精品解析：天津市北辰区2025-2026学年度下学期九年级数学练习试卷

北辰区2025-2026学年度九年级练习试卷 数学试卷 一、单选题（本题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 3 D. 13 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 5. 已知某种芯片的线宽为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 8. 《张邱建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？设醐酒有x斗，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，得到，记交于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 12. 某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它不是红球的概率为________． 14. 计算的结果为________． 15. 计算的结果为________． 16. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 17. 如图，在中，对角线相交于点O，E为的中点，连接． （1）的值为________； （2）若为的平分线，交于点G，交于点F．若，，，则边的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，均在格点上，点为小正方形网格线的中点． （1）线段的长为________； （2）经过点，的与交于点，点为劣弧的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 20. 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“伴学”计划．为了了解本校八年级学生每周使用大模型学习的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________，图①中m的值为__________，统计这批学生每周使用大模型学习的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有400名学生，估计该校八年级学生每周使用大模型学习的时间是及以上的人数． 21. 已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当点在的延长线上，过点作的切线，与的延长线交于点，线段上有一点，且，若的半径为，求的长． 22. 综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，． （1）计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数） （2）计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）． 23. 【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； （2）①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，为原点，在矩形中，，，． （1）填空：如图，点的坐标为______，线段的长为_____； （2）如图，直线经过点，且轴，将沿水平方向向右平移个单位长度，得到，，将矩形于左侧的部分沿向右侧翻折，其与矩形于右侧的部分重叠图形面积记为． 当在轴左侧，且重叠图形为三角形，分别交，于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； 当时，_____． 25. 已知抛物线（为常数，），与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点． （1）若，求抛物线顶点的坐标； （2）已知点，连接． ①当时，，求点的坐标与抛物线的解析式； ②若点在第三象限，且轴，，对于抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北辰区2025-2026学年度九年级练习试卷 数学试卷 一、单选题（本题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. C. 3 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法运算，利用有理数减法法则将减法转化为加法，即可计算出结果． 【详解】解：根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数， 得． 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从几何体正上方向下观察得到的平面图形，分层分列数小正方形位置，确定每行每列方块排布． 【详解】解：从上方俯视该立体图形： 第一行（上层）：从左到右依次有第1、2、3列3个小正方形； 第二行（下层）：仅第1、2列有2个小正方形； 对照选项，只有C符合该排布． 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先找出与19相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导出的范围即可； 【详解】解： ，即 不等式各项同时减得 即 因此的值在和之间； 4. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 　 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 5. 已知某种芯片的线宽为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ． 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 8. 《张邱建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？设醐酒有x斗，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设醐酒有x斗，则清酒有斗，根据题意和题目中的数据，即可列出方程． 【详解】解：设醐酒有x斗，则清酒有斗， 根据题意，可列方程为． 故选：A． 9. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 10. 如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程可知平分，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，同时求出，最后根据求出答案． 【详解】解：过点A作，交于点D， 根据作图过程可知，平分， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得． 根据勾股定理，得， ∴． 11. 如图，在中，，，将绕顶点C顺时针旋转，得到，记交于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转得，可知为等腰三角形，仅当旋转角时才为等边三角形，故A选项错误；由、证，得、，结合等腰三角形性质得，利用对顶角证，得，进而判断，故B选项错误；由，判断与不平行，故C选项错误；利用三角形内角和与，推出，故D选项正确． 【详解】解：选项A：由旋转可知， ∴为等腰三角形， 只有旋转角为时，才是等边三角形， 故A选项错误，该选项不符合题意； 选项B：∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故B选项错误； 选项C：∵， ∴不可能平行于， 故C选项错误，该选项不符合题意； 选项D：∵，， ∴， 故D选项正确，该选项符合题意． 12. 某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得到利润关于售价的二次函数表达式，再依次验证三个结论，统计正确结论的个数即可； 【详解】解：设每日销售利润为元，根据题意：每件利润为元，每日销量为，因此利润函数为： 验证结论①：当时，， ∵结论中说利润为元，∴结论①错误； 验证结论②：二次函数开口向下，对称轴为， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； 验证结论③：令，得方程，整理得， 解得，，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确； 综上，正确结论只有个； 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它不是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，总共有种等可能的结果，取出的球不是红球的结果有种，根据概率公式，可得取出不是红球的概率为． 14. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，分别对系数和同底数幂进行运算即可得到结果． 【详解】解：． 15. 计算的结果为________． 【答案】21 【解析】 【分析】观察原式结构，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式简化计算，再根据二次根式的性质化简计算得到结果． 【详解】解： ． 16. 将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】10（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：向下平移个单位长度后得到，此时随着的增大而减小，且不经过第一象限， 则当时，，解得． ∴的值可以是10 17. 如图，在中，对角线相交于点O，E为的中点，连接． （1）的值为________； （2）若为的平分线，交于点G，交于点F．若，，，则边的长为________． 【答案】 ①. ##0.125 ②. 8 【解析】 【分析】由题可知，，则，又E为的中点，则，进而可求；先证为等边三角形，再取的中点为，连接，设，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，， ， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，即； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∵为的平分线， ∴，，． 如图，取的中点为，连接， ∵E为的中点，H为的中点， ∴，， ∴，， ∴，． 又∵，， ∴， 设，则． ∵，， ∴． ∵， ∴．在中，由勾股定理得， ∴，解得，（舍去）， ∴， ∴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，均在格点上，点为小正方形网格线的中点． （1）线段的长为________； （2）经过点，的与交于点，点为劣弧的中点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格确定点与点的水平距离为、垂直距离为，直接用勾股定理计算出线段的长度即可； （2）利用“圆周角所对的弦是直径”的性质，分别作出圆的两条直径和，两条直径的交点即为圆心，接着找到弦的中点，根据垂径定理，连接并延长交劣弧于点，该点即为劣弧的中点． 【详解】解：（1）． （2）如图①，取格点，，连接，交网格线于点，，分别为与网格线的交点，连接，，与交于点，连接，交于点；设与网格线的交点为，连接并延长交于点，则点，即为所求． 如图②，取点，则点为的中点， ∵点为小正方形网格线的中点， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴为的直径， ∴与的交点为圆心； 设弦交网格线于点，则点为弦的中点， ∴的延长线与的交点为的中点． 三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1求出解集； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1，求出解集； （3）在数轴上表示出解集； （4）根据数轴上解集公共的部分得出答案． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问3详解】 解；在数轴上表示为： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集是． 20. 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“伴学”计划．为了了解本校八年级学生每周使用大模型学习的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________，图①中m的值为__________，统计这批学生每周使用大模型学习的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有400名学生，估计该校八年级学生每周使用大模型学习的时间是及以上的人数． 【答案】（1）40，25，4，4 （2）3.95 （3）140人 【解析】 【分析】（1）根据的人数和百分比可求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m；根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周使用大模型学习的时间是及以上的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴，即， 统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的众数是4，中位数是． 【小问2详解】 解：∵， ∴统计的这批学生每周使用大模型学习的时间数据的平均数是3.95． 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校八年级学生每周使用大模型学习的时间是以上的人数为140人． 21. 已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当点在的延长线上，过点作的切线，与的延长线交于点，线段上有一点，且，若的半径为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，得到平分，求出，则，即可解答； （2）连接，过点作于，交于点，推导出四边形是矩形，，，得到，求出，得到，则，继而根据求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图 与相切于点， ， ∵， 平分， ∴． ， ． 在中，， ； 【小问2详解】 解：连接，过点作于，交于点，如图 ． 是的切线， ． ， 四边形是矩形，，， ，， ． ， ， 又， ， 在中，． 22. 综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，． （1）计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数） （2）计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）． 【答案】（1）无人机从地面起飞到H点的高度约为6米 （2）28米 【解析】 【分析】（1）过D点作于点G，交线段于点M，则， ，在中，可得到米，即可； （2）过H点作于点F，则，， 在中，可得，从而得到．在中， 利用，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：过D点作于点G，交线段于点M，则， ． 在中，米，， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴（米）． 答：无人机从地面起飞到H点的高度约为6米； 【小问2详解】 解：过H点作于点F，则，， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ， 即， 解得（米）． ∴（米）． 答：天津西站小洋楼的高度约为28米． 23. 【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； （2）①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； （3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 【答案】（1）4；2.8；2.5 （2）①当时，,当时,；② （3）； 【解析】 【分析】（1）①根据解答；②和③，观察图象可得答案； （2）观察图象根据待定系数法求出关系式即可； （3）先将代入第一个函数关系式求出，再根据题意将代入第二个函数关系式可得答案 【小问1详解】 解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为； ②当小铝块下降时， 观察图象可知弹簧测力计A的示数是； 观察图象可知弹簧测力计B的示数是； 【小问2详解】 解：①当时，弹簧测力计A的示数. 当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； ②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等， ∴， 解得， 即． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，在矩形中，，，． （1）填空：如图，点的坐标为______，线段的长为_____； （2）如图，直线经过点，且轴，将沿水平方向向右平移个单位长度，得到，，将矩形于左侧的部分沿向右侧翻折，其与矩形于右侧的部分重叠图形面积记为． 当在轴左侧，且重叠图形为三角形，分别交，于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； 当时，_____． 【答案】（1），； （2），；或． 【解析】 【分析】（）连接，交轴于点，由矩形的性质可得与互相平分，即既是中点，也是中点，然后通过中点公式求出点的坐标，再由两点间的距离公式即可求出线段的长 （）过作于点，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，则，通过矩形的性质，同角或等角的余角相等得出，所以，则，代入得，从而得出，，，然后通过面积公式即可求解；分为在轴左侧，在轴右侧，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，交轴于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，即既是中点，也是中点， 设， ∵，，． ∴，，， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作于点，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，当在上时，重叠图形仍为三角形， 由对称的性质可得，， 同理可得， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为； 当在轴左侧时，， ∵， ∴， ∵， ∴； 当在轴右侧时，由对称性得， 综上，或． 25. 已知抛物线（为常数，），与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点． （1）若，求抛物线顶点的坐标； （2）已知点，连接． ①当时，，求点的坐标与抛物线的解析式； ②若点在第三象限，且轴，，对于抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，化为顶点式后可得抛物线顶点的坐标； （2）①先说明点P在抛物线的对称轴上，求出，根据求出，设抛物线解析式为，把代入求解即可； ②设对称轴交x轴于点E，取点关于x轴的对称点F，则，证明，求出，抛物线解析式为，把代入求出抛物线解析式，然后根据的最大值与最小值的差为，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∵抛物线与轴交于点两点， ∴两点关于对称轴对称， ∴点P在抛物线的对称轴上． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴即． 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； ②∵轴，点为抛物线顶点， ∴点在抛物线的对称轴上． 如图，设对称轴交x轴于点E，取点关于x轴的对称点F，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴即． 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴当时，则取得最大值，取得最小值， ∵的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）． 当时，则取得最大值，取得最小值， ∵的最大值与最小值的差为， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 综上可知，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $