导数中的同构问题 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中的同构问题，涵盖指对同构的积商和差型形式、六大超越函数等核心考点，按知识梳理-题型分类-课后作业的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生系统突破导数综合应用难点。 讲义以问题驱动设计教学活动，如在恒成立问题中引导学生通过同构变形构造函数，利用单调性转化为最值问题，培养数学思维的推理能力和数学眼光的抽象能力。设置基础到综合的分层练习，结合2025年模拟题和高考真题，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

导数中的同构问题 知识梳理： 1、同构法 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2、指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 3六大超越函数及其图象 题型1 指对同构问题 规律与方法 1、记住常见的变形公式 2、积、商、和差型 1．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)；(2)；(3)；(4)； (5)； (6). 题型2 同构应用——解决不等式恒成立问题 规律与方法 1、 构造函数、转化成函数的单调性，转化求最值。 2、 换元法，转化成函数的最值的问题。 1.（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 同构应用——证明不等式 规律与方法 1.构造函数 2.转化成证明不等式的方法 1.已知函数，． (1)讨论的单调性；(2)若方程有两根，求a的取值范围；(3)证明：当时，． 2.（2023·广东汕头·三模）设，， (1)证明：； (2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 题型4 与零点有关的同构问题 规律与方法 1、构造函数 2、转化成函数零点 1.（2025·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 同构应用——比较大小 规律与方法 1.构造函数 2.利用函数的单调性比较大小 1.（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·广东中山·模拟预测）设，，，则（   ） A． B． C． D． 题型6 利用同构解不等式 规律与方法 常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 1.若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2022·河南·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3.（2020·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 课后作业： 一、单选题 1．（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 11．（2025·安徽合肥·三模）已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是 ． 13．（2025·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是 ． 14．（2025·湖北襄阳·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，且 ，若关于的不等式仅有个整数解，则实数的取值范围是 ． 15.（2025·重庆·三模）已知， 恒成立，则实数的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数中的同构问题 知识梳理： 1、同构法 把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题. 2、指对同构的常用形式 (1)积型：，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数； ③取对构造形式：，构造函数 (2)商型：一般有三种同构方式： ①同左构造形式：构造函数； ②同右构造形式：构造函数； ③取对构造形式：，构造函数. (3)和、差型：，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：，构造函数； ②同右构造形式：，构造函数. 3六大超越函数及其图象 题型1 指对同构问题 规律与方法 1、记住常见的变形公式 2、积、商、和差型 1．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)；(2)；(3)；(4)； (5)； (6). 【详解】（1）显然，则， 同构函数为； （2）显然，则 ，同构函数为； （3）显然，则， 同构函数为； （4）显然，则， 同构函数为； （5），同构函数为； （6），同构函数为. 题型2 同构应用——解决不等式恒成立问题 规律与方法 1、 构造函数、转化成函数的单调性，转化求最值。 2、 换元法，转化成函数的最值的问题。 1.（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，求，判断单调性,得到的值域为，令，求导，单调性，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解答过程】令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以， 又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以， 又当时，恒成立， 所以， 故实数的取值范围为． 故选：B. 2.（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用通过将原不等式转化为，令，利用导数可得该函数为增函数，从而得，再设，求出该函数的最大值后可得参数的取值范围. 【解答过程】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 3.（2025·海南·模拟预测）已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【解答过程】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ，所以时，，单调递增， 时，，单调递减，即，,故选：B. 4.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则只需即可. 因为， 令，则， 所以在上单调递增，又，， 所以有唯一零点，且，所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以， 两边同时取自然对数，则有，即， 构造函数，则，所以函数在上单调递增， 又，即，即， 即.于是实数的取值范围是. 故选：D. 题型3 同构应用——证明不等式 规律与方法 1.构造函数 2.转化成证明不等式的方法 1.已知函数，． (1)讨论的单调性；(2)若方程有两根，求a的取值范围；(3)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意有． 当时，，在单调递减； 当时，令，得，单调递增； 令，得，单调递减． 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故． 因为当时，在单调递减，在单调递增， 又因为，，且，， 故要使方程有两根，则， 即，得，故a的取值范围为． （3）法一：要证，即， 令，则只需证，当时，，上式显然成立； 现证当时上式成立： 由（1）知，，取，即得， 取，即可得，即得证． 法二：要证，即， 令，则只需证，令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 由（1）知，，则， 故，即，得证， 2.（2023·广东汕头·三模）设，， (1)证明：； (2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数的单调性，进一步求出最值范围即可证明； （2）由和的单调性分析三个交点的位置情况，构造，根据零点存在定理，可得在内存在唯一零点，所以，即，再利用交点函数值相等得到，，进而得出，根据等比中项性质即可证明结论. 【详解】（1）因为，，所以等价于， 即， 令，则只需证， 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即成立， 所以成立，即得证； （2）记，则， 当时，；当时，． 故在内单调递增，在内单调递减，故； 记，则， 当时，，当时，， 故在内单调递增，在内单调递减，故. 所以函数与函数有相同的最大值，画出与的图象如下图：    可知，且，又当时，，故， 当时，直线与两条曲线和各有两个不同的交点， 则直线与曲线的两个交点分别位于区间和， 而直线与曲线的两个交点分别位于区间和， 构造，当时，；当时，， 当时，1-x<0，，，， 故在内单调递减，又，， 结合零点存在性定理可知：在内存在唯一零点， 故曲线和在有唯一一个公共点， 由图可得：若直线与两条曲线和共有三个不同的交点，，，其中，即，即， ，，， 由，又， 结合在内单调递增，故， 由，又，， 结合在内单调递减，故， 故，故，，成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于，即，利用，且在内单调递增，求得，同理利用，且在内单调递减，求得，即可用等比中项证明，，成等比数列. 题型4 与零点有关的同构问题 规律与方法 1、构造函数 2、转化成函数零点 1.（2025·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可 【解答过程】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A. 2.已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 3.已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解. 题型5 同构应用——比较大小 规律与方法 1.构造函数 2.利用函数的单调性比较大小 1.（24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项. 【解答过程】令，则， 所以在上单调递增， B选项，由，即，可得，故B错误； C选项，由，即，可得，故C正确； A选项，因为，不妨设（为常数）， 即（为常数），所以， 令，故，当时，为常数函数， 此时，即，所以，故A错误； D选项，根据上述分析，，（为常数）， 故，，令，， 当时，，在上单调递减，所以，则，故D错误. 故选：C. 2.（2025·海南·模拟预测）已知函数，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导函数和导函数值，求出函数解析式，通过导函数求出函数单调性，再构造函数比较三个数值的大小，通过函数单调性，写出三个函数值的大小关系. 【解答过程】由题意得，，代入得 ，解得，可得，， 令，， 可知在上，，在上单调递增， 在上，，在上单调递减，在处取得最大值，， 所以在上，则，所以在上单调递减， 设，可知， 则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 由可知，当时，，即，所以在上单调递增，得，即， 综上可知，，由在上单调递减得. 故选：D. 3.（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【解答过程】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 4.（2025·广东中山·模拟预测）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过构造函数，利用函数的单调性得到一些不等式关系，再对、、进行变形，然后利用这些不等式关系比较、、的大小. 【解答过程】已知，根据对数运算法则， 可得. 由完全平方公式，则. 根据三角函数的平方关系以及二倍角公式， 所以，即. 又已知，可变形为. 设，. 对求导，可得. 因为的值域是，所以，这表明在上单调递增. 那么，把代入得，所以在上恒成立. 令，则，即. 设，. 对求导，可得. 因为，所以，即在上恒成立，这表明在上单调递增. 所以，把代入得，则在上恒成立. 令，则，又因为，所以，即. 设，对求导，可得. 因为时，，所以在上恒成立，这表明在上单调递增. 所以，把代入得， 即在上恒成立. 令，则，得到，即. 综上，， 即.故选：B. 题型6 利用同构解不等式 规律与方法 常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝. 1.若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一利用对数的运算性质同构，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D错误； 方法二利用对数的运算性质同构，再由函数的单调性求解即可；举反例可得C、D错误； 【详解】方法一： 对于A、B，由， 可得， 令，则， 因为在R上是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 方法二： 对于A、B由，可得，令，则， 因为在上是增函数，所以，即， 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 故选：A. 2.（2022·河南·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式同构变形，然后构造函数，由导数确定单调性，由单调性确定结论． 【详解】设，，，当时，恒成立， 所以在上是增函数， 原不等式变形为，即，所以． 故选：B． 3.（2020·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，再结合对数函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为， 令，其中， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，即，故，则， 所以，，则，A错B对； 无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错. 故选：B. 课后作业： 一、单选题 1．（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小. 【解答过程】设， 则，，， 因为，当时，，所以在上单调递增． 又，所以． 故选：C. 2．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【解答过程】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B. 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【解答过程】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【解答过程】令，则， 所以在上单调递减， 因为 ， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 5．（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【解答过程】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C. 6．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过构造函数，利用已知条件判断函数的单调性，再根据函数单调性比较函数值的大小. 【解答过程】设，对求导，可得. 因为对任意的都有，即，且，所以，这表明在上单调递减. 逐一分析选项， 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以A选项错误. 仅根据已知条件无法得出，所以B选项错误. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以C选项正确. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以D选项错误. 不等式一定成立的是. 故选：C. 7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【解答过程】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 8．（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，利用函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，由可判断进而得出结果． 【解答过程】， 令，则， 故在单调递增， 又，所以， 即， 所以，A选项正确， 另外，，由于与0的大小关系不确定， 故C，D无法判断. 故选：A. 二、多选题 9．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】对函数求导，求函数单调性，逐项计算，即可求解. 【解答过程】令，则，当，，函数单调递增；当时，，函数单调递减． 因为，函数在上单调递减，所以， 即，又因为，故，即， 所以A错误； 因为，函数在上单调递增，所以， 即，则，故B正确； 因为，函数在上单调递减，所以，即， 而因为，两边取对数得到，两边同时除以2得到， 所以C正确； 因为，变形可得，由函数的单调可知，故D正确． 故选：BCD． 10．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【解题思路】由题知不等式恒成立，过点作曲线的切线，求出两条切线斜率即可得解. 【解答过程】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 11．（2025·安徽合肥·三模）已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】通过对已知不等式进行变形，构造函数，利用函数的单调性得出，进而推导各选项的正确性. 【解答过程】对不等式进行变形化简得：， 设. 求导得：. 所以函数在上单调递增. 由，且函数单调递增，可得，即. 对于选项A： 因为，所以平方可得即.A正确. 对于选项B： 取反例，当时，，满足题意. 而，所以B错误. 对于选项C： 取反例，当时， 计算选项C的左边为，右边， 此时，C错误. 对于选项D： 令，求导得，可以看出该导数在上小于0. 所以在上单调递减，所以. 因为，所以，所以. 由前面可知，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由得到恒成立，可得恒成立，分别令，，通过求导确定单调性，得出最值即可求解. 【解答过程】由题意，函数的定义域为， 要使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以，从而， 则，又，得， 所以由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即， 所以只需，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．（2025·河南南阳·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】对不等式进行变形得 ，构造函数，原不等式等价于，利用导数研究的单调性，进而可得自变量之间的关系，再利用导数研究恒成立问题即可. 【解答过程】恒成立，即，即， 即， 令，则恒成立，所以单调递增， ， 令，则 ， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即．则的最小值是． 故答案为：. 14．（2025·湖北襄阳·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，且 ，若关于的不等式仅有个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】依题意可得，从而得到（为常数），再根据求出，即可得到解析式，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可得解. 【解答过程】因为，即， 令，则， 所以（为常数），所以， 因为，所以，解得，从而， 则， 当时，此时单调递增， 当或时，此时单调递减， 所以时，取得极大值为，当时， 当时，取得极小值，． 又因为，，结合图象可知仅有个整数解， 实数的取值范围是. 故答案为：. 15.（2025·重庆·三模）已知， 恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用可得时满足题意，然后令，由题可得，由单调性可得，最后注意到不满足不等式，据此可得答案. 【详解】对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则； 对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则. 则当时，，满足题意； 当时，令，由， 令，则在上单调递减， 又注意到，则. 下证对，，即，， 由，可得，由，可得. 则，则时，命题成立； 当，令，由， 但此时，，与题意不符，故不满足题意. 综上可得. 故答案为： 【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用思想为分离参数，将问题转化为求相关函数的最值，也可构造函数，由函数最值得到关于参数的表达式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $