是单位向量，且⊥，所以，且， 所以． 故选：D 【例2.3.】 （24-25高一下·河南商丘·期末）已知向量的夹角为，，则＝______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据数量积的公式和运算律计算. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以． 故答案为：. 【例2.4.】 （24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用 【分析】由题意可得，结合向量的运算律及数量积定义求解即可. 【详解】解：由题意可得，      所以. 故选：D. 【例2.5.】 （24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则_________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据平面向量的线性运算和已知条件即可化简求出结果. 【详解】根据题意结合图象可得： ，， ，， . 故答案为：. 【例2.6.】 （24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】依题意，， 因此要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大， 由图形知，当向量时，向量在向量方向上的投影向量的模最大， 此时在向量方向上的投影向量的模为4，所以的最大值为. 故选：C 【例2.7.】 （24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】连接，过作直线于，交圆于，过作于，利用数量积的几何意义，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于， 因为，所以，且，则在上的投影向量为， 由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧， 且，当且仅当与重合时取等号， 又圆的半径为，则，所以， 故答案为：. 题型3：向量夹角与垂直 【例3.1.】 （24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量，，若⊥，则与的夹角为（   ） A．45° B．135° C．30° D．60° 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的计算 【分析】根据两向量垂直得到方程，求出，进而得到，，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】因为⊥，所以，解得， ，， 设与的夹角为，则， 所以. 故选：A 【例3.2.】 （24-25高一下·江苏扬州·阶段检测）非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 【例3.3.】 （24-25高一下·四川自贡·期末）若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】根据向量的夹角公式可解. 【详解】， ， ， ， 所以， 因为， 则与夹角为. 故选：C. 【例3.4.】 （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、已知数量积求模 【分析】由向量的模的运算，向量的垂直算出和，再计算向量的夹角余弦值. 【详解】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D 【例3.5.】 （24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 【例3.6.】 （24-25高二下·安徽宣城·期末）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、坐标计算向量的模 【分析】利用向量的模长公式求出，结合求出，再利用向量数量积的定义求解夹角余弦值，最后结合夹角范围求出夹角即可. 【详解】因为，所以由向量的模长公式得， 因为，所以，即， 得到，解得，设向量与的夹角为， 而，故， 因为，所以，故C正确. 故选：C 【例3.7.】 （24-25高一下·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 【例3.8.】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）在梯形中，已知，，与交于点. (1)用，表示，； (2)若，，，求与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合三点共线向量性质，即可求解各向量； （2）利用向量积的运算来求模长和数量积，从而可求向量夹角的余弦值. 【详解】（1） 因为在梯形中，已知，， 则. 由，得， 由共线，得， 所以得,所以. （2）因为，， 又，，， 所以. ， . 设与所成的角为，则. 【例3.9.】 （24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】由题意可得，，从而可得，，设，根据向量的夹角公式及基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，为在方向上的投影向量， 所以， 则，， 设， 由题意可得， 则，， 则， 当且仅当，即时，取等号． 故选：C． 题型4：向量模的计算 【例4.1.】 （24-25高一下·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是，，，则（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】先求出及的值，再求出，然后根据求向量模的公式求解即可. 【详解】因为，所以. 因为平面向量，的夹角为， 所以. 因为， 所以. 故选：C 【例4.2.】 （24-25高一下·黑龙江·期末）已知向量满足，则___________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律 【分析】由数量积的运算律转换为关于的方程即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 解得或（舍去）. 故答案为：2. 【例4.3.】 （24-25高一下·天津和平·期末）设 为单位向量，若 ，则_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据已知结合数量积运算律化简得出，再把模长转化为数量积计算求解. 【详解】因为 为单位向量，所以， 又因为 ，则，所以，所以， 则. 故答案为：. 【例4.4.】 （24-25高一下·云南昆明·期末）已知，，，则________． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】由题意可求得再结合，从而可求解. 【详解】由已知，，由，可得， 解得，由，所以， 解得. 故答案为：. 【例4.5.】 （24-25高一下·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积，来推导的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，则 代入，得： 因为所以 则，则. 故选：C. 【例4.6.】 （24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】，可得．两边平方，结合，，得到，求出最小值为，因此的最小值为 【详解】因为，所以，代入可得． 因为，所以， 两边平方得 ， 又，故 当时，取得最小值，因此的最小值为 故选：C 【例4.7.】 （24-25高一下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】由得，由向量的加法公式得，再由模长的性质得到最值. 【详解】，， 所以， 所以， 所以，即， ， 因为，， 根据向量模长的性质，最大值为，最小值为， 故选：D. 题型5：平面向量在几何中的应用 【例5.1.】 （24-25高一下·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、用向量解决夹角问题 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 【例5.2.】 （24-25高一下·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 故选：D. 【例5.3.】 （24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据给定条件可得，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的点到射线距离最小值求解. 【详解】由是单位向量，，得，即， 作向量，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，作向量，， 过作射线的垂线，垂足为， 所以. 故选：D 【例5.4.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值、数量积的坐标表示 【分析】是重心，也是内心，是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设，求出，利用三角函数有界性求出的取值范围. 【详解】由，易知是重心， 又已知的内切圆圆心为，所以也是内心， 由三线合一可知是等边三角形. 如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以取值范围是 故选：B 【例5.5.】 （24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 【例5.6.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 【答案】 9 【难度】0.4 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】根据线性运算法则，可得，根据数量积公式，可得，根据的范围，分析即可得答案；以O为原点，OA为x轴正方向建系，可得各点坐标及P的轨迹方程，设出P点坐标，根据题意，可得的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为 ， 所以 ， 因为，故当时，取得最大值1， 此时取得最大值为9. 以O为原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 由题意得P的轨迹为以O为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设， 则， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：9； 题型6：平面向量在物理中的应用 【例6.1.】 （24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】设航船方向与河岸夹角为，根据求出即可求解. 【详解】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 【例6.2.】 （24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 【答案】13 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、力的合成、功、动量的计算 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 【例6.3.】 （多选）（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、力的合成 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 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